ランキンサイクルとは｜T-s線図とエンタルピーで熱効率を求める

水と蒸気が「ボイラ → 蒸気タービン → 復水器 → 給水ポンプ」を一巡するようすは、汽力発電の設備で見ました。その一巡を、熱の出入りと仕事の量で読むのがランキンサイクルです。この記事では、4つの過程と機器の対応、T-s線図とh-s線図の読み方、エンタルピーを使った熱効率の求め方、再熱・再生サイクルの効果を、例題と一緒に整理します。発電端効率や燃料消費量の計算は、火力発電の熱効率の記事で扱います。

• ランキンサイクルとは（4つの過程と機器の対応）
  • 等圧加熱 → 断熱膨張 → 等圧放熱 → 断熱圧縮の4過程が輪になる
• ランキンサイクルのT-s線図の読み方
  • 面積が熱量や仕事を表す。仕事は囲まれた面積
• ランキンサイクルの熱効率とh-s線図
  • $\eta = \dfrac{(h_1 - h_2) - (h_4 - h_3)}{h_1 - h_4}$ をエンタルピーの差で求める
• タービン内部効率と蒸気流量・出力の求め方
  • 実際の膨張は点2′で終わる。出力は $P = G\,(h_1 - h_2')$
• ランキンサイクルの熱効率を上げる方法とカルノー効率との比較
  • 初圧・初温を上げ、復水器の圧力を下げる。上限はカルノー効率
• 再熱サイクルと再生サイクルをT-s線図で読む
  • 再熱は排気の湿りを減らし、再生は捨てる熱を減らす

ランキンサイクルとは（4つの過程と機器の対応）

ランキンサイクルは、汽力発電の水と蒸気の変化を、いちばん単純な理想の形で表した熱サイクルです。水はボイラで熱を受け取って蒸気になり、蒸気タービンで仕事をし、復水器で熱を捨てて水に戻り、給水ポンプでボイラの圧力まで押し上げられます。この一巡が、4つの過程でできています。

図1は、ランキンサイクルを機器の並びで描いたものです。機器の間にある丸の数字が状態点で、その場所での水や蒸気の状態（圧力・温度・エンタルピーなど）を表します。

4つの過程を、機器と「一定に保たれるもの」の組合せで整理すると、次の表のとおりです。

過程	機器	一定のもの
4→1 等圧加熱	ボイラ	圧力
1→2 断熱膨張	蒸気タービン	比エントロピー
2→3 等圧放熱	復水器	圧力
3→4 断熱圧縮	給水ポンプ	比エントロピー

等圧は圧力が変わらないこと、断熱は熱が外へ出入りしないことです。断熱で、さらに摩擦などの損失が無い理想の変化では、比エントロピー（次の節で説明します）が変わりません。ボイラと復水器は熱を出し入れする機器、タービンとポンプは仕事をやり取りする機器、と覚えると整理しやすくなります。

ボイラで水が蒸気になる変化は、やかんでお湯を沸かすのと同じです。図2は、やかんの湯気の写真です。やかんの水はコンロの熱を受け取って蒸気になります。注ぎ口から白く見える湯気は、蒸気が空気で冷やされてできた小さな水滴で、本当の水蒸気は透明で目に見えません。ボイラは、この蒸気を逃がさずに高い圧力のまま閉じ込めて、タービンへ送ります。

各機器のつくりは、汽力発電の設備で確認できます。

ランキンサイクルのT-s線図の読み方

T-s線図は、縦軸に温度 $T$ [K]、横軸に比エントロピー $s$ [kJ/(kg·K)] をとった図です。比エントロピーは、1 kg あたりのエントロピーです。熱を受け取ると増え、熱を捨てると減ります。T-s線図では、線の下の面積が 1 kg あたりの熱量を表します。そこから、次のことが読み取れます。

• 熱を加える過程は、右へ進む線になる。線の下の面積が、受け取る熱量
• 熱を捨てる過程は、左へ進む線になる。線の下の面積が、捨てる熱量
• 断熱で損失の無い過程（理想のタービンとポンプ）は、熱の出入りが無いので縦の線になる

