風力発電の出力の求め方｜風速の3乗に比例する理由・ベッツ限界・風車の制御

風が 2 倍の速さで吹くと、風車の出力は 8 倍になります。それが風力発電です。太陽光発電は光から直接電気をつくりましたが、風力発電は風の運動エネルギーで風車を回し、発電機を回します。燃料は要りませんが、出力は風速で大きく変わります。この記事では、風のエネルギーから出力の式を導く手順、出力が風速の 3 乗に比例する理由、ベッツ限界と出力係数、風車の制御、発電機と系統連系を、図と例題で整理します。電験三種の「電力」では、風力発電の出力の式と計算が問われます。

• 風力発電とは
  • 風の運動エネルギーで風車を回し、発電機で電気にする
• 風のエネルギーと出力の式
  • 風が持つパワー $P_0=\dfrac{1}{2}\rho A v^{3}$
• 出力は風速の 3 乗に比例
  • 風速 2 倍で 8 倍、直径 2 倍で 4 倍
• ベッツ限界と出力係数
  • 取り出せるのは最大 $\dfrac{16}{27}$（約 59 %）。$P=C_p\,P_0$
• 風車の種類と出力の制御
  • ピッチ制御とヨー制御。カットイン・定格・カットアウト
• 発電機と系統連系
  • 誘導発電機は進相コンデンサで無効電力を補う
  • 出力が風まかせなのが課題

風力発電とは

風力発電は、風の持つ運動エネルギーを風車で回転の力に変え、発電機で電気にする発電方式です。火力・原子力のように、燃料を燃やして蒸気をつくる工程はありません。風が風車を回し、その回転が発電機に伝わります（図1）。

風車は 4 つの部分でできています。

部分	はたらき
ブレード（羽根）	風を受けて回る
ハブ	ブレードの根元をつなぐ。ブレードの角度を変える機構が入る
ナセル	増速機と発電機などを収める箱
タワー	ナセルを高い所で支える

ブレードの回転は遅いので、増速機で速めてから発電機へ伝えます。ナセルはタワーの上で向きを変えられ、風の向きに合わせます。

遠くから見ると、風車はタワーの上に細長いブレードを 3 枚つけた形をしています。

1タワー2ブレード3太陽4遠くの風車

1. タワー　ナセルとブレードを高い所で支える
2. ブレード　風を受けて回る羽根
3. 太陽　地平線の近くにある
4. 遠くの風車　ほかの風車も並んでいる

風のエネルギーと出力の式

風力発電の出力は、風が持つ運動エネルギーから決まります。導き方は次の 3 段階です（図3）。

空気の密度を $\rho\ \mathrm{[kg/m^{3}]}$、風速を $v\ \mathrm{[m/s]}$、ブレードが回る円の面積（回転面積）を $A\ \mathrm{[m^{2}]}$ とします。

1. 1 秒間に回転面を通る空気は、底面積 $A$、長さ $v$ の円筒に入っている分です。体積は $Av\ \mathrm{[m^{3}]}$ です。
2. 質量は、体積に密度を掛けて $\rho A v\ \mathrm{[kg]}$ です。
3. この質量の運動エネルギー $\dfrac{1}{2}mv^{2}$ が 1 秒あたりの値なので、そのまま出力 $\mathrm{[W]}$ になります。

$$\begin{aligned} P_0 &= \dfrac{1}{2}\times(\rho A v)\times v^{2} \\ &= \dfrac{1}{2}\rho A v^{3}\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

これが、風が持っているパワーです。風車が電気にできるのは、このうちの一部です。回転面は円なので、直径を $D$ とすると $A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}$ で、次のようにも書けます。

$$P_0=\dfrac{\pi}{8}\rho D^{2}v^{3}$$

空気の密度は、海面付近・15℃ の標準大気で約 $1.225\ \mathrm{[kg/m^{3}]}$ です。計算問題では、$1.2\ \mathrm{[kg/m^{3}]}$ などの値が問題文で与えられます。

水力発電の出力は、落差と流量から決まりました。風力は、流体が水から空気に、エネルギーが位置から運動に変わります。

項目	水力	風力
流体	水	空気
密度	約 1000 kg/m³	約 1.2 kg/m³
使うエネルギー	位置エネルギー	運動エネルギー
出力を決めるもの	流量と落差	風速と回転面積

