クーロンの法則と電界の強さ｜距離の2乗に反比例する力を例題で理解

クーロンの法則は、二つの点電荷の間に働く力の大きさを表す法則で、$F = k\dfrac{Q_1 Q_2}{r^2}$ と書きます。力は電気量の積に比例し、距離の2乗に反比例します。同符号なら反発し、異符号なら引き合います。この力を「電荷 1 C あたり」に直したものが電界の強さ $E$ で、電界、電位、コンデンサへと続く静電気の土台になります。

• クーロンの法則とは
  • 同符号は反発、異符号は引き合う
  • 二つの電荷の間の力を表す法則
• クーロンの法則の公式
  • $F = kQ_1Q_2/r^2$
  • 比例定数 $k \approx 9\times10^9$、$k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$
• 距離と力の関係
  • 距離が2倍なら力は1/4
• 電界の強さ
  • $E = F/q = kQ/r^2$、単位は V/m
  • 力は $F = qE$
• 解き方と例題
  • 単位換算、大きさ、向き、検算の4手順
  • 電界が打ち消し合う点の求め方

クーロンの法則とは

電気理論の六つの単元のうち、クーロンの法則は静電気の単元の入口です。直流回路とは別の単元で、電界・電位・コンデンサへ続きます。

物質には、正（＋）と負（−）の電気をもつ粒があります。これらの粒を電荷といい、大きさは電気量 $Q$ [C]（クーロン）で表します。電荷どうしの間には力が働き、その大きさを表す法則がクーロンの法則です。

同符号は反発し、異符号は引き合う

電荷の間に働く力の向きは、符号の組み合わせで決まります。図2に、三つの組み合わせをまとめました。

• 同符号（＋と＋、または−と−）は、互いに反発し合う（斥力）
• 異符号（＋と−）は、互いに引き合う（引力）

どちらの場合も、二つの電荷が及ぼし合う力の大きさは等しく、向きは反対です。作用・反作用の関係で、電気量が違っていても変わりません。

静電気の力を目で確かめる

電荷の間の力は、箔検電器で確かめられます。図3は、帯電した棒を近づけて、金属の箔が開いた様子です。

検電器の箔は、電気を帯びると同符号どうしで反発し合って開きます。帯電が大きいほど、反発力が大きく、箔の開き方も大きくなります。身近な静電気も同じ原理です。目に見えない力が、実際に物を動かしていることが分かります。

身近な例が、風船で髪の毛をこすったときの静電気です。こすった風船と髪の毛は、互いに異符号に帯電して引き合います。髪の毛どうしは同符号なので反発し、逆立ちます。

1風船2髪の毛

1. 風船　こすると負に帯電し、髪の毛を引き寄せる
2. 髪の毛　正に帯電して風船に引かれ、同符号の毛どうしは反発して広がる

クーロンの法則の公式

真空中で、距離 $r$ [m] だけ離れた二つの点電荷 $Q_1$、$Q_2$ [C] の間に働く力の大きさ $F$ [N] は、次の式で表されます。

$$F = k\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2} = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

図5は、式の各部分が何を意味しているかを示したものです。

比例定数 $k$ は、真空の誘電率 $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{[F/m]}$ を使って $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ と表され、値はおよそ $9 \times 10^{9}\,\mathrm{[N \cdot m^2/C^2]}$ です。電験三種の計算では、問題文に指定がなければ $9 \times 10^9$ を使うのが一般的です。

電気量と距離の単位

静電気の計算では、電気量が非常に小さな値になります。単位の接頭語を、基本単位の $\mathrm{C}$ と $\mathrm{m}$ に直してから代入します。

表記	読み方	基本単位に直すと
$1\,\mu\mathrm{C}$	マイクロクーロン	$10^{-6}\,\mathrm{C}$
$1\,\mathrm{nC}$	ナノクーロン	$10^{-9}\,\mathrm{C}$
$1\,\mathrm{pC}$	ピコクーロン	$10^{-12}\,\mathrm{C}$
$1\,\mathrm{cm}$	センチメートル	$10^{-2}\,\mathrm{m}$

媒質中では力が小さくなる

電荷のまわりが真空でなく、比誘電率 $\varepsilon_r$ の物質で満たされているとき、力は $1/\varepsilon_r$ になります。

$$F = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}$$

空気の比誘電率はほぼ 1 なので、空気中の問題は真空中と同じ式で扱えます。

電荷を金属の球に集めると、まわりの電界が強くなります。電界が強くなりすぎると、空気の絶縁が破れて火花が飛びます。理科室で見るヴァンデグラフ起電機は、その様子を目で確かめられる装置です。

1金属の球2火花3受ける球4絶縁柱5台

1. 金属の球　電荷がたまり、まわりに強い電界ができる
2. 火花　電界が強いと空気の絶縁が破れ、電荷が流れる
3. 受ける球　火花の飛ぶ先にある、別の金属の球
4. 絶縁柱　電荷が逃げないよう、球を支える
5. 台　電荷を球へ送る装置を収めた台

