平行板コンデンサと誘電体｜静電容量C=εS/dと2層・並列の電界を図解

コンデンサの容量は、板の広さ・板の間隔・間に入れるものの 3 つで決まります。間に誘電体を入れると、同じ電圧でたまる電荷が増えます。

この記事では、静電容量 $C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d$ の導き方、誘電体が電界を弱めるしくみ、誘電体を 2 層に重ねたときと横に並べたときの容量と電界、間隔を変えたときの変化、極板間の力を、図と例題で順に確認します。

• 容量の式
  • $C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d$。面積 $S$ と比誘電率 $\varepsilon_r$ に比例し、間隔 $d$ に反比例
• 誘電体
  • 分極で表面に逆の電荷が現れ、電界が弱まる。電荷が同じなら容量は $\varepsilon_r$ 倍
• 層の入れ方
  • 極板に平行な 2 層は直列で、電束密度 $D$ が共通。横に並べると並列で、電界 $E$ が共通
• 間隔を変える
  • 電圧一定と電荷一定で、$Q$・$V$・$E$・$W$ の変わり方が違う
• エネルギーと力
  • $w = \varepsilon E^2/2$、極板間の力 $F = Q^2/(2\varepsilon S)$
• 例題
  • 容量・2 層・並列・間隔を広げたときの変化と力

平行板コンデンサとは？静電容量を決める3つの量

平行板コンデンサとは、同じ形の金属板（極板）2 枚を、すきまをあけて平行に向かい合わせた、いちばん基本のコンデンサです。極板に電圧 $V$ をかけると、一方に $+Q$、もう一方に $-Q$ の電荷がたまります（図1）。たまる電荷は電圧に比例し、$Q = CV$ と書きます。この比例定数 $C$ が静電容量 $\mathrm{[F]}$ で、大きいほどたくさんためられます。

$C$ を決める式を導きます。極板の面積を $S\,\mathrm{[m^2]}$、間隔を $d\,\mathrm{[m]}$、極板の間の物質の誘電率を $\varepsilon\,\mathrm{[F/m]}$ とします。極板の間の電界は一様で、電位の求め方で見た $E = V/d$ です（極板の端の乱れは無視します）。また、極板 1 $\mathrm{m^2}$ あたりの電荷 $D = Q/S$ を電束密度といい、誘電率 $\varepsilon$ の物質の中では $D = \varepsilon E$ の関係があります。

$$\begin{aligned} E &= \frac{V}{d} \\ \frac{Q}{S} &= \varepsilon E \end{aligned}$$

2 つの式から $E$ を消すと、$Q$ が $V$ に比例する形になります。

$$\begin{aligned} Q &= \varepsilon S E = \frac{\varepsilon S}{d}V \\ C &= \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon S}{d} \end{aligned}$$

誘電率は、真空の誘電率 $\varepsilon_0$ と比誘電率 $\varepsilon_r$ の積 $\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$ です。

$$C = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}\ \mathrm{[F]}$$

$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{[F/m]}$ は、クーロンの法則の比例定数 $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ に出てきた値と同じです。

容量を大きくするには、面積 $S$ を広く、間隔 $d$ を薄くします。そのため実際のコンデンサでは、薄い層を何重にも重ねて巻くなど、小さな体積で面積を稼ぐ工夫がされます。次の写真は、金属色の薄いフィルムを何重にも巻いたロールのイメージです。

1紙の芯2金属色の層3巻き終わり4台

1. 紙の芯　ロールの中心
2. 金属色の層　薄い膜が重なる
3. 巻き終わり　フィルムの端
4. 台　木目の台

誘電体と比誘電率｜分極で電界が弱まる

極板のあいだに入れる絶縁体を誘電体といい、その誘電率を真空の何倍かで表したものが比誘電率 $\varepsilon_r$ です（真空は 1）。実験では、次の写真のように、2 枚の極板のあいだに板状の誘電体を差し入れて、電圧や容量の変化を確かめます。

