配電線の電圧降下と電力損失の計算｜方式ごとの式と分布負荷の1/2・1/3を図解

電線にも抵抗があるので、電流を流すと、電源から遠い家ほど電圧が下がり、電線では熱として電力も失われます。配電線の計算では、この電圧降下と電力損失を、方式ごとの式で求めます。この記事では、方式ごとの式、電圧を上げたときの損失の変化、負荷が分布した線路の計算を、図と 4 つの例題で順にたどります。

• 電圧降下とは
  • 送電端と受電端の電圧の差
• 方式ごとの式
  • 単相2線式・三相3線式・単相3線式
• 電線の量
  • 同じ電力・損失なら 3/4 と 3/8
• 電圧を上げる
  • 電流は 1/n、損失は 1/n の 2 乗
• 分布した負荷
  • 区間ごとに足す。一様なら 1/2 と 1/3

配電線の電圧降下とは

配電線は、変電所から送られた電気を、工場や家庭へ配る電線です。電柱に沿って高圧（多くは 6.6 kV）の電線が地域に張りめぐらされ、柱上変圧器で 100 V や 200 V の低圧に下げて、各家庭へ引き込みます（図1）。

配電線は長い電線なので、電線には抵抗 $R$ とリアクタンス $X$ があります。電流 $I$ が流れると、この $R$ と $X$ に電圧が生じ、負荷の側（受電端）の電圧 $V_r$ は、電源の側（送電端）の電圧 $V_s$ より低くなります。この差が電圧降下 $v$ です（図2）。

$$v = V_s - V_r\ \mathrm{[V]}$$

電線に電流が流れると、電線の抵抗で熱が出て、電力も失われます。これが電力損失で、電線 1 本ぶんは $I^{2}R$ です。電流の 2 乗に比例するので、電流が大きいほど急に増えます。

電圧降下が大きいと、負荷の電圧が足りなくなって、照明が暗くなったり、機器が正常に動かなくなったりします。電力損失が大きいと、送った電気が熱になって無駄になります。柱上変圧器は、高圧線から電気を受けて、低圧に下げて配る機器です（図3）。

1高圧側の端子2変圧器の胴3放熱ひれ4低圧側の線5コンクリート柱

1. 高圧側の端子　高圧線を受ける
2. 変圧器の胴　高圧を低圧に下げる
3. 放熱ひれ　熱を逃がす
4. 低圧側の線　電柱へ下ろす
5. コンクリート柱　機器を支える

方式ごとの電圧降下と電力損失の式

配電線には、単相2線式、三相3線式、単相3線式があります。電線 1 本あたりの抵抗を $R$、リアクタンスを $X$、負荷の電流（線電流）を $I$、負荷の力率（遅れ）を $\cos\theta$ とすると、電圧降下 $v$ と電線全体の電力損失 $P_{l}$ は、次の形にまとまります。

$$\begin{aligned} v &= kI\,(R\cos\theta + X\sin\theta) \\ P_{l} &= nI^{2}R \end{aligned}$$

係数 $k$ と本数 $n$ は、方式で決まります。

方式	係数 $k$	本数 $n$
単相2線式	$2$	$2$
三相3線式	$\sqrt{3}$	$3$
単相3線式	$1$	$2$

単相2線式は、往きの線と戻りの線の 2 本に電流が流れます。両方の線で電圧が下がるので $k=2$、損失も 2 本ぶんで $n=2$ です。

三相3線式は、1 線あたりの電圧降下 $I(R\cos\theta + X\sin\theta)$ を線間電圧に直すと $\sqrt{3}$ 倍になります（導き方は三相3線式の電圧降下の求め方）。3 本すべてに電流が流れるので $n=3$ です。

単相3線式は、負荷が平衡していれば、中性線に電流が流れません。電圧降下は外線 1 本ぶんの $k=1$、損失は外線 2 本ぶんの $n=2$ です（中性線のはたらきは単相3線式の仕組みと中性線で扱います）。

電線の太さと電線の量

電線の抵抗は、材料の抵抗率 $\rho$、長さ $l$、断面積 $A$ で決まります。

$$R = \rho\,\frac{l}{A}\ \mathrm{[\Omega]}$$

電線を太くする（断面積を大きくする）と、抵抗が下がって電圧降下も電力損失も小さくなります。ただし、そのぶん電線の材料が増えます。太い電線は、細い線を束ねたより線でつくります（図4）。

電線の量は、本数と断面積の積に比例します。同じ電力を、同じ負荷の電圧、力率、電力損失で送るとき、方式ごとに必要な電線の量を、単相2線式を 1 として比べたのが図5です。

