並列回路の合成抵抗と分流の公式｜和分の積と直並列の解き方

並列回路の合成抵抗は、抵抗の逆数を足した値の逆数で求めます。抵抗が二つなら「和分の積」$R = R_1R_2/(R_1+R_2)$ が近道で、合成値はどの枝の抵抗よりも小さくなります。この記事では、並列回路の性質から合成抵抗、分流の公式、直並列の混合回路、家庭の配線との関係までを、図を使って順に確認します。

• 並列回路とは
  • 電圧はどの枝も共通
  • 電流は枝に分かれ、合計は全電流
• 合成抵抗の求め方
  • 逆数の和（二つなら和分の積）
  • 合成値はどの枝よりも小さくなる
• 分流の公式
  • 電流は抵抗の逆比に分かれる
  • 分子は「相手の抵抗」
• 直並列の混合回路
  • 内側の並列部分から順にまとめる
• 家庭の配線は並列
  • どの機器にも同じ電圧、電流は足し算

並列回路とは

電気理論の六つの単元のうち、並列回路は直流回路の単元に含まれます。直列回路の次に学ぶ内容です。

複数の抵抗の両端を、それぞれ同じ二つの点につないだ回路が並列回路です。電流の通り道が枝分かれします。直列回路と見比べると、違いがはっきりします。

直列は通り道が1本で、電流が共通になり電圧が分かれました。並列は通り道が枝分かれするので、反対に電圧が共通になり電流が分かれます。直列回路については、オームの法則と直列回路の記事で扱っています。

並列回路の二つの性質

図3は、電源 $E$ に抵抗 $R_1$、$R_2$ を並列につないだ回路です。電流を青、電圧を緑で示しています。

並列回路の性質は、直列回路と対になっています。

• どの枝にも、同じ電圧が加わる（$V_1 = V_2 = E$）
• 全電流は、各枝の電流の和になる（$I = I_1 + I_2$）

どの枝も、電源の同じ二つの端子の間につながっているので、電源から見た電圧は同じです。そして電流は、枝分かれ点でそれぞれの道に流れ込み、合流点でまた合わさります。枝分かれ点に入る電流の合計と出ていく電流の合計は等しく、これをキルヒホッフの電流則といいます。

身近な並列回路の代表が、電源タップです。コンセントの同じ二つの線から、すべての機器へ枝分かれしてつながっています。

1ライト2充電器3扇風機4電源タップ

1. ライト　加わる電圧は100 V で、ほかの機器と同じ
2. 充電器　一つ抜いても、ほかの機器は止まらない
3. 扇風機　機器ごとに別の大きさの電流が流れる
4. 電源タップ　機器を並列につなぐ。全電流は各機器の電流の和

並列回路の合成抵抗の式を導く

各枝の電圧は $E$ で共通なので、各枝の電流はオームの法則から $I_1 = E/R_1$、$I_2 = E/R_2$ です。全電流はこの和なので、

$$I = I_1 + I_2 = \frac{E}{R_1} + \frac{E}{R_2} = E\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$$

となります。合成抵抗 $R$ に置き換えたときの式 $I = E/R$ と見比べると、$1/R = 1/R_1 + 1/R_2$ が得られます。次の節で、この式の使い方を確認します。

並列回路の合成抵抗の求め方

並列回路の合成抵抗は、抵抗の逆数の和の、さらに逆数です。

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}$$

抵抗の逆数 $1/R$ はコンダクタンス $G$ [S]（ジーメンス）と呼ばれ、電流の流れやすさを表します。並列では流れやすさが足し算になる、と読み替えると意味がつかめます。枝が増えると電流の通り道が増え、全体として流れやすくなるので、合成抵抗は小さくなります。

図5のように、同じ $12\,\Omega$ の抵抗を並列に増やすと、合成抵抗は $12$、$6$、$4$、$3\,\Omega$ と下がっていきます。

和分の積と使い分け

抵抗が二つのときは、通分して整理した次の形が便利です。

$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

分子が積、分母が和なので「和分の積」と呼ばれます。これは $\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} = \dfrac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$ の逆数をとっただけです。同じ値の抵抗が $n$ 個あるなら、$R = R_1/n$ と暗算できます。

状況	使う式
抵抗が二つ	$R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
同じ値が $n$ 個	$R = \dfrac{R_1}{n}$
三つ以上の一般形	$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \cdots$

解答と解説を見る

三つなので逆数の和で計算します。公倍数の $60$ で通分すると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{R} &= \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} \\ &= \frac{3}{60} + \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \end{aligned}$$

よって $R = 10\,\mathrm{[\Omega]}$ です。最小の $20\,\mathrm{[\Omega]}$ より小さく、妥当な値です。

枝を増やすほど電流の通り道が増えるので、合成抵抗は小さくなり、電源から流れる全電流は増えます。次の写真は、電球を同じ二本の母線に並列につないだ実験装置です。

1電球2空きソケット3上の母線4下の母線

1. 電球　どの電球にも同じ電圧が加わる
2. 空きソケット　枝を一つ増やすと全電流は増える
3. 上の母線　電源の一方の線。各枝がここから分かれる
4. 下の母線　電源のもう一方の線。各枝がここへ戻る