1金属板2透明な板3端子（赤と黒）4支柱5台

1. 金属板　極板になる
2. 透明な板　誘電体
3. 端子（赤と黒）　電源や測定器へ
4. 支柱　板を支える
5. 台　金属の台

誘電体の分子は、電界を受けると向きがそろいます（分極）。すると、誘電体の表面に、向かい合う極板と逆符号の電荷が現れます（図4）。この電荷がつくる電界は極板の電界を打ち消す向きなので、極板の電荷が同じなら、板のあいだの電界は弱まります。

極板に電荷 $Q$ をためて電源から切り離した状態（電荷一定）で、誘電体を入れた場合を考えます。誘電体がないときの電界・電圧・容量を $E_0$・$V_0$・$C_0$ とすると、電界は $1/\varepsilon_r$ になります。

$$\begin{aligned} E &= \frac{E_0}{\varepsilon_r} \\ V &= Ed = \frac{V_0}{\varepsilon_r} \\ C &= \frac{Q}{V} = \varepsilon_r C_0 \end{aligned}$$

電圧が $1/\varepsilon_r$ になるので、$C = Q/V$ は $\varepsilon_r$ 倍です。これは $C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d$ の $\varepsilon_r$ とも合っています。電源につないだまま（電圧一定）で誘電体を入れると、電界を $V/d$ に保つように電源から電荷が流れ込み、$Q$ が $\varepsilon_r$ 倍になります。

比誘電率の目安を並べます。値は種類・温度・周波数で変わります。

物質	比誘電率
真空	1
空気	約 1.0006
ポリエチレン	約 2.3
雲母	3〜6
ガラス	3.7〜10
水	約 80（20 ℃）
チタン酸バリウム系	1200〜10000

空気の比誘電率はほぼ 1 なので、空気中の極板は真空と同じ式で扱えます。雲母は、薄くはがせる鉱物で、誘電体に使われます。

1薄片の重なり2光の反射3はがれた端4背景

1. 薄片の重なり　何枚も重なる
2. 光の反射　虹色に見える
3. はがれた端　薄くはがれる
4. 背景　黒い板

誘電体を2層に重ねたときの静電容量と電界｜直列

極板のすきまを、極板に平行な境界で 2 つに分け、空気と誘電体のように違う物質で満たすことがあります。厚さ $d_1$・誘電率 $\varepsilon_1$ の層と、厚さ $d_2$・誘電率 $\varepsilon_2$ の層が重なった状態です（図6）。

各層は、面積 $S$ が同じで、間隔が $d_1$ と $d_2$ の 2 つのコンデンサとみなせます。

$$\begin{aligned} C_1 &= \frac{\varepsilon_1 S}{d_1} \\ C_2 &= \frac{\varepsilon_2 S}{d_2} \end{aligned}$$

この 2 つは、極板から極板へ順に電荷が受け渡されるので直列です。直列の合成は $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ でした（コンデンサの合成容量）。

$$\begin{aligned} \frac{1}{C} &= \frac{d_1}{\varepsilon_1 S} + \frac{d_2}{\varepsilon_2 S} \\ C &= \frac{S}{\dfrac{d_1}{\varepsilon_1} + \dfrac{d_2}{\varepsilon_2}} \end{aligned}$$

電界は、層ごとに違います。境界面に自由な電荷がなければ、電束密度 $D = Q/S$ は両方の層で同じです。$D = \varepsilon E$ から、各層の電界は次のとおりです。

$$\begin{aligned} E_1 &= \frac{D}{\varepsilon_1} \\ E_2 &= \frac{D}{\varepsilon_2} \end{aligned}$$

$D$ が共通なので、誘電率 $\varepsilon$ の小さい層ほど電界が強くなります（図6の段）。全体の電圧は、各層の電圧の和です。

$$V = E_1 d_1 + E_2 d_2$$

誘電体を横に並べたときの静電容量｜並列

境界面を極板に垂直にとり、面積を $S_1$ と $S_2$ に分けて、違う誘電体を並べる場合もあります（図7）。各部分は、間隔が同じ $d$ で、面積が $S_1$・$S_2$ の 2 つのコンデンサです。

