三相3線式の電圧降下の求め方｜近似式・電圧降下率・送電損失を例題で解く

三相3線式の送電線の電圧降下は、近似式 $v = \sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)\ \mathrm{[V]}$ で求めます。$I$ は線電流、$R$ と $X$ は 1 線あたりの抵抗とリアクタンス、$\cos\theta$ は負荷の力率です。電験三種の「電力」では、この式に加えて電圧降下率、送電損失と力率の関係、送電電力の式がセットで問われます。結論から言うと、「1 相分で考えて、最後に $\sqrt{3}$ を掛ける」が基本の型です。

• 三相3線式の電圧降下とは
  • 送電端電圧と受電端電圧の差
  • 1 相分の等価回路で考える
• 電圧降下の近似式とベクトル図
  • $v=\sqrt{3}I(R\cos\theta+X\sin\theta)$
  • 電力で書くと $v=(PR+QX)/V$
• 電圧降下率と電圧変動率
  • 分母は受電端電圧
• 送電損失と力率の関係
  • 損失は $1/\cos^2\theta$ に比例
• 送電電力の式
  • $P=V_sV_r\sin\delta/X$
• 例題
  • 電圧降下、損失、送電電力の 3 問

三相3線式の電圧降下とは

送電線は長い電線なので、電線には抵抗 $R$ と、電流の周りの磁束によるリアクタンス $X$ があります。電流 $I$ が流れると、この $R$ と $X$ の両端に電圧が生じ、受電端の電圧は送電端より低くなります。この差が電圧降下 $v = V_s - V_r$ です。$V_s$ は送電端電圧、$V_r$ は受電端電圧で、どちらも線間電圧で表します。

三相3線式の電圧降下は、図1のように 1 相分の等価回路で考えます。三相が平衡していれば、3 本の電線は同じ状態なので、1 本分を取り出して計算し、最後に線間電圧へ直せば足ります。電圧降下の考え方の土台は、直列につないだ抵抗に電圧が分かれるオームの法則と直列回路と同じです。

図2は、送電線を支える鉄塔の実物です。電線 3 本が三相の 1 回線にあたり、鉄塔の左右にある 2 組で 2 回線になります。

1架空地線2がいし3腕金4電線

1. 架空地線　雷が電線に落ちないよう最上部に張る
2. がいし　電線を鉄塔から絶縁して吊る
3. 腕金　電線を離して支える鉄塔の腕
4. 電線　3 本で三相 1 回線。この R と X が電圧降下を生む

電圧降下の近似式とベクトル図

電圧降下の近似式は、受電端電圧を基準にしたベクトル図から導きます。1 相分の受電端電圧を $E_r$、送電端電圧を $E_s$ とします。負荷は遅れ力率なので、電流 $I$ は $E_r$ より力率角 $\theta$ だけ遅れます。送電端電圧は、受電端電圧に抵抗の電圧降下 $IR$（電流と同じ向き）とリアクタンスの電圧降下 $IX$（電流より $90^\circ$ 進み）を足したものです。

$E_s$ と $E_r$ の位相差はわずかなので、$E_s$ の大きさは $E_r$ の方向の成分で近似できます。図3の $E_r$ の方向の成分を足すと、1 相分の電圧降下 $e$ は次のとおりです。

$$\begin{aligned} e &= E_s - E_r \fallingdotseq I R\cos\theta + I X\sin\theta \\ &= I\,(R\cos\theta + X\sin\theta) \end{aligned}$$

線間電圧は相電圧の $\sqrt{3}$ 倍（三相交流回路の計算）なので、線間電圧で表した電圧降下は両辺に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$$v = V_s - V_r = \sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)\ \mathrm{[V]}$$

受電電力 $P = \sqrt{3}\,V_r I\cos\theta$、無効電力 $Q = \sqrt{3}\,V_r I\sin\theta$ を使うと、電流を使わない形にも書けます。

$$v = \frac{P R + Q X}{V_r}\ \mathrm{[V]}$$

項目	近似式	計算に使う量
線間電圧の降下	$\sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$	線電流 $I$、力率 $\cos\theta$
電力で書いた降下	$(PR + QX)/V_r$	三相の有効電力 $P$、無効電力 $Q$
1 相分の降下	$I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$	相電圧との比較に使う

