コンデンサの合成容量｜直列・並列の公式と電圧の分担・静電エネルギー

クーロンの法則で、電荷どうしが力を及ぼし合うことを学びました。その電荷をためる部品がコンデンサです。

コンデンサを並列につなぐと、合成容量は容量の和 $C = C_1 + C_2$ になります。直列につなぐと、合成容量は逆数の和 $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ で求め、抵抗の合成とは式の形が逆です。この記事では、合成容量の求め方から、直列のときの電圧の分担と耐電圧、静電エネルギーまでを、例題で確認します。

• コンデンサの合成容量とは
  • 複数のコンデンサを 1 個に置き換えた静電容量。出発点は $Q = CV$
• 並列接続の合成容量
  • 電圧が共通で、$C = C_1 + C_2$。容量は足し算
• 直列接続の合成容量
  • 電荷が共通で、$1/C = 1/C_1 + 1/C_2$。どの 1 個よりも小さくなる
• 電圧の分担と耐電圧
  • 直列の電圧は容量に反比例。耐電圧は、限界の電荷を比べて求める
• 静電エネルギー
  • $W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$。$Q$–$V$ グラフの三角形の面積

コンデンサの合成容量とは

コンデンサは、2 枚の金属の板（極板）で電荷をためる部品です。電圧 $V$ を加えると、一方の極板に $+Q$、もう一方の極板に $-Q$ の電荷がたまります。このとき、次の関係があります（図1）。

$$Q = CV$$

$C$ を静電容量といい、単位は $\mathrm{[F]}$（ファラド）です。同じ電圧なら、$C$ が大きいほど多くの電荷をためられます。

実際のコンデンサは $\mathrm{[F]}$ では大きすぎるので、小さい単位を使います。

単位	読み	大きさ
$\mathrm{[\mu F]}$	マイクロファラド	$10^{-6}\,\mathrm{[F]}$
$\mathrm{[nF]}$	ナノファラド	$10^{-9}\,\mathrm{[F]}$
$\mathrm{[pF]}$	ピコファラド	$10^{-12}\,\mathrm{[F]}$

複数のコンデンサをつないだ回路を、1 個のコンデンサに置き換えたときの静電容量が合成容量です。同じ電圧で同じ電荷がたまるなら、置き換えても、外から見た働きは同じです。

静電容量は、極板の面積 $S$ に比例し、極板の間隔 $d$ に反比例します（$C = \varepsilon S/d$、$\varepsilon$ は極板の間の物質の誘電率。くわしくは平行板コンデンサの静電容量）。並列は極板の面積が合わさるのと同じなので容量が足し算に、直列は極板の間隔が足されるのと同じなので容量が小さくなります。

コンデンサの並列接続の合成容量

コンデンサ $C_1$、$C_2$ を並列につなぐと、どちらにも電源の電圧 $V$ が加わります（図3）。電圧が共通なので、それぞれにたまる電荷は次のとおりです。

$$\begin{aligned} Q_1 &= C_1 V \\ Q_2 &= C_2 V \end{aligned}$$

全体の電荷は、2 つの電荷の和です。

$$\begin{aligned} Q &= Q_1 + Q_2 \\ &= (C_1 + C_2)\,V \end{aligned}$$

$Q = CV$ と見比べると、合成容量は次のとおりです。

$$C = C_1 + C_2$$

3 個以上でも同じで、全部を足します（$C = C_1 + C_2 + C_3 + \cdots$）。たとえば $10\,\mathrm{[\mu F]}$ と $15\,\mathrm{[\mu F]}$ を並列にすると、$10 + 15 = 25\,\mathrm{[\mu F]}$ です。

電荷は、容量に比例して分かれます（$Q_1 : Q_2 = C_1 : C_2$）。容量の大きいコンデンサほど、多くの電荷をためます。

1小さい円板2大きい円板3リード線4仕切り

1. 小さい円板　小さいコンデンサ
2. 大きい円板　大きいコンデンサ
3. リード線　金属の足
4. 仕切り　大きさ別に分ける

コンデンサの直列接続の合成容量

$C_1$、$C_2$ を直列につなぐと、どちらにも同じ電荷 $Q$ がたまります（図5）。

電源につながっているのは、両端の極板だけです。$C_1$ の上の極板に $+Q$ がたまると、向かい合う下の極板には $-Q$ が現れます。この下の極板と $C_2$ の上の極板は、導線でつながった孤立部分で、電荷の合計は 0 のままです。だから $C_2$ の上の極板には $+Q$ がたまり、下の極板には $-Q$ が現れます。