極板は導体なので、どの場所でも電位が同じです。2 つの部分は同じ電圧 $V$ に接していて、並列です。

$$\begin{aligned} C &= C_1 + C_2 \\ &= \frac{\varepsilon_1 S_1 + \varepsilon_2 S_2}{d} \end{aligned}$$

電界は、どちらの部分でも同じ $E = V/d$ です。一方、電束密度は $D_1 = \varepsilon_1 V/d$、$D_2 = \varepsilon_2 V/d$ と違い、$\varepsilon$ の大きい側の極板に電荷が多くたまります。2 層の直列と、共通になる量が逆です。

入れ方	平行な2層	横に並べる
合成	直列	並列
共通の量	D	E
違う量	E	D

極板の間隔を変えたとき｜電圧一定と電荷一定

極板の間隔 $d$ を変えるとき、電源につないだまま（$V$ 一定）か、電源から切り離してから（$Q$ 一定）かで、結果が変わります。どちらでも、容量は $C = \varepsilon S/d$ で $d$ に反比例します。間隔を 2 倍にしたときの変化は次のとおりです。

量	V 一定	Q 一定
容量 C	1/2 倍	1/2 倍
電荷 Q	1/2 倍	変わらない
電圧 V	変わらない	2 倍
電界 E	1/2 倍	変わらない
エネルギー W	1/2 倍	2 倍

$V$ 一定では、$Q = CV$ から $Q$ が $1/2$ になり、電荷は電源へ戻ります。電界は $E = V/d$ で $1/2$、エネルギーは $W = CV^2/2$ で $1/2$ です。

$Q$ 一定では、$V = Q/C$ が 2 倍になります。電界が変わらないのは、$D = Q/S$ が変わらないので、$E = D/\varepsilon$ も変わらないからです。エネルギーは $W = Q^2/(2C)$ で 2 倍になります。増えたエネルギーは、引き合う極板を引き離すのに外から加えた仕事で、次の節で力を求めるのに使います。

静電エネルギー密度と極板間の力

コンデンサにたまるエネルギーは $W = CV^2/2$ でした（コンデンサの合成容量）。$C = \varepsilon S/d$、$V = Ed$ を代入します。

$$\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}\cdot\frac{\varepsilon S}{d}\cdot(Ed)^2 \\ &= \frac{1}{2}\varepsilon E^2 \cdot Sd \end{aligned}$$

$Sd$ は、極板のあいだの体積です。体積 1 $\mathrm{m^3}$ あたりのエネルギー、つまり静電エネルギー密度は次のとおりです。

$$w = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{1}{2}ED\ \mathrm{[J/m^3]}$$

電界の強い所ほど、エネルギーが多くたまっています。

極板には、+ と − の電荷が引き合う力 $F$ がはたらきます。電荷を $Q$ に保ったまま、間隔を $\Delta d$ だけ広げる場合を考えます（図8）。外から $F$ に逆らって $\Delta d$ 引き離す仕事 $F\Delta d$ が、そのままエネルギーの増加 $\Delta W$ になります。

$$\begin{aligned} W &= \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon S} \\ \Delta W &= \frac{Q^2}{2\varepsilon S}\Delta d = F\Delta d \end{aligned}$$

両辺の $\Delta d$ を消すと、極板間の力が求まります。

$$F = \frac{Q^2}{2\varepsilon S}\ \mathrm{[N]}$$

$E = Q/(\varepsilon S)$ を使うと、$F = QE/2$、または $F = wS$ とも書けます。$QE$ でなく $QE/2$ になるのは、極板が受けるのは、相手の極板がつくる電界（全体の半分の $E/2$）だからです。力は、極板を近づける向き（引き合う向き）です。

