磁界の強さの求め方｜直線電流・円形コイル・ソレノイドと電磁力 F=BIl を図解

前の記事の電位の求め方では、止まっている電荷がつくる電界と電位を学びました。電荷が動くと、つまり電流が流れると、そのまわりには必ず磁界ができます。モーターも変圧器も、この1つの事実から始まります。

この記事では、磁界の強さ $H$ と磁束密度 $B$ の意味、右ねじの法則、直線電流・円形コイル・ソレノイドの磁界の公式、電磁力 $F = BIl$ とフレミングの左手、磁気回路の考え方を、例題で確かめます。

• 磁界とは
  • 磁界の強さ H [A/m]、磁束密度 B [T]、磁束 Φ [Wb]。B ＝ μH
  • 電流がつくる磁界の向きは、右ねじの法則で決まる
• 電流がつくる磁界の強さ
  • 直線電流 H ＝ I/(2πr)、円形コイルの中心 H ＝ NI/(2r)
  • ソレノイドの内部 H ＝ nI
• 電磁力
  • F ＝ BIl sinθ。向きはフレミングの左手
  • 平行な2本の導体は、同じ向きなら引き合い、逆向きなら反発する
• 磁気回路と電磁石
  • 起磁力 NI、磁気抵抗 Rm ＝ l/(μS)、Φ ＝ NI/Rm
• 例題
  • 直線電流・円形コイル・電磁力・平行導体・磁気回路

磁界とは

磁石や電流のまわりには、鉄を引きつけたり方位磁針を振らせたりする、磁気の力が働く空間ができます。この空間を磁界（磁場）といいます。磁界には向きと強さがあり、向きは、その点に置いた方位磁針の N 極が指す向きです。

電流が磁界をつくることは、1820年にエルステッドが方位磁針の実験で見つけました。導線に電流を流すと、そばの方位磁針が振れます。

1電池ボックス2銅線3方位磁針

1. 電池ボックス　電流を流す電源
2. 銅線　電流が流れる導体
3. 方位磁針　N 極が磁界の向きを指す

磁界を表す量は3つあります。次の表にまとめます。

量	記号と単位	意味
磁界の強さ	$H\,\mathrm{[A/m]}$	電流がつくる磁界の大きさ
磁束密度	$B\,\mathrm{[T]}$	磁力線の密度
磁束	$\Phi\,\mathrm{[Wb]}$	面を貫く磁力線の本数

磁束密度は、磁界の強さに透磁率 $\mu\,\mathrm{[H/m]}$（磁気の通しやすさ）を掛けたものです。面積 $S\,\mathrm{[m^2]}$ の面を垂直に貫く磁束は、磁束密度に面積を掛けて求めます。

$$\begin{aligned} B &= \mu H\,\mathrm{[T]} \\ \Phi &= BS\,\mathrm{[Wb]} \end{aligned}$$

真空の透磁率は $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{[H/m]}$ で、空気中もほぼ同じです。鉄などの強磁性体の透磁率 $\mu$ は、真空の数百倍以上になります。$\mu$ と $\mu_0$ の比 $\mu_r = \mu/\mu_0$ を、比透磁率といいます。

電流がつくる磁界の向き（右ねじの法則）

直線の導線に電流を流すと、導線を中心にした同心円の磁界ができます。向きは、右ねじの法則で決まります。右ねじを電流の向きに進めるとき、ねじを回す向きが磁界の向きです。

紙面で電流が手前向き（⊙）なら磁界は反時計まわり、奥向き（⊗）なら時計まわりです。導線から離れるほど、磁界は弱くなります。

電流がつくる磁界の強さ

導線を細かく分けると、各部分の電流が距離 $r$ の点につくる磁界は、次のビオ・サバールの法則で表せます。電流の素片 $I\Delta l$ と、素片から点を見る向きとの角を $\theta$ として、

$$\Delta H = \frac{I\,\Delta l \sin\theta}{4\pi r^2}\,\mathrm{[A/m]}$$

これをすべての部分について足し合わせると、導線の形ごとの公式が得られます。試験では、次の3つの形の結果を使います。

直線電流

無限に長い直線の導線に電流 $I\,\mathrm{[A]}$ を流すと、導線から距離 $r\,\mathrm{[m]}$ の点の磁界の強さは、

$$H = \frac{I}{2\pi r}\,\mathrm{[A/m]}$$

です。電流に比例し、距離に反比例します。磁界の向きは、図2 の右ねじの法則で決まります。

円形コイルの中心

半径 $r\,\mathrm{[m]}$、巻数 $N$ の円形コイルに電流 $I\,\mathrm{[A]}$ を流すと、中心の磁界の強さは、

$$H = \frac{NI}{2r}\,\mathrm{[A/m]}$$

です。輪のどの部分の電流も、中心では同じ向きの磁界をつくるので、重なって強くなります。巻数が多いほど、半径が小さいほど強くなります。

ソレノイド

導線を円筒状に密に巻いたコイルを、ソレノイドといいます。長さ $l\,\mathrm{[m]}$ に $N$ 回巻いたとき、1 m あたりの巻数は $n = N/l$ です。十分に長いソレノイドの内部は、向きも強さもそろった一様な磁界で、

