測定の誤差の計算｜誤差の種類と、掛け算・割り算で誤差がどう伝わるかを図解

測定には、必ず誤差があります。しかも、いくつかの値を掛けたり割ったりして答えを出すと、もとの値の誤差も一緒に伝わって、答えの誤差が変わります。

この記事では、誤差の種類から、精度階級で出す誤差の幅、和・差・積・商・べき乗での誤差の伝わり方、電力の誤差率、有効数字、ディジタル計器の確度までを、図と例題で順に確認します。誤差率と精度階級の定義は指示電気計器の種類で扱ったので、ここでは使い方に集中します。

• 測定の誤差とは
  • 誤差は測定値 − 真の値。系統誤差・偶然誤差・過失に分ける
• 精度階級と誤差の幅
  • 許容誤差は最大目盛値の何 % か。真の値の範囲を出せる
• 誤差の伝わり方
  • 和・差は誤差の大きさ、積・商は誤差率が足し合わさる。べき乗は n 倍
• 差を測るとき
  • 近い値の差は、誤差率が大きくなる
• 偶然誤差と平均
  • n 回の平均で、ばらつきは 1/√n になる
• 有効数字とディジタル計器
  • 桁数をそろえる。確度は ±(読み値の a % ＋ b digit)

測定の誤差とは：系統誤差・偶然誤差・過失

測定した値を測定値 $M$、本当の値を真の値 $T$ とします。真の値は、測定では正確に知ることができません。そこで、より精密な計器で測った値などを、真の値の代わりに使います。

測定値と真の値の差が誤差で、誤差を真の値で割ったものが誤差率 $\varepsilon$ です。

$$\begin{aligned} \text{誤差} &= M - T \\ \varepsilon &= \frac{M - T}{T} \end{aligned}$$

$\varepsilon$ は小数でも % でも書きます。たとえば $\varepsilon = 0.02$ は 2 % です。$\varepsilon$ が正なら大きく、負なら小さく測れています。この記事では、$M = T(1 + \varepsilon)$ の形でよく使います。

誤差は、現れ方で3つに分けます。

種類	現れ方	減らし方
系統誤差	向きが毎回同じ	校正・補正
偶然誤差	向きがばらばら	回数を増やす
過失	ミスで大きくずれる	確認・再測定

図1は、同じ的を何回も狙う様子です。毎回同じ向きにずれるのが系統誤差（かたより）で、毎回ちがう向きに散らばるのが偶然誤差（ばらつき）です。橙色の矢印は、的の中心から測定値の集まりまでのずれです。両方が小さいときだけ、真の値に近い測定になります。

系統誤差：原因が分かれば補正できる

系統誤差は、同じ条件で測れば、同じ向き・同じ大きさで出る誤差です。原因で3つに分けます。

• 計器誤差：目盛の狂いや零点のずれなど、計器そのものの不完全さによる誤差
• 方法誤差：測り方そのものから出る誤差。電圧計や電流計の内部抵抗が回路に影響する場合などで、理論誤差ともいう（抵抗の測定で扱います）
• 個人誤差：針を斜めから見る、目盛を読むときのくせなど、測る人による誤差

原因が分かれば、測定値を補正して取り除けます。計器は、基準になる計器と比べる校正で、誤差を調べておきます。

1円柱2本尺3ジョウ4定規

1. 円柱　ノギスではさんで測る
2. 本尺　目盛を読み取る
3. ジョウ　円柱をはさむ部分
4. 定規　目盛つきの長さの基準

偶然誤差と過失

偶然誤差は、原因をつかめない小さな変動で、向きも大きさも測るたびにばらつきます。補正はできませんが、測定を重ねて平均すると小さくなります（あとの節で確認します）。

過失は、読み違い、記録のミス、つなぎ間違いなどの、まちがいによる誤差です。誤差の大きさが他と比べて極端なので、気づいたら測定値から除くか、測りなおします。

精度階級から誤差の幅と真の値の範囲を出す

指示電気計器の精度は、階級で表します。階級は、許容誤差を最大目盛値に対する % で示したものです（定義は指示電気計器の種類で確認しました）。許容誤差の幅 $\Delta$ は、最大目盛値に階級を掛けて求めます。

$$\Delta = \text{最大目盛値} \times \frac{\text{階級}}{100}$$

読み値を $M$ とすると、真の値 $T$ は次の範囲にあります。

$$M - \Delta \leqq T \leqq M + \Delta$$

$\Delta$ は目盛のどこを読んでも同じなので、読み値が小さいほど、読み値に対する割合は大きくなります。針が目盛の小さい側で止まる測り方は、なるべく避けます。