電力設備にも、コンデンサが使われます。変電所には、進み電流を取り込んで無効電力を調整する、電力用コンデンサの設備があります。仕組みは調相設備の種類と電圧調整で確かめられます。

1白い碍子2鉄塔3円筒形の容器4鉄骨の架台5コンクリート基礎

1. 白い碍子　絶縁を保つ
2. 鉄塔　奥に見える
3. 円筒形の容器　灰色
4. 鉄骨の架台　容器を載せる
5. コンクリート基礎　足もと

平行板コンデンサの例題

容量の計算

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(1) 単位を直します。$S = 0.1 \times 0.1 = 0.01\,\mathrm{[m^2]}$、$d = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{[m]}$ です。

$$\begin{aligned} C_0 &= \frac{\varepsilon_0 S}{d} \\ &= \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.01}{5 \times 10^{-4}} \\ &\approx 1.77 \times 10^{-10}\ \mathrm{[F]} \end{aligned}$$

約 $177\,\mathrm{[pF]}$ です。

(2) $\varepsilon_r$ 倍になります。

$$C = 4 C_0 \approx 708\ \mathrm{[pF]}$$

(3) $Q = CV$ から求めます。

$$\begin{aligned} Q &= CV \\ &= 7.08 \times 10^{-10} \times 100 \\ &\approx 7.08 \times 10^{-8}\ \mathrm{[C]} \end{aligned}$$

約 $70.8\,\mathrm{[nC]}$ です。

2層の誘電体

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(1) $S = 0.02\,\mathrm{[m^2]}$ です。

$$\begin{aligned} C_1 &= \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.02}{1 \times 10^{-3}} \\ &\approx 177\ \mathrm{[pF]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} C_2 &= \frac{5 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.02}{2 \times 10^{-3}} \\ &\approx 443\ \mathrm{[pF]} \end{aligned}$$

直列の合成容量です。

$$\begin{aligned} C &= \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \\ &= \frac{177 \times 443}{177 + 443} \\ &\approx 126\ \mathrm{[pF]} \end{aligned}$$

(2) 直列では電荷が共通なので、電圧は容量に反比例して分かれます。

$$\begin{aligned} V_1 &= \frac{C_2}{C_1 + C_2}V \\ &= \frac{443}{620} \times 3000 \\ &\approx 2140\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

$V_2 = 3000 - 2140 = 860\,\mathrm{[V]}$ です。電界は、電圧を厚さで割ります。

$$\begin{aligned} E_1 &= \frac{V_1}{d_1} \\ &= \frac{2140}{1 \times 10^{-3}} \\ &\approx 2.14 \times 10^{6}\ \mathrm{[V/m]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} E_2 &= \frac{V_2}{d_2} \\ &= \frac{860}{2 \times 10^{-3}} \\ &= 4.3 \times 10^{5}\ \mathrm{[V/m]} \end{aligned}$$

$E_1 / E_2 \approx 5$ で、誘電率の逆の比（空気 $1$ に対して誘電体 $5$）になっています。$D = \varepsilon E$ が両層で共通になっている確認です。

(3) すべて空気なら、次のとおりです。

$$E = \frac{3000}{3 \times 10^{-3}} = 1 \times 10^{6}\ \mathrm{[V/m]}$$

2 層にすると、空気の層の電界は約 $2.1$ 倍に強まります。

(4) 空気の層の電界が $3 \times 10^{6}\,\mathrm{[V/m]}$ になるときを考えます。

$$\begin{aligned} V_1 &= E_1 d_1 \\ &= 3 \times 10^{6} \times 1 \times 10^{-3} \\ &= 3000\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

誘電体の層の電界は $E_2 = E_1/5 = 6 \times 10^{5}\,\mathrm{[V/m]}$ なので、$V_2 = 6 \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-3} = 1200\,\mathrm{[V]}$ です。

$$V = V_1 + V_2 = 4200\ \mathrm{[V]}$$

すべて空気（$3\,\mathrm{[mm]}$）なら $3 \times 10^{6} \times 3 \times 10^{-3} = 9000\,\mathrm{[V]}$ までもちます。2 層にすると、先に空気の層の電界が高まり、$4200\,\mathrm{[V]}$ で絶縁破壊が始まります。