$$H = nI = \frac{NI}{l}\,\mathrm{[A/m]}$$

です。内部の磁界は半径や位置によらず一定で、外側の磁界は内部に比べてとても弱くなります。

ソレノイドを円環状に巻いた環状ソレノイドでは、磁界は環の内部だけにでき、平均半径 $r\,\mathrm{[m]}$ の環の内部で、

$$H = \frac{NI}{2\pi r}\,\mathrm{[A/m]}$$

になります。$2\pi r$ は環の長さ（磁路の長さ）なので、$H = NI/l$ と同じ形です。

4つの形をまとめると、次の表になります。

形	磁界の強さ $H$	場所
直線電流	$I/(2\pi r)$	導線から $r$
円形コイル（$N$ 巻）	$NI/(2r)$	中心
ソレノイド	$nI = NI/l$	内部
環状ソレノイド	$NI/(2\pi r)$	環の内部

電磁力とフレミングの左手

磁界の中を流れる電流は、力を受けます。この力を電磁力といい、モーターが回る原理です。スピーカーでは、コーンに付いたコイル（ボイスコイル）に音の電流を流すと、磁石の磁界から力を受けてコイルが前後に動き、コーンを振動させて音を出します。

1ボイスコイル2磁石3コーン

1. ボイスコイル　電流が流れる銅線
2. 磁石　磁界をつくる
3. コーン　コイルの動きで空気を揺らす

電磁力の大きさ F＝BIl sinθ

磁束密度 $B\,\mathrm{[T]}$ の一様な磁界の中に、長さ $l\,\mathrm{[m]}$ の導体を置き、電流 $I\,\mathrm{[A]}$ を流します。導体と磁界の向きの間の角を $\theta$ とすると、導体が受ける力は、

$$F = BIl\sin\theta\,\mathrm{[N]}$$

です。磁界と導体が直角（$\theta = 90^\circ$）のとき最大で $F = BIl$、平行（$\theta = 0^\circ$）のときは力が働きません。

電磁力の向き（フレミングの左手）

力の向きは、フレミングの左手の法則で決まります。左手の親指・人差し指・中指を互いに直角に開き、中指を電流、人差し指を磁界の向きに合わせると、親指が力の向きになります。頭文字から、「電・磁・力」（中指・人差し指・親指）と覚えます。

図は、磁界が右向きの中で、電流の向きを逆にすると力も逆になることを示しています。電流が奥向き（⊗）なら力は下向き、手前向き（⊙）なら上向きです。

右手を使うフレミングの右手の法則は、導体を動かして起電力をつくる、発電機の側の法則です。左手と右手の使い分けは、次の記事の電磁誘導とはで整理します。

平行な2本の導体にはたらく力

距離 $r\,\mathrm{[m]}$ だけ離して平行に置いた、2本の長い導体に、電流 $I_1$、$I_2$ を流します。導体1が導体2の位置につくる磁束密度は $B_1 = \mu_0 I_1/(2\pi r)$ で、導体2の長さ $l$ の部分が受ける力は $F = B_1 I_2 l$ です。1 m あたりの力にすると、

$$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\,\mathrm{[N/m]}$$

です。真空中なら $\mu_0/(2\pi) = 2 \times 10^{-7}$ なので、$F/l = 2 \times 10^{-7} I_1 I_2 / r$ とも書けます。

2本の電流が同じ向きなら引き合い（引力）、逆向きなら反発し合います（斥力）。力の大きさは、どちらの導体も同じです。

磁気回路と電磁石

鉄心にコイルを巻いて電流を流すと、磁束は鉄心の中を通ります。鉄は透磁率が大きく、磁束を通しやすいためです。磁束の通り道を磁気回路といい、電気回路とよく似た式で考えられます。

磁束を流す原動力は、コイルの巻数と電流の積で、起磁力といいます。単位は A です。磁束の通りにくさを表すのが磁気抵抗で、長さ $l\,\mathrm{[m]}$、断面積 $S\,\mathrm{[m^2]}$、透磁率 $\mu\,\mathrm{[H/m]}$ の鉄心では、

$$\begin{aligned} R_m &= \frac{l}{\mu S}\,\mathrm{[A/Wb]} \\ \Phi &= \frac{NI}{R_m}\,\mathrm{[Wb]} \end{aligned}$$

です。電気回路の $I = E/R$ と、$R = \rho l / S$ の形に、そっくり対応します。

電気回路	磁気回路
起電力 $E\,\mathrm{[V]}$	起磁力 $NI\,\mathrm{[A]}$
電流 $I\,\mathrm{[A]}$	磁束 $\Phi\,\mathrm{[Wb]}$
抵抗 $R\,\mathrm{[\Omega]}$	磁気抵抗 $R_m\,\mathrm{[A/Wb]}$
$I = E/R$	$\Phi = NI/R_m$