1針2目盛3軸4枠

1. 針　指示値を示す
2. 目盛　針の位置を読む
3. 軸　針の回転の中心
4. 枠　金属の枠

解答と解説を見る

(1) 最大目盛値に階級を掛けます。

$$\Delta = 10 \times \frac{1.0}{100} = 0.10\,\mathrm{A}$$

(2) 読み値に $\pm\Delta$ を加減します。

$$\begin{aligned} 4.0 - 0.10 &= 3.9\,\mathrm{A} \\ 4.0 + 0.10 &= 4.1\,\mathrm{A} \end{aligned}$$

真の値は、3.9 A 以上 4.1 A 以下です。

(3) $\Delta$ は 0.10 A のままです。

$$\frac{0.10}{1.0} \times 100 = 10\,\%$$

4.0 A のときは $0.10/4.0 = 2.5\,\%$ でした。読み値が小さいと、割合が4倍になります。

誤差の伝わり方：和・差・積・商・べき乗

電圧と電流から電力を、電圧と電流から抵抗を求めるように、直接測った値から計算で答えを出すことを、間接測定といいます。測った値 $x,\ y$ に誤差があると、計算で出した答え $z$ にも誤差が伝わります。伝わり方は、計算の種類で決まります。

真の値を $T_x,\ T_y$、誤差を $\Delta x,\ \Delta y$、誤差率を $\varepsilon_x,\ \varepsilon_y$ とします。測定値は、次のように表せます。

$$\begin{aligned} M_x &= T_x + \Delta x = T_x(1 + \varepsilon_x) \\ M_y &= T_y + \Delta y = T_y(1 + \varepsilon_y) \end{aligned}$$

和と差：誤差そのものが足し合わさる

和と差は、次のようになります。

$$\begin{aligned} M_x + M_y &= (T_x + T_y) + (\Delta x + \Delta y) \\ M_x - M_y &= (T_x - T_y) + (\Delta x - \Delta y) \end{aligned}$$

答えの誤差は、和では $\Delta x + \Delta y$、差では $\Delta x - \Delta y$ です。誤差が逆向きなら打ち消し合いますが、最悪の場合は、和でも差でも $|\Delta x| + |\Delta y|$ まで大きくなります。引き算をしても、誤差は引き算になりません。

積と商：誤差率が足し合わさる

積は、次のように変形できます。

$$\begin{aligned} M_x M_y &= T_x(1 + \varepsilon_x) \cdot T_y(1 + \varepsilon_y) \\ &= T_x T_y\,(1 + \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_x \varepsilon_y) \end{aligned}$$

図4のように、縦と横の長さの誤差は、面積では右と上の細長い部分になります。右上のすみの $\varepsilon_x \varepsilon_y$ は、$\varepsilon$ が小さいとさらに小さいので、無視できます。

したがって、$\varepsilon$ が1に比べて十分小さいとき、次の近似が使えます。

$$(1 + \varepsilon_x)(1 + \varepsilon_y) \fallingdotseq 1 + \varepsilon_x + \varepsilon_y$$

積の誤差率は、$\varepsilon_x$ と $\varepsilon_y$ の和です。商は、$1/(1 + \varepsilon_y) \fallingdotseq 1 - \varepsilon_y$ を使います。

$$\begin{aligned} \frac{1 + \varepsilon_x}{1 + \varepsilon_y} &\fallingdotseq (1 + \varepsilon_x)(1 - \varepsilon_y) \\ &\fallingdotseq 1 + \varepsilon_x - \varepsilon_y \end{aligned}$$

商の誤差率は、$\varepsilon_x - \varepsilon_y$ です。誤差が逆向きに出れば打ち消し合いますが、最悪の場合は、積も商も $|\varepsilon_x| + |\varepsilon_y|$ まで大きくなります。