導き方は、電流と損失を並べるとわかります。単相2線式の電流を $I_1$ とします。負荷の電圧は同じなので、三相3線式は線間電圧が $V$、単相3線式は外線と中性線の間が $V$ とします。電線 1 本の抵抗が同じ $R$ のときは、次のようになります。

方式	電流	損失
単相2線式	$I_1$	$2I_1^{2}R$
三相3線式	$I_1/\sqrt{3}$	$I_1^{2}R$
単相3線式	$I_1/2$	$I_1^{2}R/2$

三相3線式の損失は単相2線式の $1/2$、単相3線式は $1/4$ です。損失を同じにそろえるには、三相3線式は $R$ を 2 倍にできて、断面積は $1/2$ で済みます。単相3線式は $R$ を 4 倍にできて、断面積は $1/4$ で済みます。電線の量は、本数 × 断面積に比例するので、次のとおりです。

$$\begin{aligned} \text{単相2線式} &= 2\times 1 = 2 \\ \text{三相3線式} &= 3\times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ \text{単相3線式} &= 3\times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \end{aligned}$$

単相2線式を 1 にそろえると、三相3線式は $\frac{3}{2}\div 2 = \frac{3}{4}$、単相3線式は $\frac{3}{4}\div 2 = \frac{3}{8}$ です。

電圧を上げると電力損失が減る理由

三相3線式で、負荷の電力 $P$、線間電圧 $V$、力率 $\cos\theta$ のとき、電流は次の式です。

$$I = \frac{P}{\sqrt{3}\,V\cos\theta}$$

これを電力損失 $3I^{2}R$ に入れると、損失は電圧の 2 乗に反比例することがわかります。

$$\begin{aligned} P_{l} &= 3I^{2}R \\ &= 3\left(\frac{P}{\sqrt{3}\,V\cos\theta}\right)^{2}R \\ &= \frac{P^{2}R}{V^{2}\cos^{2}\theta} \end{aligned}$$

電力 $P$ に対する損失の割合は、$P_{l}/P = PR/(V^{2}\cos^{2}\theta)$ です。$X$ を無視すると、電圧降下 $v$ とその率は、次のようになります。

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{3}\,IR\cos\theta = \frac{PR}{V} \\ \frac{v}{V} &= \frac{PR}{V^{2}} \end{aligned}$$

つまり、同じ電力を送るとき、電圧を $n$ 倍にすると、電流は $1/n$、電力損失は $1/n^{2}$ になります（図6）。電圧降下 $v$ は $1/n$、電圧降下率は $1/n^{2}$ です。

力率も同じ形で効きます。損失は $\cos^{2}\theta$ に反比例するので、力率を 0.8 から 1 に改善すると、損失は $(0.8/1)^{2} = 0.64$ 倍になります（力率の改善は力率改善と進相コンデンサの容量計算で扱います）。

負荷が分布した線路の計算

配電線の負荷は、線路の末端に 1 か所だけあるとは限りません。途中の何か所かで分かれて取り出される場合と、線路に沿って一様に分布している場合を、順に見ていきます。

途中に負荷が分かれた線路

図7は、電源の S 点から A 点、B 点、C 点へ線路が続き、各点で負荷電流が取り出される例です。各区間を流れる電流は、その区間より先にある負荷電流の合計です。この例では、S–A 間が $20+30+10=60\ \mathrm{A}$、A–B 間が $30+10=40\ \mathrm{A}$、B–C 間が $10\ \mathrm{A}$ です。

電柱から住宅へ負荷が分かれるたびに、線路を流れる電流は減っていきます（図8）。

1がいしと腕金2柱上変圧器3コンクリート柱4低圧線

1. がいしと腕金　高圧線を支える
2. 柱上変圧器　高圧を低圧に下げる
3. コンクリート柱　機器を支える
4. 低圧線　住宅の方へ向かう

電圧降下は、区間ごとの電圧降下を足します。電力損失も、区間ごとの損失を足します。S–A 間、A–B 間、B–C 間の電流を $I_1$、$I_2$、$I_3$、抵抗を $R_1$、$R_2$、$R_3$ とします。

$$\begin{aligned} v &= k\,(I_1R_1 + I_2R_2 + I_3R_3) \\ P_{l} &= n\,(I_1^{2}R_1 + I_2^{2}R_2 + I_3^{2}R_3) \end{aligned}$$

この式は、力率 1 の形です。力率がどの負荷でも同じなら、電流の大きさをそのまま足せるので、電圧降下は各項の $I_iR_i$ を $I_i(R_i\cos\theta + X_i\sin\theta)$ に置き換えます。電力損失は $R_i$ のままです。力率が違うときは、電流を有効分と無効分に分けて、それぞれ足してから計算します。