電圧降下率と電圧変動率

電圧降下が受電端電圧の何 % にあたるかを表したものが電圧降下率 $\varepsilon$ です。分母は送電端電圧ではなく、受電端電圧です。

$$\varepsilon = \frac{V_s - V_r}{V_r}\times 100\ \mathrm{[\%]}$$

似た量に電圧変動率があります。送電端電圧を一定にしたまま、負荷を外したときと全負荷のときで、受電端電圧がどれだけ変わるかを見る量です。無負荷時の受電端電圧を $V_{r0}$、全負荷時の受電端電圧を $V_r$ として、次のとおりです。

$$\varepsilon_{\mathrm{v}} = \frac{V_{r0} - V_r}{V_r}\times 100\ \mathrm{[\%]}$$

項目	電圧降下率	電圧変動率
比べるもの	送電端電圧と受電端電圧	無負荷と全負荷の受電端電圧
分子	$V_s - V_r$	$V_{r0} - V_r$
分母	受電端電圧 $V_r$	全負荷時の受電端電圧 $V_r$
一致する場合	静電容量を無視した短距離線路では、無負荷時の受電端電圧が送電端電圧に等しく、両者は同じ値になる

電圧降下率は、電力で書き直すと送電電圧の影響が見えます。$v = (PR + QX)/V_r$ なので、次の式になります。

$$\varepsilon = \frac{v}{V_r}\times 100 = \frac{PR + QX}{V_r^{\,2}}\times 100\ \mathrm{[\%]}$$

同じ電力を同じ力率で送るとき、送電電圧を 2 倍にすると電圧降下 $v$ は $1/2$、電圧降下率 $\varepsilon$ は $1/4$ になります。

送電損失と力率の関係

送電線の電力損失（線路損失）は、電線の抵抗で熱になる分です。三相3線式では 3 本の電線すべてに電流が流れるので、次のとおりです。

$$p_l = 3 I^2 R\ \mathrm{[W]}$$

電流を電力 $P = \sqrt{3}\,V I\cos\theta$ から $I = \dfrac{P}{\sqrt{3}\,V\cos\theta}$ と書き換えて代入すると、損失は力率と電圧で表せます。

$$p_l = 3R\left(\frac{P}{\sqrt{3}\,V\cos\theta}\right)^2 = \frac{R\,P^2}{V^2\cos^2\theta}\ \mathrm{[W]}$$

同じ電力 $P$ を送るとき、損失は力率の 2 乗に反比例し、電圧の 2 乗にも反比例します。力率が低いと、同じ電力でも電流が増えるため、電圧降下も損失も大きくなります。図4は、力率 1.0 の損失を 1 としたときの比です。

力率 0.8 の損失は、力率 1.0 の $1/0.8^2 = 1.5625$ 倍です。逆に力率を 0.8 から 1.0 に改善すると、損失は $0.8^2 = 0.64$ 倍に減り、36 % の削減になります。力率の改善には、受電端に電力用コンデンサなどの調相設備を置き、遅れ無効電力を打ち消します（必要な容量の求め方は力率改善）。

送電電圧を高くする理由も、この式から読めます。送電電力 $P$、力率、線路を同じにして、送電電圧を 2 倍にすると、次のように変わります。

量	変化
線電流 $I$	$1/2$
電圧降下 $v$	$1/2$
電圧降下率 $\varepsilon$	$1/4$
送電損失 $p_l$	$1/4$

送電電力の式

電圧降下の式は「負荷を決めて電圧を求める」使い方でした。送電電力の式は逆に、「送電端と受電端の電圧と、線路のリアクタンスから、送れる電力を求める」使い方です。電線の抵抗は $X$ に比べて小さいので無視し、送電端電圧 $V_s$ と受電端電圧 $V_r$ の位相差を $\delta$（相差角）とすると、三相の送電電力は次のとおりです。

$$P = \frac{V_s V_r}{X}\sin\delta\ \mathrm{[W]}$$

$V_s$、$V_r$ は線間電圧、$X$ は 1 線あたりのリアクタンスです。図5のように、$\sin\delta$ は $\delta = 90^\circ$ のとき最大の 1 になり、このときの $P_{\max} = V_s V_r / X$ が理論上送れる限界（定態安定極限）です。