近似がどのくらい合うかを、$\varepsilon_x = \varepsilon_y = \varepsilon$ の積で確かめます。近似値は $2\varepsilon$、厳密値は $(1 + \varepsilon)^2 - 1$ です。

誤差率	近似値	厳密値
1 %	2 %	2.01 %
5 %	10 %	10.25 %
10 %	20 %	21 %

数 % までは、近似で十分です。

べき乗：誤差率が n 倍になる

$z = x^n$ のように同じ値を $n$ 回掛けると、誤差率は $n$ 倍になります。

$$(1 + \varepsilon_x)^n \fallingdotseq 1 + n\varepsilon_x$$

たとえば、円の半径を測って面積 $\pi r^2$ を求めると、半径の誤差率 1 % は、面積の誤差率 2 % になります。$n$ は負や分数でも使えます。$1/x$ は $-\varepsilon_x$、$\sqrt{x}$ は $\varepsilon_x/2$ です。

ここまでを、表にまとめます。

計算	足すもの	最大の誤差
和・差	誤差の大きさ	$\lvert\Delta x\rvert + \lvert\Delta y\rvert$
積・商	誤差率の大きさ	$\lvert\varepsilon_x\rvert + \lvert\varepsilon_y\rvert$
べき乗	誤差率の n 倍	$\lvert n\varepsilon_x\rvert$

電力の誤差率：P = VI と P = I²R

積とべき乗の使い道で多いのが、電力です。電力計を使わず、電圧計と電流計の指示から $P = VI$ で求めると、電圧と電流の誤差率が足し合わさります（電力計で直接測る方法は、二電力計法の公式で扱いました）。電圧の誤差率を $\varepsilon_V$、電流を $\varepsilon_I$、抵抗を $\varepsilon_R$ とすると、電力の誤差率 $\varepsilon_P$ は、およそ次のとおりです。

電力の式	誤差率 $\varepsilon_P$
$P = VI$	$\varepsilon_V + \varepsilon_I$
$P = I^2R$	$2\varepsilon_I + \varepsilon_R$
$P = V^2/R$	$2\varepsilon_V - \varepsilon_R$

$P = I^2R$ では、電流が2乗なので、電流の誤差率が2倍で効きます。同じ大きさの誤差率なら、抵抗より電流のほうが、電力の誤差に大きく響きます。

解答と解説を見る

まず、電圧計と電流計の許容誤差の幅を出します。

$$\begin{aligned} \Delta V &= 100 \times \frac{1.0}{100} = 1.0\,\mathrm{V} \\ \Delta I &= 10 \times \frac{1.5}{100} = 0.15\,\mathrm{A} \end{aligned}$$

読み値に対する割合は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} \varepsilon_V &= \frac{1.0}{80} = 1.25\,\% \\ \varepsilon_I &= \frac{0.15}{5.0} = 3.0\,\% \end{aligned}$$

積の最大の誤差率は、両方の和です。

$$\varepsilon_P \fallingdotseq 1.25 + 3.0 = 4.25\,\%$$

電力の読み値は $80 \times 5.0 = 400\,\mathrm{W}$ なので、誤差の幅は次のとおりです。

$$400 \times 0.0425 = 17\,\mathrm{W}$$

電力の値は、およそ 383 W から 417 W の範囲です。厳密に $(1.0125)(1.03) - 1$ を計算しても約 4.29 % で、ほぼ同じです。

解答と解説を見る

電流は2乗なので、誤差率が2倍で効きます。

$$\begin{aligned} \varepsilon_P &\fallingdotseq 2\varepsilon_I + \varepsilon_R \\ &= 2 \times 2 + (-1) \\ &= +3\,\% \end{aligned}$$

厳密には $1.02^2 \times 0.99 - 1 = 0.029996$ で、約 3.0 % です。電力は、真の値より約 3 % 大きく求まります。

近い値の差を測ると、誤差率が大きくなる理由

差の誤差は、和と同じように、2つの誤差が足し合わさります。ところが、差そのものは小さくなるので、差に対する誤差の割合（誤差率）は大きくなります。

たとえば、送電端と受電端の電圧を別々に測って、その差の電圧降下を求める場合を考えます。100.0 V と 98.0 V を、どちらも最大 $\pm 1\,\mathrm{V}$（読み値の 1 %）の誤差で測ったとします。