電荷が共通なので、各コンデンサの電圧は次のとおりです。

$$\begin{aligned} V_1 &= \frac{Q}{C_1} \\ V_2 &= \frac{Q}{C_2} \end{aligned}$$

全体の電圧は、2 つの電圧の和です。

$$\begin{aligned} V &= V_1 + V_2 \\ &= Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) \end{aligned}$$

$V = Q/C$ と見比べると、合成容量は次のとおりです。

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$

2 個のときは、通分して逆数をとった形（和分の積）が便利です。

$$C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$$

3 個のときは、逆数の和をそのまま 3 つに増やします。

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$$

同じ容量 $C_0$ のコンデンサを $n$ 個直列にすると、$C = C_0/n$ です。直列の合成容量は、必ずどの 1 個の容量よりも小さくなります。

たとえば $10\,\mathrm{[\mu F]}$ と $15\,\mathrm{[\mu F]}$ を直列にすると、次のようになります。

$$\begin{aligned} C &= \frac{10 \times 15}{10 + 15} \\ &= 6\,\mathrm{[\mu F]} \end{aligned}$$

コンデンサと抵抗の合成の違い（式が逆になる）

合成の式は、抵抗と並べると覚えやすくなります。直列と並列で、式の形が入れ替わります。

つなぎ方	抵抗	コンデンサ
直列	$R = R_1 + R_2$	$C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$
並列	$R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$	$C = C_1 + C_2$

抵抗の式の $R$ のところに $1/C$ を入れると、コンデンサの式と同じ形になります。分け方も同じ考え方で、比が逆になります。

分け方	抵抗	コンデンサ
直列の電圧	抵抗に比例	容量に反比例
並列の分け方	電流は抵抗に反比例	電荷は容量に比例

直列の電圧の分け方はオームの法則と直列回路の分圧と、並列の分け方は並列回路の分流と同じ形です。容量は抵抗の逆数に当たるので、比が逆になります。

直列接続の電圧の分担と耐電圧

直列では電荷が共通なので、各コンデンサの電圧は $V_1 = Q/C_1$、$V_2 = Q/C_2$ です。電圧の比は、容量の逆比になります。

$$V_1 : V_2 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} = C_2 : C_1$$

全体の電圧 $V$ に対する分担は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} V_1 &= \frac{C_2}{C_1 + C_2}\,V \\ V_2 &= \frac{C_1}{C_1 + C_2}\,V \end{aligned}$$

分子は、相手の容量です。容量の小さいほうに、大きい電圧が加わります（図6）。

コンデンサには、加えてよい電圧の上限があります。これを耐電圧といい、超えると絶縁が壊れます。

並列は電圧が共通なので、耐電圧の小さいほうが全体の上限です。

直列は、電荷が共通で電圧が分かれるので、耐電圧を単純に足せません。次の手順で求めます。

1. 各コンデンサの限界の電荷 $Q_{\max} = C \times (\text{耐電圧})$ を求める
2. 小さいほうの $Q_{\max}$ を、全体の電荷とする（図7）
3. その電荷で、全体の電圧 $V = Q/C$ を求める（$C$ は合成容量）

小さいほうの限界を超えると、そのコンデンサが先に壊れるからです。

1缶2碍子端子3扉

1. 缶　コンデンサ本体
2. 碍子端子　白い絶縁部のある端子
3. 扉　開いた盤の扉

コンデンサの静電エネルギー

コンデンサに電荷をためると、極板の間にエネルギーがたくわえられます。これを静電エネルギーといいます。

充電するにつれて、電圧は 0 から $V$ まで比例して上がります。電荷を運ぶのに必要な仕事は、$Q$–$V$ グラフの三角形の面積です（図9）。

三角形の面積は $\frac{1}{2}QV$ です。$Q = CV$ を使うと、3 つの形に書けます。

$$\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}QV \\ &= \frac{1}{2}CV^2 \\ &= \frac{Q^2}{2C} \end{aligned}$$

単位は $\mathrm{[J]}$（ジュール）です。電圧が決まっているときは $\frac{1}{2}CV^2$、電荷が決まっているときは $\frac{Q^2}{2C}$ を使うと、計算が短くなります。