分流の公式の使い方

並列回路では、電流は抵抗の逆比に分かれます。抵抗が小さい枝ほど、多くの電流が流れます。図7は、全電流 $6\,\mathrm{[A]}$ が $R_1 = 6\,\Omega$ と $R_2 = 12\,\Omega$ の枝に分かれる様子を、帯の太さで表したものです。

分流の公式を導く

二つの枝の電圧は等しく、$E = R_1 I_1 = R_2 I_2$ です。一方で全体では $E = RI$、$R = R_1R_2/(R_1+R_2)$ なので、

$$I_1 = \frac{E}{R_1} = \frac{R}{R_1}\,I = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,I$$

となります。$I_2$ も同様で、全電流を $I$ とすると、二つの枝の電流は次のとおりです。

$$I_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,I \qquad I_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,I$$

解答と解説を見る

和分の積より、

$$R = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\mathrm{[\Omega]}$$

全電流は

$$I = \frac{E}{R} = \frac{24}{4} = 6\,\mathrm{[A]}$$

各枝は電圧が $24\,\mathrm{[V]}$ で共通なので、

$$I_1 = \frac{24}{6} = 4\,\mathrm{[A]}, \qquad I_2 = \frac{24}{12} = 2\,\mathrm{[A]}$$

$I_1 + I_2 = 6\,\mathrm{[A]}$ で全電流と一致します。分流の公式で $I_1 = \dfrac{12}{6 + 12} \times 6 = 4\,\mathrm{[A]}$ と求めても同じです。

並列回路の消費電力

並列回路では電圧が共通なので、消費電力は $P = V^2/R$ で比べると分かりやすくなります。抵抗が小さい枝ほど、大きな電力を消費します。例題2で確かめると、

$$P_1 = \frac{24^2}{6} = 96\,\mathrm{[W]},\qquad P_2 = \frac{24^2}{12} = 48\,\mathrm{[W]}$$

合計は $144\,\mathrm{[W]}$ で、電源が供給する電力 $EI = 24 \times 6 = 144\,\mathrm{[W]}$ と一致します。直列では電流が共通なので抵抗が大きい方が大電力、並列では電圧が共通なので抵抗が小さい方が大電力、と対にして覚えます。

電源を並列にする例も身近にあります。同じ電圧の電池を並列につなぐと、電圧は変わらないまま、取り出せる電流（容量）が大きくなります。

1プラス端子2赤い線3黒い線4もう一つの電池

1. プラス端子　同じ向きの端子どうしをつなぐ
2. 赤い線　プラス端子どうしを結ぶ
3. 黒い線　マイナス端子どうしを結ぶ
4. もう一つの電池　電圧は一つ分と同じ

直並列の混合回路の解き方

実際の試験では、直列と並列が組み合わさった回路が出題されます。手順は共通で、内側の並列部分から順に、一つの抵抗へまとめていきます。図9に、次の例題を3段階で解く流れを示します。

解答と解説を見る

まず並列部分をまとめます。

$$R_{23} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4\,\mathrm{[\Omega]}$$

全体の合成抵抗は $R = 4 + 4 = 8\,\mathrm{[\Omega]}$ なので、

$$I = \frac{16}{8} = 2\,\mathrm{[A]}$$

並列部分の電圧は $R_{23} I = 4 \times 2 = 8\,\mathrm{[V]}$ です。分圧の公式で $\dfrac{4}{4 + 4} \times 16 = 8\,\mathrm{[V]}$ と求めても一致します。

混合回路を解くときのコツ

• 回路図を見て、どれとどれが並列かを先に決める。両端が同じ二点につながっていれば並列
• まとめた後の回路図を書き直して、一段ずつ簡単にしていく
• 最後に、まとめた順の逆にたどって各部の電圧・電流を出す（例題3なら、全電流 $2\,\mathrm{[A]}$ から並列部分の電圧 $8\,\mathrm{[V]}$、さらに各枝の電流へ）
• 検算は、各枝の電流の和が全電流に等しいか、各部の電圧の和が $E$ に等しいかを確かめる

回路の途中に抵抗を直列、その先に抵抗を並列につなぐと、直並列の混合回路になります。次の写真は、ブレッドボード上に作った例です。

1直列の抵抗2並列の2本3電池4戻りの線

1. 直列の抵抗　全電流がすべて通る。並列部分の合成抵抗に足し算する
2. 並列の2本　両端が同じ二点につながり、電圧が共通。先に1本にまとめる
3. 電池　電源。電圧 E を回路全体に加える
4. 戻りの線　電流が電池のマイナス側へ戻る通り道