図5のとおり、差は 2.0 V ですが、誤差は最大 $\pm 2.0\,\mathrm{V}$ まで広がります。誤差率は $2.0/2.0 = 100\,\%$ で、差が 0 だったかもしれない、と言える状態です。測定値どうしの誤差率は 1 % でも、引き算をすると、誤差率が100倍になりました。

対策は、差を直接測ることです。2つの電圧の差を小さい範囲の計器で直接読めば、許容誤差の幅も小さくなります。たとえば、同じ 1.0 級でも、最大目盛 5 V の電圧計なら $\Delta = 5 \times 0.01 = 0.05\,\mathrm{V}$ です。

方法	最大の誤差	誤差率
測って引く	±2.0 V	±100 %
差を直接測る	±0.05 V	±2.5 %

偶然誤差は平均で小さくなる

偶然誤差は、プラスにもマイナスにも出ます。何回も測って平均すると、打ち消し合って小さくなります。たとえば、5回の測定値が 10.2、9.8、10.1、10.0、9.9 V なら、平均は $(10.2 + 9.8 + 10.1 + 10.0 + 9.9)/5 = 10.0\,\mathrm{V}$ です。

1回の測定のばらつきの大きさを、標準偏差 $\sigma$ で表すと、$n$ 回の平均のばらつきは、一般に $\sigma/\sqrt{n}$ になります。

回数 $n$	平均のばらつき
1	$\sigma$
4	$\sigma/2$
9	$\sigma/3$
100	$\sigma/10$

図6のように、平均を取ると、同じ中心のまま山が細くなります。ばらつきを半分にするには、回数を4倍にする必要があります。100回測っても、ばらつきは 1/10 にしかなりません。回数を増やすほど、効きが鈍くなります。

注意が2つあります。平均しても、系統誤差は小さくなりません。毎回同じ向きにずれているので、平均してもずれたままです。また、過失で外れた値が混じっていると、平均がそれに引きずられます。測定値を記録して、極端に外れた値がないか見直します。

有効数字と丸め

測定値は、何桁まで信用できるかを、桁数で表します。この信用できる桁の数を、有効数字といいます。数え方は次のとおりです。

• 先頭の 0 は数えない。0.0123 は 3 桁
• 小数の末尾の 0 は数える。1.20 は 3 桁

計算の結果は、計算の種類で、そろえる所が変わります。

計算	そろえる所
積・商	有効数字の桁数
和・差	小数点以下の桁数

たとえば、次のようになります。

$$\begin{aligned} 12.3 \times 2.5 &= 30.75 \fallingdotseq 31 \\ 12.34 + 0.5 &= 12.84 \fallingdotseq 12.8 \end{aligned}$$

12.3 は3桁、2.5 は2桁なので、積は少ないほうの2桁にします。12.34 は小数点以下2桁、0.5 は1桁なので、和は少ないほうの1桁にします。

途中の計算では、答えより1〜2桁多く残し、最後に丸めます。途中で丸めると、丸めの誤差が積み重なります。問題で桁数や丸め方が指定されているときは、それに従います。

ディジタル計器の誤差と確度

ディジタル計器は、測定値を数字で表示します。確度は、$\pm(\text{読み値の } a\,\% + b\ \text{digit})$ のように書きます。$a\,\%$ の部分は読み値に比例する分、$b$ digit の部分は読み値によらず一定の分で、最小桁 $b$ 個分の大きさです。最小桁の大きさ（1 digit）は、表示の一番下の桁の値で、レンジごとに決まります。

許容誤差の幅 $\Delta$ は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} \Delta &= \text{読み値} \times \frac{a}{100} \\ &{}+ b \times (\text{最小桁の値}) \end{aligned}$$

たとえば、表示が 12.34 V で、確度が $\pm(0.5\,\% + 2\ \text{digit})$ のレンジを考えます。最小桁は 0.01 V です。

$$\begin{aligned} \Delta &= 12.34 \times 0.005 + 2 \times 0.01 \\ &= 0.0617 + 0.02 \\ &= 0.0817\,\mathrm{V} \end{aligned}$$

図9のとおり、真の値は、12.258 V から 12.422 V の範囲にあります。読み値に対する割合は、約 0.66 % です。同じレンジで 0.50 V を測ると、$\Delta = 0.50 \times 0.005 + 0.02 = 0.0225\,\mathrm{V}$ で、割合は 4.5 % まで大きくなります。最小桁の分は、読み値が小さいほど効きます。