図3は、ボイラの圧力 10 MPa、蒸気の温度 520℃、復水器の圧力 5 kPa の例です。灰色の破線は水と蒸気の境の飽和線で、山の左側が飽和液線、右側が飽和蒸気線です。山の内側は水と蒸気が混ざった湿り蒸気、右側は過熱蒸気の領域で、山の頂点を臨界点（約 22 MPa、374℃）といいます。

4つの過程を、図3の線に沿って読んでみます。

• 4→1（ボイラ）: 水の温度を上げる予熱、温度が一定のまま水が蒸気になる蒸発、飽和蒸気を 520℃（793 K）まで温める過熱の3段階で、右上へ進みます。10 MPa の蒸発の温度は約 311℃（584 K）です
• 1→2（蒸気タービン）: 断熱膨張なので縦の線で下がります。温度は復水器の圧力 5 kPa の飽和温度、約 33℃（306 K）まで下がり、湿り蒸気の領域で終わります
• 2→3（復水器）: 湿り蒸気が水に戻る等圧放熱です。圧力一定で凝縮するので、温度も 306 K で一定の横線になります
• 3→4（給水ポンプ）: 断熱圧縮で、縦の短い線です。ポンプは水の温度をほとんど上げないので、点3と点4はほぼ重なります

図4は、同じサイクルを面積で読むための図です。縦軸は 0 K から描いています。縦軸の $T$ は絶対温度なので、面積がそのまま熱量になるのは、温度を K で測り、0 K を基準にしたときだけです。

図4の面積を式にすると、次のとおりです。

• 青と緑を合わせた面積が、ボイラで受け取る熱 $q_{\mathrm{in}}$（4→1 の線の下の面積）
• 緑の面積が、復水器で捨てる熱 $q_{\mathrm{out}}$。復水器の過程は温度 $T_{\mathrm{L}}$ の横線なので、長方形になり、$q_{\mathrm{out}} = T_{\mathrm{L}}\,(s_2 - s_3)$
• 青の面積が、サイクルが取り出す正味の仕事 $w$

$$\begin{aligned} w &= q_{\mathrm{in}} - q_{\mathrm{out}} \\ \eta &= \frac{w}{q_{\mathrm{in}}} \end{aligned}$$

熱効率 $\eta$ は、受け取った熱のうち仕事になった割合です。T-s線図では、青の面積を青と緑を合わせた面積で割ったものです。図3の例で、緑の長方形の面積を確かめると、$306 \times 6.19 \fallingdotseq 1894\ \mathrm{kJ/kg}$ です。これは、後で使う $h_2 - h_3$ と一致します。

ランキンサイクルの圧力や温度は、実際の発電所では圧力計や温度計などで常に監視しています。図5は、断熱材で覆った蒸気配管と計器のイメージです。

1圧力計2大きな弁3小さな弁4断熱配管

1. 圧力計　蒸気の圧力を読む
2. 大きな弁　蒸気の流れを開閉する
3. 小さな弁　計器への流れを開閉する
4. 断熱配管　保温材で熱を逃がさない

ランキンサイクルの熱効率とh-s線図（エンタルピーで求める）

T-s線図は、面積で考えるのに向いています。数値を求めるときは、蒸気表にある比エンタルピー $h$ [kJ/kg] を使います。エンタルピーには、サイクルの計算に便利な性質が2つあります。

• 圧力一定で熱を出し入れする過程（ボイラ・復水器）では、熱量が $h$ の差に等しい
• 断熱の過程（タービン・ポンプ）では、仕事が $h$ の差に等しい

図6は、縦軸に $h$、横軸に $s$ をとったh-s線図（モリエ線図）で、同じサイクルを描いたものです。T-s線図では面積だった量が、h-s線図では縦の長さで読めます。とくに、タービンの断熱膨張は縦の線になり、その長さ $h_1 - h_2$ がそのままタービンの仕事です。

4つの機器の熱や仕事は、$h$ の差で次のように表されます。

量	機器	式
受ける熱 $q_{\mathrm{in}}$	ボイラ	$h_1 - h_4$
タービン仕事 $w_{\mathrm{t}}$	蒸気タービン	$h_1 - h_2$
捨てる熱 $q_{\mathrm{out}}$	復水器	$h_2 - h_3$
ポンプ仕事 $w_{\mathrm{p}}$	給水ポンプ	$h_4 - h_3$