直列や並列につないだコンデンサ全体のエネルギーは、各コンデンサのエネルギーの和です。合成容量で計算しても、同じ値になります。

1発光部2カメラ本体3レンズ

1. 発光部　光が出る窓
2. カメラ本体　ストロボが載る
3. レンズ　写真をとる部分

コンデンサの合成容量の例題

まず、直列と並列が混ざった回路です。

解答と解説を見る

(1) 内側から順にまとめます。$C_1$ と $C_2$ は直列です。

$$\begin{aligned} C_{12} &= \frac{12 \times 4}{12 + 4} \\ &= 3\,\mathrm{[\mu F]} \end{aligned}$$

これに $C_3$ が並列なので、足します。

$$\begin{aligned} C_{123} &= 3 + 5 \\ &= 8\,\mathrm{[\mu F]} \end{aligned}$$

さらに $C_4$ が直列なので、全体の合成容量は次のとおりです。

$$\begin{aligned} C &= \frac{8 \times 8}{8 + 8} \\ &= 4\,\mathrm{[\mu F]} \end{aligned}$$

(2) 全体の電荷は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} Q &= CV \\ &= 4 \times 100 \\ &= 400\,\mathrm{[\mu C]} \end{aligned}$$

$C_4$ は直列の入り口なので、この電荷がそのままたまります。

$$\begin{aligned} V_4 &= \frac{Q}{C_4} \\ &= \frac{400}{8} \\ &= 50\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

検算します。並列部分の電圧も $400/8 = 50\,\mathrm{[V]}$ で、合計 $50 + 50 = 100\,\mathrm{[V]}$ と一致します。

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(1) 合成容量は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} C &= \frac{2 \times 6}{2 + 6} \\ &= 1.5\,\mathrm{[\mu F]} \end{aligned}$$

直列なので、各コンデンサの電荷は全体の電荷と同じです。

$$\begin{aligned} Q &= CV \\ &= 1.5 \times 120 \\ &= 180\,\mathrm{[\mu C]} \end{aligned}$$

(2) 電圧は、$V = Q/C$ で求めます。

$$\begin{aligned} V_1 &= \frac{180}{2} \\ &= 90\,\mathrm{[V]} \\ V_2 &= \frac{180}{6} \\ &= 30\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

検算します。$90 + 30 = 120\,\mathrm{[V]}$ で、加えた電圧と一致します。比は $V_1 : V_2 = 90 : 30 = 3 : 1$ で、$C_2 : C_1 = 6 : 2$ と等しくなります。

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(1) 各コンデンサの限界の電荷を求めます。

$$\begin{aligned} Q_{1\max} &= 4 \times 100 \\ &= 400\,\mathrm{[\mu C]} \\ Q_{2\max} &= 8 \times 60 \\ &= 480\,\mathrm{[\mu C]} \end{aligned}$$

直列は電荷が共通なので、小さいほうの $400\,\mathrm{[\mu C]}$ が限界です。このときの各電圧は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} V_1 &= \frac{400}{4} \\ &= 100\,\mathrm{[V]} \\ V_2 &= \frac{400}{8} \\ &= 50\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

最大の電圧は、$100 + 50 = 150\,\mathrm{[V]}$ です。

検算します。合成容量は $\frac{4 \times 8}{4 + 8} = \frac{8}{3}\,\mathrm{[\mu F]}$ で、$400 \div \frac{8}{3} = 150\,\mathrm{[V]}$ と一致します。耐電圧の和の $160\,\mathrm{[V]}$ を加えると、$C_1$ に約 $107\,\mathrm{[V]}$ が加わり、耐電圧を超えます。

(2) 並列は電圧が共通なので、耐電圧の小さいほうの $60\,\mathrm{[V]}$ が最大です。このときの全体の電荷は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} Q &= (4 + 8) \times 60 \\ &= 720\,\mathrm{[\mu C]} \end{aligned}$$

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(1) 電荷は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} Q &= CV \\ &= 5 \times 10^{-6} \times 200 \\ &= 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{[C]} \end{aligned}$$

静電エネルギーは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}CV^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 200^2 \\ &= 0.1\,\mathrm{[J]} \end{aligned}$$