解答と解説を見る

読み値に比例する分と、最小桁の分を、別々に出します。

$$\begin{aligned} 7.650 \times 0.002 &= 0.0153\,\mathrm{V} \\ 3 \times 0.001 &= 0.003\,\mathrm{V} \end{aligned}$$

足して、許容誤差の幅が出ます。

$$\Delta = 0.0153 + 0.003 = 0.0183\,\mathrm{V}$$

読み値に加減すると、真の値の範囲が出ます。

$$\begin{aligned} 7.650 - 0.0183 &= 7.6317\,\mathrm{V} \\ 7.650 + 0.0183 &= 7.6683\,\mathrm{V} \end{aligned}$$

真の値は、約 7.632 V から 7.668 V の範囲です。

よくある質問

誤差と誤差率は、どう違うの？

誤差は、測定値と真の値の差 $M - T$ で、電圧なら V のように単位がつきます。誤差率は、誤差を真の値で割った比で、単位がありません。同じ 0.1 V の誤差でも、100 V を測ったときと 1 V を測ったときでは、誤差率が大きく違います。

系統誤差と偶然誤差は、どう見分けるの？

同じ条件で何回も測って、測定値が毎回同じ向きにずれていれば系統誤差、向きも大きさもばらついていれば偶然誤差です。実際の測定では、両方が混ざっています。

何回も測れば、誤差はなくなる？

なくなりません。平均して小さくなるのは偶然誤差だけです。系統誤差は、毎回同じ向きに出るので、平均しても残ります。計器の校正や、測定値の補正で取り除きます。

積や商の誤差率は、いつも足し算になる？

$\varepsilon$ が小さいときの近似です。数 % までは、ほぼ正確です。また、足し合わせた値は「最悪の場合」の大きさで、誤差が逆向きに出れば打ち消し合って、実際はもっと小さくなります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

系統誤差と偶然誤差は、どう違いますか。

系統誤差は毎回同じ向きにずれる誤差で、補正できます。偶然誤差は向きがばらばらの誤差で、平均すると小さくなります。

1.0 級、最大目盛 10 A の電流計の許容誤差の幅は、いくつですか。

$10 \times 1.0/100 = 0.10\,\mathrm{A}$ です。目盛のどこでも同じ幅です。

積と商の誤差率は、どう伝わりますか。

近似では、積は $\varepsilon_x + \varepsilon_y$、商は $\varepsilon_x - \varepsilon_y$ です。最悪の場合は、どちらも大きさを足します。

$P = I^2R$ の誤差率は、どう表せますか。

$\varepsilon_P \fallingdotseq 2\varepsilon_I + \varepsilon_R$ です。電流の誤差率が2倍で効きます。

近い2つの値の差を求めると、誤差率が大きくなるのはなぜですか。

誤差の大きさは足し合わさるのに、差そのものが小さくなるからです。

ディジタル計器の確度 $\pm(a\,\%\ \text{rdg} + b\ \text{digit})$ の幅は、どう求めますか。

読み値に $a/100$ を掛けた値と、最小桁の値の $b$ 倍を足します。

まとめ

• 誤差は、系統誤差（毎回同じ向き。補正できる）、偶然誤差（ばらばら。平均で小さくなる）、過失（まちがい）に分かれる
• 許容誤差の幅は、最大目盛値 × 階級 / 100。真の値は、読み値 ± 許容誤差の範囲にある
• 和・差は誤差の大きさが、積・商は誤差率が足し合わさる。べき乗 $x^n$ は誤差率が $n$ 倍になる。$P = I^2R$ では $\varepsilon_P \fallingdotseq 2\varepsilon_I + \varepsilon_R$
• 近い2つの値の差は、誤差率が大きくなる。差を直接測るくふうをする
• $n$ 回の平均のばらつきは $\sigma/\sqrt{n}$。ディジタル計器の確度は $\pm(\text{読み値の } a\,\% + b\ \text{digit})$

計器の内部抵抗による誤差と、抵抗の測り方は抵抗の測定を、波形から値を読む方法はオシロスコープの読み方を、あわせて確認しましょう。