サイクルの正味の仕事は、タービン仕事からポンプ仕事を引いたものです。熱効率は、これを受ける熱で割って求めます。

$$\eta = \frac{(h_1 - h_2) - (h_4 - h_3)}{h_1 - h_4}$$

ポンプが送る水は、圧縮しても体積がほとんど変わりません。そのため、ポンプ仕事は水の比体積 $v\ \mathrm{[m^3/kg]}$ と圧力差から、次のように近似できます。圧力を kPa で入れると、答えは kJ/kg になります。

$$h_4 - h_3 \fallingdotseq v\,(p_1 - p_2)$$

ポンプ仕事はタービン仕事に比べてごく小さいので、$h_4 \fallingdotseq h_3$ とみなして無視すると、次の簡単な式になります。

$$\eta \fallingdotseq \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_3}$$

各点のエンタルピーは、次のように求めます。計算問題では、これらの値が問題文に与えられる形が多いです。

点	状態	$h$ の求め方
1	過熱蒸気	蒸気表（10 MPa・520℃）
2	湿り蒸気	点1と同じ $s$ で 5 kPa
3	飽和水	5 kPa の飽和水の $h$
4	圧縮水	$h_3$ にポンプ仕事を足す

解答と解説を見る

(1) 圧力を kPa にして、ポンプ仕事を求めます。

$$\begin{aligned} w_{\mathrm{p}} &= v\,(p_1 - p_2) \\ &= 0.00100 \times (10000 - 5) \\ &\fallingdotseq 10.0\ \mathrm{kJ/kg} \end{aligned}$$

ポンプ出口は $h_4 = 138 + 10.0 = 148.0\ \mathrm{kJ/kg}$ です。

(2) ポンプ仕事を含めた熱効率です。

$$\begin{aligned} \eta &= \frac{(h_1 - h_2) - w_{\mathrm{p}}}{h_1 - h_4} \\ &= \frac{(3430 - 2030) - 10.0}{3430 - 148.0} \\ &= \frac{1390}{3282} \\ &\fallingdotseq 0.424 \end{aligned}$$

(3) ポンプ仕事を無視した熱効率です。

$$\begin{aligned} \eta &= \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_3} \\ &= \frac{1400}{3430 - 138} \\ &\fallingdotseq 0.425 \end{aligned}$$

答えは (1) 約 10 kJ/kg、(2) 約 42.4%、(3) 約 42.5% です。ポンプ仕事はタービン仕事の 1% 未満なので、無視しても効率は約 0.2 ポイントしか変わりません。

タービン内部効率と蒸気流量・出力の求め方

ここまでは、タービンの中で損失が無い理想の膨張を考えました。実際のタービンでは、蒸気が動翼と静翼の間を通るときに、摩擦や渦による損失が出ます。図7は、蒸気を受けて回る動翼のイメージです。

1動翼2翼の根元3ロータ

1. 動翼　蒸気を受けて回る
2. 翼の根元　リングに植え込む
3. ロータ　動翼を取り付けて回る

損失があると、蒸気が仕事に変えられるエネルギーが減り、出口の蒸気は理想よりエンタルピーが高い状態で出ていきます。図8は、その違いを h-s線図に描いたものです。理想の膨張は縦の線で点2に、実際の膨張は右へずれて**点2′**に達します。

実際のタービン仕事 $h_1 - h_2'$ が、理想のタービン仕事 $h_1 - h_2$ の何割にあたるかを表す値が、タービン内部効率 $\eta_{\mathrm{ti}}$ です。タービン効率や断熱効率と呼ぶ本もあります。

$$\eta_{\mathrm{ti}} = \frac{h_1 - h_2'}{h_1 - h_2}$$

内部効率が分かれば、実際の仕事は $h_1 - h_2' = \eta_{\mathrm{ti}}\,(h_1 - h_2)$ で求まります。実際の熱効率は、タービン仕事を $h_1 - h_2'$ に置き換えます。

$$\eta = \frac{(h_1 - h_2') - (h_4 - h_3)}{h_1 - h_4}$$

蒸気が 1 秒間に $G\ \mathrm{[kg/s]}$ 流れるとき、タービンの出力 $P\ \mathrm{[kW]}$ は、1 kg あたりの仕事に流量を掛けて求めます。$1\ \mathrm{kW} = 1\ \mathrm{kJ/s}$ なので、単位がそのままつながります。

$$P = G\,(h_1 - h_2')$$

蒸気流量は、t/h で与えられることもあります。$1\ \mathrm{t/h} = \dfrac{1000}{3600}\ \mathrm{kg/s}$ です。タービン出力から発電機出力や燃料消費量を求める方法は、火力発電の熱効率で扱います。