一様に分布した負荷

街路灯や住宅が、線路に沿ってびっしり並んでいるときは、負荷が一様に分布しているとみなします。線路の長さを $L$、電線 1 本の抵抗を（全長ぶんで）$R$、送電端の電流を $I$ とします。電流は、末端に向かって直線的に減り、末端で 0 になります（図9）。

電圧降下は、電流の曲線の面積（図9の左の三角形）に比例し、電力損失は、電流の 2 乗の曲線の面積（図9の右）に比例します。この面積から、次のとおりになります。

$$v' = \frac{IR}{2}, \qquad p' = \frac{I^{2}R}{3}$$

$v'$ と $p'$ は、電線 1 本ぶんの電圧降下と電力損失です（力率 1、または $X$ を無視したとき）。末端に全電流 $I$ を集めた場合の $IR$ と $I^{2}R$ に比べて、電圧降下は $1/2$、電力損失は $1/3$ です。電圧降下は、全負荷を線路の中央に集めたときと同じです。方式ごとにまとめると、次の表です。

方式	電圧降下	電力損失
単相2線式	$IR$	$\frac{2}{3}I^{2}R$
三相3線式	$\frac{\sqrt{3}}{2}IR$	$I^{2}R$

末端にも集中負荷があるときは、電圧降下は、分布した負荷の分と集中負荷の分を別々に求めて足せます。電力損失は電流の 2 乗なので、別々に求めて足すことはできません。線路を流れる電流の合計から求めます。

配電線の例題

配電線の問題は、文章から $k$、$n$、$R$、電流を読み取るところから始まります。

問題の言葉	読み取り
6.6 kV の三相3線式	線間電圧
200 V の単相2線式	負荷の電圧
電線 1 線の抵抗	$R$
力率 1	$X$ の項が消える

解答と解説を見る

片道は $0.3\ \mathrm{km}$ なので、$R = 0.06\ \Omega$、$X = 0.03\ \Omega$ です。力率 0.8 より $\sin\theta = 0.6$ です。

(1) $R\cos\theta = 0.048$、$X\sin\theta = 0.018$ です。

$$\begin{aligned} v &= 2I\,(R\cos\theta + X\sin\theta) \\ &= 120\times(0.048+0.018) \\ &= 7.92\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

(2) 送電端電圧は、負荷の電圧に電圧降下を足します。

$$\begin{aligned} V_s &= 200 + 7.92 \\ &\fallingdotseq 207.9\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

(3) 単相2線式は $n=2$ です。

$$\begin{aligned} P_{l} &= 2I^{2}R \\ &= 2\times 60^{2}\times 0.06 \\ &= 432\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

答え：(1) $7.92\ \mathrm{V}$　(2) $207.9\ \mathrm{V}$　(3) $432\ \mathrm{W}$

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区間の電流は、先にある負荷電流の合計です。

• 電源–A 間：$60\ \mathrm{A}$、$R_1 = 0.8\ \Omega$
• A–B 間：$30\ \mathrm{A}$、$R_2 = 0.4\ \Omega$
• B–C 間：$10\ \mathrm{A}$、$R_3 = 0.4\ \Omega$

(1) 三相3線式は $k=\sqrt{3}$ です。

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{3}\,(I_1R_1 + I_2R_2 + I_3R_3) \\ &= \sqrt{3}\,(48+12+4) \\ &= \sqrt{3}\times 64 \\ &\fallingdotseq 110.9\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

$6600\ \mathrm{V}$ の約 $1.7\ \%$ です。

(2) 三相3線式は $n=3$ です。

$$\begin{aligned} P_{l} &= 3\,(I_1^{2}R_1 + I_2^{2}R_2 + I_3^{2}R_3) \\ &= 3\,(2880+360+40) \\ &= 9840\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

答え：(1) $110.9\ \mathrm{V}$　(2) $9840\ \mathrm{W}$

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電線 1 線の全体の抵抗は $R = 0.3\times 2 = 0.6\ \Omega$ です。

(1) 一様な分布では、末端集中の $1/2$ です。

$$\begin{aligned} v &= \frac{\sqrt{3}\,IR}{2} \\ &= \frac{\sqrt{3}\times 100\times 0.6}{2} \\ &\fallingdotseq 52.0\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

(2) 1 線あたり $I^{2}R/3$ で、3 線ぶんです。

$$\begin{aligned} P_{l} &= 3\times\frac{I^{2}R}{3} \\ &= 100^{2}\times 0.6 \\ &= 6000\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

(3) 末端に集中した場合です。

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{3}\,IR \\ &\fallingdotseq 103.9\ \mathrm{[V]} \\ P_{l} &= 3I^{2}R \\ &= 18000\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