空気の密度は水の約 800 分の 1 しかありません。同じ出力を得るには、風を受ける面を大きくする必要があり、風車が大きくなる理由の 1 つです。

解答と解説を見る

回転面積を求めます。

$$\begin{aligned} A &= \pi\times 40^{2} \\ &= 5027\ \mathrm{[m^{2}]} \end{aligned}$$

風が持つパワーは次のとおりです。

$$\begin{aligned} P_0 &= \dfrac{1}{2}\rho A v^{3} \\ &= \dfrac{1}{2}\times 1.2\times 5027\times 10^{3} \\ &= 3.02\times 10^{6}\ \mathrm{[W]} \\ &\approx 3.0\ \mathrm{[MW]} \end{aligned}$$

半径 $40\ \mathrm{[m]}$ を $\pi r^{2}$ に入れたので、直径 $80\ \mathrm{[m]}$ をそのまま 2 乗しないよう注意します。

出力は風速の3乗・直径の2乗に比例する

$P_0=\dfrac{1}{2}\rho A v^{3}$ を見ると、出力は風速 $v$ の 3 乗に比例します。回転面積 $A$ は直径 $D$ の 2 乗に比例するので、出力は直径の 2 乗にも比例します（図4）。

風速が 3 乗で効く理由は、2 つの効果が重なるからです。

• 風速が上がると、1 秒間に通る空気の質量が風速に比例して増える
• 空気 1 kg あたりの運動エネルギーが、風速の 2 乗に比例して増える

風速 [m/s]	10 m/s との比	出力の比
5	0.5	0.125
10	1	1
15	1.5	3.375
20	2	8

風速がわずか 10 % 増えるだけで、出力は $1.1^{3}=1.331$ 倍、約 33 % も増えます。逆に、風速が半分になると出力は 8 分の 1 に落ちます。風力発電の出力が、風の強さで大きく上下するのはこのためです。

風速は、地面から離れるほど強くなる傾向があります。そのため、タワーは高く、ブレードは長くします。ブレードが長いほど回転面積が大きくなり、出力は直径の 2 乗で増えます。

ブレードは 1 本が長く、運ぶときは専用の大型トレーラーに載せます。

1ブレード2トラック

1. ブレード　長いほど回転面積が大きくなる
2. トラック　ブレードを載せて運ぶ車両

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(1) 風速が $\dfrac{9}{6}=1.5$ 倍になるので、出力は 3 乗の倍率になります。

$$\begin{aligned} P &= 90\times 1.5^{3} \\ &= 90\times 3.375 \\ &\approx 304\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

(2) 直径が 1.5 倍なので、回転面積は $1.5^{2}=2.25$ 倍です。

$$\begin{aligned} P &= 90\times 1.5^{2} \\ &= 202.5\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

ベッツ限界と出力係数

風車は、風から運動エネルギーを取り出します。そのため、風車を通ったあとの風は遅くなります。風を完全に止めてしまうと、空気が詰まって次の風が流れ込めません。そのため、風のエネルギーを全部取り出すことはできません。

風車に向かう風速を $v_1$（これまでの $v$）、通り抜けたあとの風速を $v_2$ とします。風は遅くなる分、通る道すじが広がります（図6）。

空気の運動量の変化から、風車の位置での風速 $v$ は、前後の風速の平均になることが示せます。ここでは結果だけ使います。

$$v=\dfrac{v_1+v_2}{2}$$

風車が取り出すパワーは、風が 1 秒あたりに失う運動エネルギーに等しくなります。

$$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2}\,\rho A v\,(v_1^{2}-v_2^{2}) \\ &= \dfrac{1}{4}\,\rho A\,(v_1+v_2)(v_1^{2}-v_2^{2}) \end{aligned}$$

ここで $x=\dfrac{v_2}{v_1}$ とおくと、$P$ は次の形に整理できます。

$$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2}\rho A v_1^{3}\times\dfrac{1}{2}(1+x)(1-x^{2}) \\ &= C_p\,P_0 \end{aligned}$$