解答と解説を見る

実際のタービン仕事は、内部効率を掛けて求めます。

$$\begin{aligned} h_1 - h_2' &= \eta_{\mathrm{ti}}\,(h_1 - h_2) \\ &= 0.86 \times 1400 \\ &= 1204\ \mathrm{kJ/kg} \end{aligned}$$

ポンプ仕事を無視した熱効率は次のとおりです。

$$\begin{aligned} \eta &= \frac{h_1 - h_2'}{h_1 - h_3} \\ &= \frac{1204}{3430 - 138} \\ &\fallingdotseq 0.366 \end{aligned}$$

答えは約 36.6% です。理想の約 42.5% に内部効率 0.86 を掛けた値と一致します。タービン内部の損失で、熱効率が約 6 ポイント下がります。

解答と解説を見る

$P = G\,(h_1 - h_2')$ から、流量 $G$ を求めます。$P = 250\ \mathrm{MW} = 250 \times 10^{3}\ \mathrm{kW}$ です。

$$\begin{aligned} G &= \frac{P}{h_1 - h_2'} \\ &= \frac{250 \times 10^{3}}{3430 - 2226} \\ &\fallingdotseq 207.64\ \mathrm{kg/s} \end{aligned}$$

t/h に直します。

$$\begin{aligned} G &\fallingdotseq 207.64 \times 3600 \\ &\fallingdotseq 7.475 \times 10^{5}\ \mathrm{kg/h} \end{aligned}$$

答えは約 748 t/h です。蒸気 1 kg が 1204 kJ の仕事をするので、250 MW を出すには、毎秒約 208 kg の蒸気が必要になります。

ランキンサイクルの熱効率を上げる方法とカルノー効率との比較

高温の熱源の温度 $T_{\mathrm{H}}$ と、低温の熱源の温度 $T_{\mathrm{L}}$ の間で動く熱機関のうち、効率が最大になる理想のサイクルがカルノーサイクルです。その効率 $\eta_{\mathrm{C}}$ は、温度だけで決まります。温度は絶対温度 [K] を使います。

$$\eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{L}}}{T_{\mathrm{H}}}$$

図9は、図3の例（$T_{\mathrm{H}}$ = 793 K、$T_{\mathrm{L}}$ = 306 K）のランキンサイクルを、同じ温度の間のカルノーサイクルと重ねたものです。カルノー効率は $1 - 306 \div 793 \fallingdotseq 0.61$ で、ランキンサイクルの約 42% を大きく上回ります。

ランキンサイクルの効率が低いのは、ボイラで水を温める予熱の間、低い温度から熱を受け取るためです。図9の「届かない部分」が、カルノーサイクルの長方形からはみ出している分にあたります。受熱の温度の平均を平均受熱温度 $T_{\mathrm{m}}$ とします。$T_{\mathrm{m}}$ は、受け取る熱量 $q_{\mathrm{in}}$ を、受熱中に増える比エントロピー $s_1 - s_4$ で割った値です。理想のランキンサイクルの熱効率は、次の式でも表せます。

$$\eta = 1 - \frac{T_{\mathrm{L}}}{T_{\mathrm{m}}}$$

図3の例では $T_{\mathrm{m}}$ は約 530 K（約 257℃）で、$\eta = 1 - 306 \div 530 \fallingdotseq 0.42$ です。この式から、熱効率を上げる方法は、平均受熱温度 $T_{\mathrm{m}}$ を上げるか、放熱の温度 $T_{\mathrm{L}}$ を下げるかの2つに整理できます。