横に並べた誘電体

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(1) $S_1 = S_2 = 50\,\mathrm{[cm^2]} = 0.005\,\mathrm{[m^2]}$ です。

$$\begin{aligned} C_1 &= \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.005}{1 \times 10^{-3}} \\ &\approx 44.3\ \mathrm{[pF]} \end{aligned}$$

右は $\varepsilon_r$ が 3 倍で、全体は並列の和です。

$$\begin{aligned} C_2 &= 3C_1 \approx 133\ \mathrm{[pF]} \\ C &= C_1 + C_2 \approx 177\ \mathrm{[pF]} \end{aligned}$$

全部空気なら $2C_1 \approx 88.5\,\mathrm{[pF]}$ なので、誘電体を半分に入れると容量は 2 倍になります。

(2) 電界は、左右とも同じです。

$$\begin{aligned} E &= \frac{V}{d} \\ &= \frac{200}{1 \times 10^{-3}} \\ &= 2 \times 10^{5}\ \mathrm{[V/m]} \end{aligned}$$

(3) 電圧が共通なので、電荷は容量に比例します。

$$\frac{Q_2}{Q} = \frac{C_2}{C_1 + C_2} = \frac{3}{1 + 3} = 0.75$$

誘電体の側に $75\,\%$ がたまります。全体は $Q = CV \approx 35.4\,\mathrm{[nC]}$、誘電体の側は約 $26.6\,\mathrm{[nC]}$ です。

間隔を広げたときの変化と力

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(1) $S = 0.02\,\mathrm{[m^2]}$、$d = 10^{-3}\,\mathrm{[m]}$ です。

$$\begin{aligned} C &= \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.02}{1 \times 10^{-3}} \\ &\approx 177\ \mathrm{[pF]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} Q &= CV \\ &\approx 1.77 \times 10^{-8}\ \mathrm{[C]} \\ W &= \frac{1}{2}CV^2 \\ &\approx 8.85 \times 10^{-7}\ \mathrm{[J]} \end{aligned}$$

(2) 電源から切り離したので、$Q$ は変わりません。

$$\begin{aligned} C' &= \frac{C}{2} \approx 88.5\ \mathrm{[pF]} \\ V' &= \frac{Q}{C'} = 200\ \mathrm{[V]} \\ W' &= \frac{1}{2}QV' \approx 1.77 \times 10^{-6}\ \mathrm{[J]} \end{aligned}$$

変化を表にまとめます。

量	広げる前	広げた後
電荷	17.7 nC	17.7 nC
容量	177 pF	88.5 pF
電圧	100 V	200 V
エネルギー	0.885 μJ	1.77 μJ

(3) 増えたエネルギーが、外から加えた仕事 $F\Delta d$ です。

$$\begin{aligned} \Delta W &= W' - W \\ &\approx 8.85 \times 10^{-7}\ \mathrm{[J]} \\ F &= \frac{\Delta W}{\Delta d} \\ &= \frac{8.85 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} \\ &\approx 8.85 \times 10^{-4}\ \mathrm{[N]} \end{aligned}$$

$F = Q^2/(2\varepsilon_0 S)$ でも確かめられます。

$$\begin{aligned} F &= \frac{(1.77 \times 10^{-8})^2}{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.02} \\ &\approx 8.85 \times 10^{-4}\ \mathrm{[N]} \end{aligned}$$