前半は、風車がないときに通る風のパワー $P_0$ です。後半の $C_p$ が、そのうち風車が取り出せる割合で、出力係数（パワー係数）といいます。

$$C_p=\dfrac{1}{2}(1+x)(1-x^{2})$$

$x$ を変えると $C_p$ は 図7のように変わります。$C_p$ は $x=\dfrac{1}{3}$ のとき最大になります。

$$\begin{aligned} C_p &= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{8}{9} \\ &= \dfrac{16}{27}\approx 0.593 \end{aligned}$$

つまり、風から取り出せるエネルギーは、どれだけ理想的につくっても約 59 % までです。これをベッツ限界といいます。風車の出力は、次の式で表します。

$$P=C_p\,\dfrac{1}{2}\rho A v^{3}$$

実際の風車では、ブレードの形や空気との摩擦の影響で、$C_p$ は約 $0.4\sim 0.5$ が目安です。機種や運転状態で変わるので、計算問題では問題文の値を使います。発電機から出る電力は、さらに増速機や発電機の効率を掛けた値になります。

$C_p$ は、ブレードの先端の速さと風速の比でも変わります。この比を周速比といい、ブレードの半径を $R\ \mathrm{[m]}$、角速度を $\omega\ \mathrm{[rad/s]}$、風速を $v\ \mathrm{[m/s]}$ として次の式で表します。

$$\lambda=\dfrac{\omega R}{v}$$

回転速度 $n\ \mathrm{[min^{-1}]}$ のとき、$\omega=\dfrac{2\pi n}{60}$ です。3 枚羽根の風車では、周速比が約 6〜8 のときに $C_p$ が最大になるのが目安です。

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まず、風が持つパワーを求めます。

$$\begin{aligned} A &= \pi\times 30^{2} \\ &= 2827\ \mathrm{[m^{2}]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} P_0 &= \dfrac{1}{2}\times 1.2\times 2827\times 10^{3} \\ &= 1696\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

(1) $C_p$ の最大値は $\dfrac{16}{27}$ です。

$$\begin{aligned} P_{\mathrm{max}} &= \dfrac{16}{27}\times 1696 \\ &\approx 1005\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

(2) ブレードが取り出す出力に、2 つの効率を掛けます。

$$\begin{aligned} P &= 1696\times 0.45\times 0.95\times 0.95 \\ &= 763\times 0.9025 \\ &\approx 689\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

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(1) 角速度を求めます。

$$\begin{aligned} \omega &= \dfrac{2\pi\times 15}{60} \\ &= 1.571\ \mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$

先端の速さと周速比は次のとおりです。

$$\begin{aligned} u &= \omega R \\ &= 1.571\times 40 \\ &= 62.8\ \mathrm{[m/s]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} \lambda &= \dfrac{62.8}{10} \\ &\approx 6.3 \end{aligned}$$

(2) 4 極・50 Hz の同期速度は次のとおりです。

$$\begin{aligned} N_s &= \dfrac{120\times 50}{4} \\ &= 1500\ \mathrm{[min^{-1}]} \end{aligned}$$

増速比は、発電機の回転速度を風車の回転速度で割った値です。

$$\dfrac{1500}{15}=100$$

風車の種類と出力の制御

風車は、回転軸の向きで 2 種類に分けられます。

種類	回転軸	特徴
水平軸（プロペラ形）	風と平行	効率が高い。大型の発電用に使う
垂直軸（ダリウス形・サボニウス形）	地面に垂直	風向きを選ばない。効率は低め

プロペラ形は、ブレードの断面が飛行機の翼に似た形で、風を受けると生じる揚力で回ります。垂直軸のダリウス形も揚力を使い、サボニウス形は風に押される力（抗力）で回ります。発電用の大きな風車は、ほとんどが水平軸のプロペラ形です。水平軸の風車は、風向きに正面を向ける必要があります。

風車の出力を調節して守るために、次の制御を使います（図8）。

制御	はたらき	目的
ピッチ制御	ブレードの角度を変える	出力の調整・強風時の保護
ストール制御	ブレードの形で失速を利用する	角度を固定して出力を抑える
ヨー制御	ナセルの向きを変える	風車の正面を風向きに合わせる