方法	T-s線図での変化	注意点
初圧を上げる	蒸発の温度が上がる	排気が湿りやすい
初温を上げる	過熱の温度が上がる	材料の耐熱に限度
復水器の圧力を下げる	放熱の温度が下がる	冷却水の温度が下限

初圧はタービン入口の蒸気の圧力、初温は温度のことです。初圧を上げると、点1が左へ寄り、縦の膨張線が湿り蒸気の領域の深くへ入ります。排気に含まれる水滴が増えると、低圧タービンの翼を傷めるので、乾き度（湿り蒸気の中の蒸気の質量の割合）が下がりすぎないようにします。

図3の例（10 MPa・520℃・5 kPa）から、1つだけ条件を変えて蒸気表で計算すると、ポンプ仕事を含めた理想の熱効率は、約 42.2% から次のように変わります。

• 初圧を 15 MPa にする: 約 43.4%（排気の乾き度は約 0.78 から約 0.75 に下がる）
• 初温を 560℃ にする: 約 42.8%
• 復水器の圧力を 4 kPa にする: 約 42.8%

ガスタービンと組み合わせるコンバインドサイクルは、火力発電の熱効率の記事で扱います。

再熱サイクルと再生サイクルをT-s線図で読む

再熱サイクルは、高圧タービンで膨張した蒸気をボイラの再熱器へ戻し、もう一度加熱してから低圧タービンで膨張させる方式です。図10は、2 MPa まで膨張させた蒸気を、520℃まで再加熱した例です。

図10では、点1から点aまで高圧タービンで膨張し、点aから点bまで再熱器で等圧加熱し、点bから点cまで低圧タービンで膨張します。灰色の破線が、再熱しないときの膨張です。

• 再熱後の出口の点cは、再熱しない点2より右にくる。飽和蒸気線に近くなり、排気の乾き度が約 0.78 から約 0.89 に上がる（湿りが減る）
• 再熱で加える熱は、約 550 K 以上の高い温度で加えるので、平均受熱温度が上がる。熱効率は約 42.2% から約 43.9% に、約 1.7 ポイント上がる

再生サイクルは、タービンの途中から蒸気の一部を取り出し（抽気）、その熱でボイラへ送る給水を温める方式です。図11は、その T-s線図です。給水が点4から点5まで抽気の熱で温められ、ボイラでの加熱が、低い温度の点4ではなく、高い温度の点5から始まります。灰色の破線は、再生しないときの加熱です。

再生サイクルで熱効率が上がる理由は、2つあります。ボイラで燃料の熱を受け取る過程が高い温度から始まるので、平均受熱温度が上がることです。また、抽気した蒸気は復水器へ行かないので、復水器で捨てる熱が減ることです。図11は、蒸気 1 kg あたりを描いた代表的な図です。抽気した分だけ後ろのタービンを流れる蒸気が減る点は、省略しています。

給水を抽気で温める装置が、給水加熱器です。図12は、その管束のイメージです。細い管の中を給水が流れ、管の外側に抽気蒸気を当てて、給水を温めます。

1管板2管の束3支え板4折り返し

1. 管板　管の端を固定する
2. 管の束　中を給水が流れる
3. 支え板　管の束を支える
4. 折り返し　管がU字に曲がる

再熱と再生の違いを、T-s線図の見方で整理します。

項目	再熱サイクル	再生サイクル
温めるもの	タービン途中の蒸気	ボイラへ入る給水
T-s線図で変わる所	膨張の途中	加熱の始まり
排気の湿り	減る	減らない

実際の大容量の汽力発電所は、再熱と再生を両方使う再熱再生サイクルが一般的です。系統図は、火力発電の熱効率の記事にあります。

解答と解説を見る

(1) は正しい記述です。タービンは、断熱膨張で蒸気のエンタルピーを減らし、その分を仕事にします。

(2) は正しい記述です。復水器は等圧放熱の過程です。

(3) は正しい記述です。再熱すると、点cが飽和蒸気線に近づき、排気の湿りが減ります。

(4) は正しい記述です。抽気した蒸気は復水器へ行かないので、捨てる熱が減ります。

(5) が誤りです。給水ポンプは、水を断熱圧縮して、復水器の圧力からボイラの圧力まで上げます。圧力を下げる過程ではありません。

答えは (5) です。

よくある質問

カルノーサイクルとランキンサイクルは何が違いますか。

カルノーサイクルは、2つの温度の間で動く熱機関の効率の上限を表す理想のサイクルで、T-s線図では長方形になります。ランキンサイクルは、水と蒸気の実際の性質に合わせたサイクルです。ボイラで予熱する間、低い温度から熱を受け取るので、同じ温度の間で動くカルノーサイクルより効率が低くなります。