(2) 電源を切り離しているので、全体の電荷は $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{[C]}$ のままです。合成容量は $5 + 5 = 10\,\mathrm{[\mu F]}$ なので、電圧は次のとおりです。

$$\begin{aligned} V' &= \frac{Q}{C'} \\ &= \frac{1 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} \\ &= 100\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

全体のエネルギーは、電荷が決まっているので $Q^2/2C'$ で求めます。

$$\begin{aligned} W' &= \frac{Q^2}{2C'} \\ &= \frac{(10^{-3})^2}{2 \times 10 \times 10^{-6}} \\ &= 0.05\,\mathrm{[J]} \end{aligned}$$

つなぐ前の $0.1\,\mathrm{[J]}$ の半分になりました。減った $0.05\,\mathrm{[J]}$ は、つなぐときの火花や導線の熱などになります。

よくある質問

直列にすると合成容量が小さくなるのはなぜ？

直列にすると、極板の間隔が足されて広がったのと同じ状態になるからです。静電容量は間隔に反比例するので、容量は小さくなります。回路の面から見ても、直列は電圧が足し合わされるので、同じ電荷をためるのに大きな電圧が必要になります。$C = Q/V$ の分母が大きくなるので、合成容量は小さくなります。

静電エネルギーの 3 つの式は、どう使い分ける？

どれも同じ値になるので、わかっている量で選びます。電圧 $V$ がわかっているなら $\frac{1}{2}CV^2$、電荷 $Q$ がわかっているなら $\frac{Q^2}{2C}$、$Q$ と $V$ の両方がわかっているなら $\frac{1}{2}QV$ です。電源につないだまま変化させるときは電圧が一定、電源から切り離したときは電荷が一定になります。

耐電圧とは？ 直列と並列で上限の決まり方は違う？

耐電圧は、コンデンサに加えてよい電圧の上限です。並列は電圧が共通なので、耐電圧の小さいほうが全体の上限になります。直列は電荷が共通で電圧が分かれるので、各コンデンサの $Q_{\max} = C \times (\text{耐電圧})$ を比べ、小さいほうの電荷で全体の電圧を求めます。

電源を切り離したコンデンサに別のコンデンサをつなぐと、エネルギーが減るのはなぜ？

電荷は保たれますが、2 個の容量の合計に電荷が分かれるので、電圧が下がるからです。例題 4 では、電圧が $200\,\mathrm{[V]}$ から $100\,\mathrm{[V]}$ になり、エネルギーは $0.1\,\mathrm{[J]}$ から $0.05\,\mathrm{[J]}$ になりました。減った分は、つなぐときの火花や導線の熱などになります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

電荷 $Q$、電圧 $V$、静電容量 $C$ の関係と、$C$ の単位は？

$Q = CV$ です。$C$ の単位は $\mathrm{[F]}$ で、$1\,\mathrm{[\mu F]} = 10^{-6}\,\mathrm{[F]}$ です。

並列の合成容量は？

電圧が共通で、和 $C = C_1 + C_2$ です。

直列の合成容量は？ 2 個のときは？

電荷が共通で、$1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ です。2 個なら $C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ です。

直列の電圧の比は？

容量の逆比で、$V_1 : V_2 = C_2 : C_1$ です。容量の小さいほうに大きい電圧が加わります。

直列の耐電圧から、最大の電圧を求める手順は？

各 $Q_{\max} = C \times (\text{耐電圧})$ を求め、小さいほうを全体の電荷にして、$V = Q/C$ で求めます。耐電圧の和にはなりません。

静電エネルギーの式は？

$W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$ です。単位は $\mathrm{[J]}$ です。

まとめ

• コンデンサの並列は電圧が共通で、合成容量は和 $C = C_1 + C_2$
• 直列は電荷が共通で、$1/C = 1/C_1 + 1/C_2$（2 個なら和分の積）。どの 1 個よりも小さくなる
• 抵抗とは式の形が逆。抵抗の式の $R$ を $1/C$ に置き換えると、コンデンサの式になる
• 直列の電圧は容量に反比例して分かれる。耐電圧は、各 $Q_{\max}$ を比べて小さいほうの電荷から求める
• 静電エネルギーは $W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$。$Q$–$V$ グラフの三角形の面積

電荷や電界の考え方で迷ったらクーロンの法則を、分圧と分流の考え方で迷ったら並列回路を、見直しましょう。