ピッチ制御では、ブレードの根元をハブの中で回して、風を受ける角度を変えます。風を逃がす向きに回すと、受ける力が小さくなって出力が下がります。強風のときや停止するときは、ブレードを風と平行にして風をほとんど受けない状態にします。これをフェザリングといいます。

ストール制御は、角度を固定したまま、風が強くなるとブレードの背で空気の流れがはがれて揚力が減る性質を使います。出力が上がりすぎるのを自然に抑えます。

ヨー制御は、風向きの変化に合わせて、ナセル全体をタワーの上で回します。正面から風を受けると、出力が最も大きくなります。

1ハブ2ナセル3ブレード4タワー

1. ハブ　ブレードの根元。ここでピッチを変える
2. ナセル　発電機などを収め、ヨー制御で向きを変える
3. ブレード　風を受けて回る
4. タワー　ナセルを支える

出力は、風速に応じて次のように変わります（図10）。風速が低すぎると、風車は発電しません。

風速	風車のようす
カットイン風速より低い	発電しない
カットイン〜定格風速	風速の 3 乗に比例して出力が増える
定格〜カットアウト風速	ピッチ制御などで定格出力に保つ
カットアウト風速より高い	機器を守るため停止する

カットイン風速は約 3〜5 m/s、定格風速は約 10〜15 m/s、カットアウト風速は約 25 m/s が目安です。機種によって違うので、計算問題では問題文の値を使います。

定格風速をこえると、風が持つパワーは風速の 3 乗でさらに増え続けます。それでも出力が一定なのは、発電機などの機器に限度があるからです。ピッチ制御でブレードの角度を変え、風を逃がして、出力が定格をこえないようにしています。

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(1) 風速は定格の $\dfrac{6}{12}=0.5$ 倍なので、出力は $0.5^{3}$ 倍です。

$$\begin{aligned} P &= 2000\times 0.5^{3} \\ &= 250\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

(2) 風速ごとの発電電力量を求めます。

• $6\ \mathrm{[m/s]}$：$250\times 10=2500\ \mathrm{[kWh]}$
• $15\ \mathrm{[m/s]}$：定格風速以上でカットアウト未満なので、定格出力 $2000\ \mathrm{[kW]}$ で $2000\times 8=16000\ \mathrm{[kWh]}$
• $2\ \mathrm{[m/s]}$：カットイン未満なので発電しない

1 日の発電電力量は $2500+16000=18500\ \mathrm{[kWh]}$ です。設備利用率は、定格出力で 24 時間運転したときの電力量に対する割合です。

$$\begin{aligned} \text{設備利用率} &= \dfrac{18500}{2000\times 24} \\ &= 0.385 \\ &= 38.5\ [\%] \end{aligned}$$

発電機と系統連系

風車のブレードは、毎分十数回転でゆっくり回ります。発電機は毎分 1500 回転前後で回るものが多いので、間に増速機を入れます。発電機には、次の 2 つの方式があります。

方式	構成	特徴
増速機つき	増速機＋誘導発電機	構造が簡単
直接駆動	多極の同期発電機	増速機が要らない

増速機を使わない方式では、極数を多くした同期発電機を、ブレードの遅い回転でそのまま回します。

風速が変わると、ブレードの回転速度も変わります。回転速度が変わる運転では、発電機の周波数も変わるので、インバータで系統の周波数にそろえてから連系します。

誘導発電機を使う場合は、回転子を同期速度より少し速く回します。このとき、すべりが負になり、発電機として動きます。誘導機は、回転磁界をつくる励磁電流を系統から受ける必要があり、これが遅れの無効電力になります。そのままでは力率が下がるので、進相コンデンサをつないで無効電力を補います（図11）。力率改善と同じ考え方です。

風力発電の長所と短所は、ここまでの仕組みから整理できます。

特徴	理由
燃料が要らない	風の運動エネルギーを使う
出力が風まかせ	出力は風速の 3 乗に比例する
風況のよい場所が必要	風が強く、安定した場所ほど有利
強風への備えが必要	風が強すぎると、停止やフェザリングをする