力は約 $0.89\,\mathrm{[mN]}$ で、極板どうしが引き合う向きです。

よくある質問

誘電体を入れると、なぜ容量が増える？

誘電体が分極して、表面に極板と逆符号の電荷が現れ、板のあいだの電界を弱めるからです。同じ電圧をかけたままだと、弱まったぶんを補うように極板へ電荷が流れ込み、たまる電荷が $\varepsilon_r$ 倍になります。$Q = CV$ で、同じ $V$ に対して $Q$ が $\varepsilon_r$ 倍なので、容量 $C$ が $\varepsilon_r$ 倍です。

2層の誘電体では、電界が強いのはどちらの層？

誘電率 $\varepsilon$ の小さい層です。両方の層で電束密度 $D$ が同じなので、$E = D/\varepsilon$ から、$\varepsilon$ が小さい層ほど電界が強くなります。空気（$\varepsilon_r = 1$）と誘電体（$\varepsilon_r = 5$）なら、空気の層の電界は誘電体の層の 5 倍です。

間隔を広げたとき、電源につないだままと切り離したときで、何が違う？

つないだままだと電圧が一定で、容量が減るぶん電荷が減ります。切り離すと電荷が一定で、容量が減るぶん電圧が上がり、電界は変わりません。間隔を 2 倍にしたときの量の変化は、本文の表のとおりです。

直列か並列かは、どう見分ける？

誘電体の境界面が、極板と平行なら直列です。電束密度 $D$ が共通で、電界は層ごとに違います。境界面が、極板から極板へ貫く向き（極板と垂直）なら並列です。電界 $E = V/d$ が共通で、電束密度は部分ごとに違います。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

平行板コンデンサの静電容量の式は？

$C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d$ です。$S$ と $\varepsilon_r$ に比例し、$d$ に反比例します。

誘電体を入れると、電荷一定のとき $E$・$V$・$C$ はどうなりますか。

$E$ と $V$ は $1/\varepsilon_r$ 倍、$C$ は $\varepsilon_r$ 倍になります。電圧一定なら、$Q$ が $\varepsilon_r$ 倍です。

極板に平行な 2 層の誘電体は、直列と並列のどちら？ 電界は？

直列です。$D$ が共通で、$E_1 = D/\varepsilon_1$、$E_2 = D/\varepsilon_2$ です。$\varepsilon$ の小さい層ほど電界が強くなります。

誘電体を横に並べると、容量と電界は？

並列で、$C = (\varepsilon_1 S_1 + \varepsilon_2 S_2)/d$ です。電界 $E = V/d$ は共通で、$D$ は部分ごとに違います。

電源を切り離して間隔を 2 倍にすると、$C$・$V$・$E$・$W$ は？

$C$ は $1/2$ 倍、$V$ は 2 倍、$E$ は変わらず、$W$ は 2 倍です。

静電エネルギー密度と、極板間の力の式は？

$w = \varepsilon E^2/2$ と、$F = Q^2/(2\varepsilon S)$ です。力は引き合う向きです。

まとめ

• 平行板コンデンサの静電容量は $C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d$。面積と比誘電率に比例し、間隔に反比例する。単位は $\mathrm{m^2}$・$\mathrm{m}$ に直してから代入する
• 誘電体を入れると分極で電界が弱まる。電荷一定なら $E$・$V$ が $1/\varepsilon_r$ 倍、$C$ が $\varepsilon_r$ 倍。電圧一定なら $Q$ が $\varepsilon_r$ 倍
• 極板に平行に重ねた 2 層は直列で、$D$ が共通、$\varepsilon$ の小さい層ほど電界が強い。横に並べると並列で、$E = V/d$ が共通。$C = (\varepsilon_1 S_1 + \varepsilon_2 S_2)/d$
• 間隔を広げると、電圧一定では $Q$・$E$・$W$ が減り、電荷一定では $V$ と $W$ が増えて $E$ は変わらない
• 静電エネルギー密度は $w = \varepsilon E^2/2$、極板間の力は $F = Q^2/(2\varepsilon S)$（引き合う向き）

合成容量の求め方はコンデンサの合成容量を、極板間の電界と電圧の関係は電位の求め方を、見直しましょう。