式から、送電電力を増やす方法が分かります。電圧を上げる、リアクタンス $X$ を減らす、の二つです。電圧を 2 倍にすると $V_s V_r$ は 4 倍になり、送電できる電力も 4 倍になります。$X$ を減らす方法には、1 相を複数の電線に分ける多導体方式（図6）や、直列コンデンサによる補償があります。

1素導体2取付部3スペーサ4鉄塔

1. 素導体　1 相を 4 本などに分けて流す
2. 取付部　電線を締めつけてスペーサに固定する
3. スペーサ　素導体の間隔を保つ金具
4. 鉄塔　多導体の送電線は次の鉄塔まで続く

多導体方式では、電線の等価半径が大きくなって、リアクタンスが小さくなります。そのため、電圧降下が減り、送電電力が増えます。さらにコロナ放電も起こりにくくなるので、超高圧の送電線に使われます。

三相3線式の電圧降下の例題

手順は次の 4 つです。

手順	やること	使う式
1	力率から $\sin\theta$ を出す	$\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}$
2	線電流を求める	$I = P/(\sqrt{3}\,V_r\cos\theta)$
3	近似式に代入する	$v = \sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$
4	降下率や損失を求める	$\varepsilon = v/V_r$、$p_l = 3I^2R$

解答と解説を見る

力率が $0.8$ なので、$\sin\theta = 0.6$ です。線電流は、

$$\begin{aligned} I &= \frac{P}{\sqrt{3}\,V_r\cos\theta} \\ &= \frac{6000\times 10^3}{\sqrt{3}\times 66\times 10^3\times 0.8} \\ &\fallingdotseq 65.6\ \mathrm{[A]} \end{aligned}$$

電圧降下は、

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta) \\ &= \sqrt{3}\times 65.6\times(4\times 0.8 + 8\times 0.6) \\ &\fallingdotseq 909\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

電力の形でも確かめます。無効電力は $Q = P\tan\theta = 6000\times 0.75 = 4500\ \mathrm{[kvar]}$ なので、

$$\begin{aligned} v &= \frac{PR + QX}{V_r} \\ &= \frac{6000\times 10^3\times 4 + 4500\times 10^3\times 8}{66\times 10^3} \\ &\fallingdotseq 909\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

電圧降下率は、分母を受電端電圧にして、

$$\begin{aligned} \varepsilon &= \frac{v}{V_r}\times 100 \\ &= \frac{909}{66000}\times 100 \\ &\fallingdotseq 1.38\ \mathrm{[\%]} \end{aligned}$$

送電端電圧は $V_s = 66000 + 909 = 66909\ \mathrm{[V]}$、つまり約 $66.9\ \mathrm{kV}$ です。

答え：線電流 約 $65.6\ \mathrm{A}$、電圧降下 約 $909\ \mathrm{V}$、電圧降下率 約 $1.38\ \%$、送電端電圧 約 $66.9\ \mathrm{kV}$

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損失は $p_l = 3 I^2 R$ です。$I \fallingdotseq 65.6\ \mathrm{A}$ を代入して、

$$\begin{aligned} p_l &= 3\times 65.6^2\times 4 \fallingdotseq 51.7\times 10^3\ \mathrm{[W]} \\ &= 51.7\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

受電電力に占める割合は $51.7/6000\times 100 \fallingdotseq 0.86\ \%$ です。

力率を $1.0$ にすると、損失は $\cos^2\theta$ の比で、$0.8^2 = 0.64$ 倍になります。

$$p_l' = 51.7\times 0.64 \fallingdotseq 33.1\ \mathrm{[kW]}$$

減る損失は $51.7 - 33.1 \fallingdotseq 18.6\ \mathrm{[kW]}$（約 36 % の削減）です。

答え：損失 約 $51.7\ \mathrm{kW}$（約 $0.86\ \%$）、力率改善で約 $18.6\ \mathrm{kW}$ 減る

解答と解説を見る

送電電力の式 $P = \dfrac{V_s V_r}{X}\sin\delta$ に代入します。

$$\begin{aligned} P &= \frac{154\times 10^3\times 154\times 10^3}{40}\times\sin 30^\circ \\ &= 5.929\times 10^8\times 0.5 \\ &\fallingdotseq 2.96\times 10^8\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