太陽光発電は日中だけ発電しますが、風力発電は夜も風が吹けば発電します。ただし、どちらも天気まかせで、出力が上下します。その変動を支えるのが、揚水発電などの調整できる電源です。

海の上は障害物が少なく、風が安定しやすいので、海に風車を並べる方法もあります。

1ブレード2タワー3海面4遠くの風車

1. ブレード　風を受けて回る
2. タワー　海の上に立つ支柱
3. 海面　穏やかな海の上に設置する
4. 遠くの風車　水平線の近くまで並んでいる

よくある質問

風力発電の出力は、なぜ風速の 3 乗に比例するのですか？

風速が上がると、1 秒間に通る空気の質量が風速に比例して増え、空気 1 kg あたりの運動エネルギーも風速の 2 乗に比例して増えるからです。この 2 つを掛けると、風速の 3 乗になります。

ベッツ限界とは何ですか？ 100 % 取り出せないのはなぜですか？

風車で取り出せる風のエネルギーの上限で、$\dfrac{16}{27}$、約 59 % です。風のエネルギーをすべて取り出すと、風車を通ったあとの風速が 0 になり、空気が詰まって次の風が入れないためです。風車の前後で風速が $\dfrac{1}{3}$ になるとき、取り出せる量が最大になります。

風速が定格風速をこえると、なぜ出力は増えないのですか？

発電機などの機器に限度があるからです。ブレードの角度を変えるピッチ制御で風を逃がして、出力が定格をこえないようにします。

風力発電と太陽光発電では、出力の変動にどんな違いがありますか？

太陽光発電は、日射で決まるので昼に出力が大きく、夜は 0 です。風力発電は風速で決まり、夜でも風が吹けば発電します。どちらも天気まかせで、変動を補う電源が必要なのは同じです。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

風が持つパワーを表す式は何ですか？

$P_0=\dfrac{1}{2}\rho A v^{3}$ です。$\rho$ は空気の密度、$A$ は回転面積、$v$ は風速です。

風速が 2 倍、直径が 2 倍になると、出力はそれぞれ何倍になりますか？

風速 2 倍で $2^{3}=8$ 倍、直径 2 倍で回転面積が 4 倍になるので 4 倍です。

ベッツ限界の値と、その意味は何ですか？

$\dfrac{16}{27}$（約 0.593）です。風から取り出せるエネルギーの理論上の上限で、風車の前後で風速が $\dfrac{1}{3}$ になるときに最大です。

ピッチ制御とヨー制御は、それぞれ何を変えますか？

ピッチ制御はブレードの角度、ヨー制御はナセルの向きを変えます。

カットイン風速、定格風速、カットアウト風速では、それぞれ風車はどうなりますか？

カットインで発電を始め、定格風速で定格出力になり、カットアウトをこえると機器を守るために停止します。

誘導発電機で進相コンデンサを使うのは、なぜですか？

励磁のために系統から遅れの無効電力を受けるので、それを補って力率を保つためです。

まとめ

• 風力発電は、風の運動エネルギーで風車を回し、発電機で電気にする
• 風が持つパワーは $P_0=\dfrac{1}{2}\rho A v^{3}$。風速の 3 乗、直径の 2 乗に比例する
• 風車の出力は $P=C_p\,P_0$。出力係数 $C_p$ の理論上の上限（ベッツ限界）は $\dfrac{16}{27}$
• ピッチ制御はブレードの角度を、ヨー制御はナセルの向きを変える
• 出力はカットインで発電を始め、定格風速以上は一定、カットアウトで停止する
• 誘導発電機は遅れの無効電力を受けるので、進相コンデンサで補う
• 出力は風まかせ。変動は揚水発電などで支える

求めるもの	式
風のパワー	$P_0=\dfrac{1}{2}\rho A v^{3}$
回転面積	$A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}$
風車の出力	$P=C_p\,P_0$
ベッツ限界	$C_p=\dfrac{16}{27}\approx 0.593$
周速比	$\lambda=\dfrac{\omega R}{v}$

太陽光発電と風力発電は、どちらも出力が自然まかせです。その変動を支える揚水発電も合わせて読んでください。