比は、電圧降下が $1/2$、電力損失が $1/3$ です。

答え：(1) $52.0\ \mathrm{V}$　(2) $6000\ \mathrm{W}$　(3) $103.9\ \mathrm{V}$、$18000\ \mathrm{W}$

解答と解説を見る

電流を求めて、$P_{l} = 3I^{2}R$ に入れます。$3.3\ \mathrm{kV}$ のときです。

$$\begin{aligned} I &= \frac{P}{\sqrt{3}\,V} \\ &= \frac{1000\times 10^{3}}{\sqrt{3}\times 3300} \\ &\fallingdotseq 175\ \mathrm{[A]} \\ P_{l} &= 3\times 175^{2}\times 0.5 \\ &\fallingdotseq 45.9\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

電力の $45.9/1000 = 4.59\ \%$ です。$6.6\ \mathrm{kV}$ のときです。

$$\begin{aligned} I &= \frac{1000\times 10^{3}}{\sqrt{3}\times 6600} \\ &\fallingdotseq 87.5\ \mathrm{[A]} \\ P_{l} &= 3\times 87.5^{2}\times 0.5 \\ &\fallingdotseq 11.5\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

電力の約 $1.15\ \%$ です。電圧が 2 倍になると、電流は $1/2$、損失は $1/4$ になります。

答え：$3.3\ \mathrm{kV}$ で約 $45.9\ \mathrm{kW}$（$4.59\ \%$）、$6.6\ \mathrm{kV}$ で約 $11.5\ \mathrm{kW}$（$1.15\ \%$）

よくある質問

電圧降下の係数が方式ごとに違うのはなぜですか。

電圧降下を、負荷の電圧に合わせて数えているからです。単相2線式は、往きと戻りの 2 本の電圧降下を足すので $k=2$ です。三相3線式は、1 線あたりの電圧降下を線間電圧に直すと $\sqrt{3}$ 倍になります。単相3線式は、平衡していれば中性線に電流が流れないので、外線 1 本ぶんの $k=1$ です。

配電線の電圧降下を小さくするには、どうすればよいですか。

式 $v = kI\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$ の各項を小さくします。電線を太くして $R$ を小さくする、電圧を上げて電流を減らす、進相コンデンサなどで力率を改善して電流を減らす、の方法があります。電圧を上げると、電力損失も小さくなります。

分布負荷で電圧降下が 1/2 になるのはなぜですか。

線路に沿って負荷が取り出されるので、電流が送電端の $I$ から末端の 0 まで直線的に減ります。電流の平均は $I/2$ なので、電圧降下は末端集中の半分です。電力損失は電流の 2 乗で決まります。2 乗の平均は $1/3$ なので、損失は $1/3$ になります。

単相3線式の損失で、本数が 2 になるのはなぜですか。

負荷が平衡していると、中性線に電流が流れないからです。電流が流れるのは外線 2 本だけなので $n=2$ です。不平衡のときは、中性線の電流 $I_N$ と抵抗 $R_N$ から、中性線の損失 $I_N^{2}R_N$ を加えます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

三相3線式の電圧降下と電力損失の式は？

$v = \sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$、$P_{l} = 3I^{2}R$ です。

単相2線式の電圧降下と電力損失の式は？

$v = 2I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$、$P_{l} = 2I^{2}R$ です。

電圧を $n$ 倍にすると、電流・電力損失・電圧降下率はどうなる？

電流は $1/n$、電力損失と電圧降下率は $1/n^{2}$ になります。

同じ電力・損失で送るとき、単相2線式を 1 とした電線の量は？

三相3線式は $3/4$、単相3線式は $3/8$ です。

一様に分布した負荷では、末端集中に比べて電圧降下と電力損失は何倍？

電圧降下は $1/2$、電力損失は $1/3$ です。

途中で負荷が分かれた線路は、どう計算する？

区間の電流（先にある負荷電流の合計）と抵抗から、区間ごとの $IR$ と $I^{2}R$ を足します。

まとめ

• 電圧降下は送電端と受電端の電圧の差で、$v = kI\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$。係数は単相2線式が 2、三相3線式が $\sqrt{3}$、単相3線式が 1
• 電力損失は $nI^{2}R$。本数は単相2線式が 2、三相3線式が 3、単相3線式が 2
• 同じ電力・損失で送るときの電線の量は、単相2線式を 1 として、三相3線式が $3/4$、単相3線式が $3/8$
• 電圧を $n$ 倍にすると、電流は $1/n$、電力損失と電圧降下率は $1/n^{2}$。力率を上げても電流が減る
• 途中で負荷が分かれた線路は、区間ごとに足す。一様に分布した負荷は、末端集中の電圧降下の $1/2$、電力損失の $1/3$

電流を減らして損失を下げる力率の改善は、力率改善と進相コンデンサの容量計算で続けて確認できます。