最大電力は $\delta = 90^\circ$、つまり $\sin\delta = 1$ のときで、

$$\begin{aligned} P_{\max} &= \frac{V_s V_r}{X} = 5.929\times 10^8\ \mathrm{[W]} \\ &\fallingdotseq 593\ \mathrm{[MW]} \end{aligned}$$

答え：$\delta = 30^\circ$ で 約 $296\ \mathrm{MW}$、最大 約 $593\ \mathrm{MW}$

例題1の電圧降下は近似式の値です。ベクトル図から $E_s$ を厳密に求めると約 $910.6\ \mathrm{V}$ で、近似式との差は約 $1.5\ \mathrm{V}$（0.2 % 程度）です。試験は近似式で解きます。

よくある質問

電圧降下の式に $\sqrt{3}$ が付くのはなぜですか。

$I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$ は 1 相分の電圧降下、つまり相電圧の差です。送電端と受電端の電圧は線間電圧で表すのが普通で、線間電圧は相電圧の $\sqrt{3}$ 倍です。そのため、相電圧の降下に $\sqrt{3}$ を掛けて線間電圧の降下にします。

電圧降下を小さくするには、どうすればよいですか。

式の各項を小さくします。電線を太くして $R$ を減らす、多導体方式や直列コンデンサで $X$ を減らす、電力用コンデンサで力率を改善して $\sin\theta$ を小さくする、の三つです。いちばん効くのは送電電圧を上げることで、電圧を 2 倍にすれば電圧降下率は $1/4$ になります。

電圧降下率と電圧変動率は同じものですか。

求め方も意味も違います。電圧降下率は送電端と受電端の電圧の差を、受電端電圧に対する割合で表したものです。電圧変動率は、無負荷時と全負荷時の受電端電圧の差を、全負荷時の受電端電圧に対する割合で表したものです。静電容量を無視する短距離線路では、無負荷時の受電端電圧が送電端電圧に等しいので、同じ値になります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

三相3線式の電圧降下の近似式は何ですか？

$v = \sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta)$ です。電力で書くと $v = (PR + QX)/V_r$ です。

電圧降下率の分母は、送電端電圧と受電端電圧のどちらですか？

受電端電圧です。$\varepsilon = (V_s - V_r)/V_r \times 100\ \mathrm{[\%]}$ と書きます。

三相3線式の送電損失の式は何ですか？

$p_l = 3I^2R$ です。電力で書くと $R P^2/(V^2\cos^2\theta)$ になります。

力率を 0.8 から 1.0 に改善すると、送電損失は何倍になりますか？

$0.8^2 = 0.64$ 倍になり、36 % 減ります。

送電電圧を 2 倍にすると、電圧降下率と送電損失はどうなりますか？

どちらも $1/4$ になります。電圧降下 $v$ は $1/2$ です。

送電電力の式と、送電できる限界は何ですか？

$P = V_sV_r\sin\delta/X$ で、$\delta = 90^\circ$ のとき最大の $V_sV_r/X$ になります。

まとめ

• 三相3線式の電圧降下は $v = \sqrt{3}\,I\,(R\cos\theta + X\sin\theta) = (PR + QX)/V_r$ で、ベクトル図の $E_r$ 方向の成分から出る
• 電圧降下率は $(V_s - V_r)/V_r\times 100\ \%$ で、分母は受電端電圧
• 送電損失は $3I^2R = RP^2/(V^2\cos^2\theta)$ で、力率が低いほど、電圧が低いほど大きい
• 送電電圧を 2 倍にすると、電圧降下率も損失も $1/4$、送れる電力は 4 倍
• 送電電力は $P = V_sV_r\sin\delta/X$ で、$\delta = 90^\circ$ が限界

電圧降下の考え方に自信がなければ、直列回路の分圧を扱ったオームの法則と直列回路の記事で、電圧が抵抗に分かれる様子を復習しましょう。低圧の配電で使う方式の電圧降下は単相3線式で、ケーブルの静電容量と充電電流は地中送電線路で扱います。