家庭の配線は並列

私たちの身のまわりで、並列回路が使われている例が家庭の配線です。図11は、住宅の分電盤です。

分電盤の中には、部屋や設備ごとに分かれた多数の配線用遮断器（ブレーカー）が並んでいます。屋内の電気は、それぞれの回路が電源の同じ二本の線から枝分かれする、並列の形で配られています。この形だから、どの機器にも同じ電圧が加わり、一つの機器をオフにしても、ほかの機器は止まりません。図12は、その考え方を回路図にしたものです。

解答と解説を見る

各機器の電圧は $100\,\mathrm{[V]}$ で共通なので、電流は $I = P/V$ で求めます。

$$\begin{aligned} I_1 &= \frac{1000}{100} = 10\,\mathrm{[A]} \\ I_2 &= \frac{500}{100} = 5\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

並列なので、全電流は電流の和で $10 + 5 = 15\,\mathrm{[A]}$ です。確認のため、抵抗で考えます。$R = V^2/P$ より、ドライヤーは $10\,\Omega$、電子レンジは $20\,\Omega$ です。和分の積から合成抵抗は $\dfrac{10 \times 20}{10 + 20} = \dfrac{20}{3}\,\Omega$ で、電流は $100 \div \dfrac{20}{3} = 15\,\mathrm{[A]}$ と一致します。

定格 $20\,\mathrm{[A]}$ までの余裕は $20 - 15 = 5\,\mathrm{[A]}$ なので、足せる電力は $100 \times 5 = 500\,\mathrm{[W]}$ です。

よくある質問

並列回路の合成抵抗が、小さくなるのはなぜですか。

並列にすると、電流の通り道が増えるからです。同じ電圧を加えたとき、通り道が増えた分だけ全電流は大きくなります。$R = E/I$ ですから、全電流が増えれば合成抵抗は小さくなります。どの枝よりも小さくなるのは、そのためです。

逆数の和と和分の積は、どう使い分けますか。

抵抗が二つなら、和分の積 $R_1R_2/(R_1+R_2)$ が速くて間違えにくい方法です。三つ以上のときは逆数の和で計算するか、二つずつ順にまとめます。同じ値の抵抗が並ぶときは、$R_1/n$ と暗算できます。どれも結果は同じなので、一番楽なものを選んでかまいません。

並列回路で一つの抵抗が切れると、ほかの抵抗はどうなりますか。

ほかの枝は影響を受けず、電圧も電流も変わりません。ただし、通り道が一つ減るので、全電流は減ります。合成抵抗は、切れる前より大きくなります。一つの枝が切れても、残りの枝が動き続ける。この性質が、家庭の配線に並列が使われる理由です。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

並列回路で、どの枝にも共通な量と、分かれる量は何ですか？

共通なのは電圧（どの枝も $E$）です。分かれるのは電流で、全電流は各枝の電流の和になります。

並列の合成抵抗の式と、抵抗が二つのとき・同じ値が $n$ 個のときの近道は何ですか？

$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots$ です。二つなら和分の積 $\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$、同じ値なら $R_1/n$ です。和分の積は二つのときだけ使えます。

並列の合成抵抗を出したあと、答えの大きさで何を確かめますか？

どの枝の抵抗よりも小さくなっているかを確かめます。一番小さい抵抗より大きければ、計算ミスです。

$6\,\Omega$ と $12\,\Omega$ を並列にしたときの合成抵抗はいくらですか。$24\,\mathrm{[V]}$ を加えたときの全電流は？

和分の積で $\dfrac{6 \times 12}{6 + 12} = 4\,\mathrm{[\Omega]}$ です。全電流は $24/4 = 6\,\mathrm{[A]}$ で、$4\,\mathrm{[A]}$ と $2\,\mathrm{[A]}$ に分かれます。

分流の公式で、分子に来るのは自分の抵抗ですか、相手の抵抗ですか？

相手側の抵抗です。分圧は自分の抵抗なので逆になります。抵抗の小さい枝ほど、多くの電流が流れます。

家庭の配線が並列になっているのは、なぜですか？

どの機器にも同じ電圧（$100\,\mathrm{[V]}$）が加わるからです。一つの枝が切れても、ほかの枝は動き続けます。

まとめ

• 並列回路は、電圧が共通で、全電流は各枝の電流の和になる
• 合成抵抗は逆数の和。二つなら和分の積、同じ値なら $R_1/n$。結果はどの枝よりも小さくなる
• 分流は抵抗の逆比に分かれ、分子は相手の抵抗
• 混合回路は、内側の並列部分から一つずつまとめる
• 家庭の配線は並列で、どの機器にも同じ電圧が加わり、電流は足し算になる

並列の合成抵抗の式は、直列の足し算と対になっています。直列の考え方を確認したい場合は、オームの法則と直列回路に戻って確かめましょう。分流と分圧の式を区別できるようになると、ブリッジ回路やテブナンの定理などの応用にもつながります。家庭の電気設備が法令上どの区分に入るかは、電気工作物の区分とは？で整理しています。