T-s線図とh-s線図は、どう使い分けますか。

T-s線図は、面積が熱量や仕事を表すので、サイクルの形や、効率が上がる理由を考えるときに向いています。h-s線図は、タービンの膨張が縦の線になり、その長さ $h_1 - h_2$ がそのまま仕事になるので、数値を求める計算に向いています。計算問題では、h-s線図や蒸気表のエンタルピーを使うことが多いです。

ランキンサイクルで、ポンプ仕事を無視してよいのはなぜですか。

水は圧縮してもほとんど体積が変わらず、ポンプ仕事 $v\,(p_1 - p_2)$ がタービン仕事に比べて小さいからです。例題1では、ポンプ仕事は約 10 kJ/kg で、タービン仕事の 1% 未満でした。無視しても効率は約 0.2 ポイントしか変わりません。ただし、問題文でポンプ仕事が与えられたときは、式に入れて計算します。

再熱と再生は、何のために行うのですか。

再熱は、高圧タービンの排気を温め直して、低圧タービンの出口の湿りを減らすために行います。平均受熱温度が上がるので、熱効率も上がります。再生は、抽気の熱で給水を温め、ボイラの受熱を高い温度から始めて、復水器で捨てる熱を減らすために行います。目的が違うので、試験では組合せを問われます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

ランキンサイクルの4つの過程と、対応する機器は？

4→1 等圧加熱はボイラ、1→2 断熱膨張は蒸気タービン、2→3 等圧放熱は復水器、3→4 断熱圧縮は給水ポンプです。

T-s線図では、熱量や仕事を何で読みますか？

面積で読みます。線の下の面積が熱量、サイクルに囲まれた面積が仕事です。

h-s線図で、タービン仕事は何で読みますか？

点1と点2を結ぶ縦の線の長さ $h_1 - h_2$ です。

ポンプ仕事を無視したときの、熱効率の式は？

$\eta \fallingdotseq \dfrac{h_1 - h_2}{h_1 - h_3}$ です。

タービン内部効率の式と、蒸気流量から出力を求める式は？

$\eta_{\mathrm{ti}} = \dfrac{h_1 - h_2'}{h_1 - h_2}$、$P = G\,(h_1 - h_2')$ です。

再熱と再生のねらいは、それぞれ何ですか？

再熱は排気の湿りを減らし、再生は抽気で給水を温めて、捨てる熱を減らします。

まとめ

• ランキンサイクルは、等圧加熱（ボイラ）、断熱膨張（蒸気タービン）、等圧放熱（復水器）、断熱圧縮（給水ポンプ）の4過程でできる
• T-s線図では面積が熱量や仕事を表し、h-s線図では縦の長さがタービン仕事や熱を表す。温度は K で読む
• 熱効率は $\eta = \dfrac{(h_1 - h_2) - (h_4 - h_3)}{h_1 - h_4}$。ポンプ仕事を無視すると $\dfrac{h_1 - h_2}{h_1 - h_3}$
• 実際の膨張は点2′で終わる。内部効率は $\eta_{\mathrm{ti}} = \dfrac{h_1 - h_2'}{h_1 - h_2}$、タービン出力は $P = G\,(h_1 - h_2')$
• 熱効率は、初圧・初温を上げるか、復水器の圧力を下げると上がる。上限はカルノー効率 $1 - \dfrac{T_{\mathrm{L}}}{T_{\mathrm{H}}}$
• 再熱は排気の湿りを減らし、再生は抽気で給水を温めて捨てる熱を減らす。どちらも熱効率が上がる

ランキンサイクルの考え方がつかめたら、次は 汽力発電の設備 と 火力発電の熱効率 で、各機器のつくりと、発電端効率・送電端効率、燃料消費量の計算を確認しましょう。