距離と力の関係（2乗に反比例）

クーロンの法則で大切なのは、力が距離の2乗に反比例することです。距離が2倍になると力は $1/2$ ではなく $1/4$、3倍になると $1/9$ に急激に小さくなります。

図7のように、近づけるほど力は急に大きくなり、離すと急に小さくなります。電荷が近いときに力がとても強いことを、グラフの形で押さえましょう。

距離	力の大きさ
$r_0$	$F_0$
$2r_0$	$\dfrac{F_0}{4}$
$3r_0$	$\dfrac{F_0}{9}$
$\dfrac{r_0}{2}$	$4F_0$

静電気の力は、レーザープリンターやコピー機の中でも使われています。帯電したドラムに、逆の符号に帯電したトナーの粒が引き寄せられ、そのトナーが紙へ移ります。

1トナー2感光ドラム3紙の通り道

1. トナー　帯電した粉の粒。ドラムの電荷に引かれる
2. 感光ドラム　表面に静電気の模様をつくる
3. 紙の通り道　ドラムから移ったトナーを受け取る

電界の強さの求め方

電荷のまわりの空間には、ほかの電荷に力を及ぼす性質があります。この空間の性質を電界といいます。電荷 $Q$ のまわりの電界を考えると、クーロンの法則を「力を及ぼし合う」見方から「電荷が空間に電界をつくり、その電界が別の電荷に力を与える」見方に言い換えられます。

電界の強さの定義

電界の中に電荷 $q$ を置いたとき、$q$ が受ける力 $F$ を電気量で割ったものが電界の強さ $E$ です。

$$E = \frac{F}{q} \quad \Leftrightarrow \quad F = qE$$

単位は $\mathrm{[N/C]}$ で、$\mathrm{[V/m]}$ と同じです。つまり電界の強さは、$+1\,\mathrm{C}$ の電荷が受ける力の大きさです。図9のように、正の点電荷 $+Q$ がつくる電界は、電荷から放射状に外向きに広がります。

点電荷がつくる電界の式

$+Q$ から距離 $r$ の点に電荷 $q$ を置くと、クーロンの法則から $F = kQq/r^2$ の力が働きます。これを $q$ で割れば、

$$E = \frac{F}{q} = k\,\frac{Q}{r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\ \mathrm{[V/m]}$$

となります。電界の強さも、距離の2乗に反比例して弱くなります。

電気力線で電界を表す

電界の様子は、電気力線という線で図に表します。電気力線には次の約束があります。

• 正の電荷から出て、負の電荷に入る
• 線の接線の向きが、その点の電界の向き
• 線が密なところほど、電界が強い
• 途中で枝分かれしたり、交わったりしない

点電荷から離れるほど線の間隔が広がるのは、電界が $1/r^2$ で弱くなることに対応しています。

電界と力の使い分け

力 $F$ は「ある電荷が受ける力」、電界 $E$ は「その場所の性質」です。電荷を置かなくても、電界はそこにあります。問題で「電荷 $q$ が受ける力」を聞かれたら、電界を求めてから $F = qE$ とすると、計算が整理できます。

雲と地面のあいだの電界が強くなり、空気が絶縁を保てなくなると、一気に放電が起こります。これが雷です。静電気の力も電界も、自然のなかで大きな現象になります。

クーロンの法則の解き方と例題

クーロンの法則の問題は、図11の4手順で進めると間違えにくくなります。

力の大きさを求める

解答と解説を見る

単位を直すと、$Q_1 = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{[C]}$、$Q_2 = 3 \times 10^{-6}\,\mathrm{[C]}$ です。公式に代入します。

$$\begin{aligned} F &= 9 \times 10^{9} \times \frac{(2 \times 10^{-6})(3 \times 10^{-6})}{0.3^2} \\ &= 9 \times 10^{9} \times \frac{6 \times 10^{-12}}{0.09} \\ &= 0.6\,\mathrm{[N]} \end{aligned}$$

二つとも正の電荷で同符号なので、力は反発力で、互いに遠ざかる向きに $0.6\,\mathrm{[N]}$ が働きます。

検算として、距離を2倍の $0.6\,\mathrm{[m]}$ にすると力は $1/4$ の $0.15\,\mathrm{[N]}$ になります。電気量が違っても、二つの電荷が受ける力の大きさは等しい点に注意してください。

電界の強さを求める

解答と解説を見る

$Q = 4 \times 10^{-9}\,\mathrm{[C]}$ なので、電界の強さは

$$\begin{aligned} E &= k\,\frac{Q}{r^2} = 9 \times 10^{9} \times \frac{4 \times 10^{-9}}{0.2^2} \\ &= \frac{36}{0.04} = 900\,\mathrm{[V/m]} \end{aligned}$$

$q = 5 \times 10^{-9}\,\mathrm{[C]}$ が受ける力は

$$\begin{aligned} F &= qE = 5 \times 10^{-9} \times 900 \\ &= 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{[N]} \end{aligned}$$

つまり $4.5\,\mu\mathrm{N}$ で、正電荷どうしなので $Q$ から遠ざかる向きです。距離を $0.4\,\mathrm{[m]}$ に離せば、電界は $1/4$ の $225\,\mathrm{[V/m]}$ になります。

電界が打ち消し合う点を求める

二つ以上の電荷があるとき、ある点の電界は、各電荷がつくる電界のベクトルの和になります。これを重ね合わせの原理といいます。同符号の電荷の間には、電界が逆向きになって打ち消し合う点が、必ず一つあります。

解答と解説を見る

図12の点 P が、$+Q$ から $x\,\mathrm{[m]}$ の位置にあるとします。同符号の電荷の間では、二つの電界が逆向きになるので、大きさが等しいときに打ち消し合います。

$$k\frac{Q}{x^2} = k\frac{4Q}{(0.3 - x)^2}$$

両辺の $kQ$ を消して整理すると、$(0.3 - x)^2 = 4x^2$ です。$0 < x < 0.3$ なので両辺の平方根をとって、

$$0.3 - x = 2x \quad\Rightarrow\quad x = 0.1\,\mathrm{[m]}$$

よって、$+Q$ から $0.1\,\mathrm{[m]}$ の位置です。電気量が大きい方（$+4Q$）から遠い側に、電界が $0$ の点ができます。

試験で間違えやすいポイント

• 距離の2乗の入れ忘れ: $r$ ではなく $r^2$ で割る。単位も $\mathrm{cm}$ を $\mathrm{m}$ に直してから2乗する
• 電気量の接頭語: $\mu$ は $10^{-6}$、$\mathrm{n}$ は $10^{-9}$。桁を取り違えると答えが大きくずれる
• 向きの判断: 公式に符号を入れて大きさを出すのではなく、大きさは絶対値、向きは同符号か異符号かで決める
• 作用・反作用: 電気量が違っても、二つの電荷が受ける力の大きさは同じ

よくある質問

クーロンの法則と電界の強さは、何が違いますか。

クーロンの法則は、二つの電荷の間に働く力 $F$ を表す式です。電界の強さ $E$ は、その力を電荷 1 C あたりに直した量で、$E = F/q$ の関係があります。力は受ける電荷によって変わりますが、電界は場所だけで決まる性質です。

比例定数 k と真空の誘電率 ε0 は、どう関係しますか。

$k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ の関係があります。$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{[F/m]}$ を代入すると、$k \approx 9 \times 10^9$ になります。問題で $\varepsilon_0$ が与えられたときは、$4\pi\varepsilon_0$ を使う式で計算します。

二つの電荷の大きさが違うと、働く力も違いますか。

力の大きさは違いません。電気量が大きい方の電荷も、小さい方の電荷も、同じ大きさの力を互いに及ぼし合います。向きは反対で、作用・反作用の関係です。電気量が大きい方が「強く押す」わけではない点に注意してください。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

二つの電荷の間に働く力の向きは、符号でどう決まりますか？

同符号は反発し、異符号は引き合います。力の大きさは等しく、向きは反対です。

クーロンの法則の式と、各記号の意味を言えますか？

$F = k\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}$ です。$Q$ は電気量 $\mathrm{[C]}$、$r$ は距離 $\mathrm{[m]}$、$k \approx 9 \times 10^{9}$ は比例定数です。

距離を2倍、3倍にすると、力は何倍になりますか？

$1/4$ 倍、$1/9$ 倍です。力は距離の2乗に反比例します。

計算の前に、$\mu\mathrm{C}$ や $\mathrm{cm}$ をどうしますか。しないとどうなりますか？

基本単位の $\mathrm{C}$ と $\mathrm{m}$ に直します。距離を $\mathrm{cm}$ のまま入れると、2乗するので $10^4$ 倍の誤差になります。

電界の強さ $E$ の定義と、電界の中で電荷 $q$ が受ける力の式は何ですか？

$E = F/q = kQ/r^2$ で、単位は $\mathrm{V/m}$ です。電荷 $q$ が受ける力は $F = qE$ です。

真空中で $2\,\mu\mathrm{C}$ と $3\,\mu\mathrm{C}$ を $0.3\,\mathrm{[m]}$ 離すと、力の大きさと向きは？距離を2倍にすると？

$0.6\,\mathrm{[N]}$ の反発力です。距離を $0.6\,\mathrm{[m]}$ にすると $1/4$ の $0.15\,\mathrm{[N]}$ になります。

まとめ

• クーロンの法則は $F = kQ_1Q_2/r^2$。同符号は反発、異符号は引き合う
• 力は距離の2乗に反比例し、距離が2倍なら $1/4$、3倍なら $1/9$ になる
• 電界の強さは $E = F/q = kQ/r^2$ で、単位は $\mathrm{V/m}$。電荷が受ける力は $F = qE$
• 計算の前に、$\mu\mathrm{C}$ や $\mathrm{cm}$ を基本単位に直す
• 複数の電荷がつくる電界は、ベクトルの和（重ね合わせ）で求める

静電気の次は、電界から電位、コンデンサへと学びが続きます。電気力線・電位・平行平板の電界は電界と電位で図解しています。同じ理論科目の電気回路の基本は、オームの法則と直列回路と並列回路の合成抵抗と分流の公式で整理しています。静電気の力の考え方と合わせて、理論科目の土台を固めましょう。