電気回路のオームの法則は、直列回路とオームの法則で確かめられます。

磁気抵抗が小さいほど、同じ起磁力で磁束が多く流れます。鉄心を入れると $\mu$ が大きくなって $R_m$ が小さくなるので、同じ $NI$ でも磁束が数百倍以上に増えます。ただし、磁束密度が大きくなると鉄心の透磁率が下がる磁気飽和が起き、$\Phi = NI/R_m$ は成り立たなくなります。この式を使うのは、飽和より下の範囲です。

鉄心にコイルを巻いて、電流で磁力を出し入れできるようにしたものが電磁石です。電流を流すと鉄を引きつけ、切ると磁力が消えます。クレーンの先に付けて、鉄くずを持ち上げるのに使われます。

1電磁石2鉄くず3クレーンのアーム

1. 電磁石　コイルに電流を流す
2. 鉄くず　磁力で吸いつく
3. クレーンのアーム　電磁石を吊る

電磁石の極は、右手を使って決められます。コイルに電流が流れる向きに右手の4本指を合わせて握ると、親指の向きが N 極です。電流を逆にすると、N 極と S 極は入れ替わります。

磁界の例題（磁界の強さ・電磁力・磁気回路）

計算に入る前に、問われ方と使う式を表にまとめます。

問われること	使う式	注意
直線電流の磁界	$H = I/(2\pi r)$	$r$ は m にそろえる
円形コイルの中心	$H = NI/(2r)$	巻数 $N$ を掛ける
電磁力	$F = BIl\sin\theta$	$\theta$ は導体と磁界の角
平行な導体の力	$F/l = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi r)$	向きが同じなら引力
磁気回路	$\Phi = NI/R_m$	$S$ は m² にそろえる

以下、$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{[H/m]}$ とします。

直線電流の磁界

解答と解説を見る

$r = 0.1\,\mathrm{[m]}$ です。

$$\begin{aligned} H &= \frac{I}{2\pi r} \\ &= \frac{20}{2\pi \times 0.1} \\ &= \frac{100}{\pi} \approx 31.8\,\mathrm{[A/m]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} B &= \mu_0 H \\ &= 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{100}{\pi} \\ &= 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{[T]} \end{aligned}$$

距離が2倍の $20\,\mathrm{[cm]}$ では、$H$ も $B$ も $1/2$ です。

$$\begin{aligned} H &\approx 15.9\,\mathrm{[A/m]} \\ B &= 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{[T]} \end{aligned}$$

円形コイルの中心の磁界

解答と解説を見る

(1) $r = 0.1\,\mathrm{[m]}$ です。

$$\begin{aligned} H &= \frac{NI}{2r} \\ &= \frac{20 \times 5}{2 \times 0.1} \\ &= 500\,\mathrm{[A/m]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} B &= \mu_0 H \\ &= 4\pi \times 10^{-7} \times 500 \\ &= 2\pi \times 10^{-4} \\ &\approx 6.28 \times 10^{-4}\,\mathrm{[T]} \end{aligned}$$

(2) 半径が $1/2$ なので、$H$ は2倍です。

$$H = 1000\,\mathrm{[A/m]}$$

磁界の中の導体が受ける力

解答と解説を見る

(1) $\theta = 90^\circ$ で、$\sin\theta = 1$ です。

$$\begin{aligned} F &= BIl \\ &= 0.4 \times 8 \times 0.25 \\ &= 0.8\,\mathrm{[N]} \end{aligned}$$

(2) $\sin 30^\circ = 0.5$ です。

$$\begin{aligned} F &= BIl\sin 30^\circ \\ &= 0.8 \times 0.5 \\ &= 0.4\,\mathrm{[N]} \end{aligned}$$

(3) 人差し指を右（磁界）、中指を奥（電流）に向けると、親指は下を向きます。力は下向きです。

平行な2本の導体の力

解答と解説を見る

$$\begin{aligned} \frac{F}{l} &= \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \times 100 \times 50}{0.2} \\ &= 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{[N/m]} \end{aligned}$$

電流の向きが同じなので、力は引力です。逆向きなら、同じ大きさの斥力になります。

環状鉄心の磁界と磁気抵抗

解答と解説を見る

$S = 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{[m^2]}$、$\mu = 500\mu_0$ です。

$$\begin{aligned} H &= \frac{NI}{l} \\ &= \frac{500 \times 0.5}{0.5} \\ &= 500\,\mathrm{[A/m]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} B &= \mu_0 \times 500 \times H \\ &= 4\pi \times 10^{-7} \times 500 \times 500 \\ &\approx 0.314\,\mathrm{[T]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} \Phi &= BS \\ &= 0.314 \times 4 \times 10^{-4} \\ &\approx 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{[Wb]} \end{aligned}$$

磁気抵抗を求めます。$\mu = 500\mu_0 = 2\pi \times 10^{-4}\,\mathrm{[H/m]}$ なので、$\mu S = 8\pi \times 10^{-8}$ です。

$$\begin{aligned} R_m &= \frac{l}{\mu S} \\ &= \frac{0.5}{8\pi \times 10^{-8}} \\ &\approx 1.99 \times 10^{6}\,\mathrm{[A/Wb]} \end{aligned}$$

確かめると、$\Phi = NI/R_m = 250 / (1.99 \times 10^6) \approx 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{[Wb]}$ で、$BS$ と一致します。

よくある質問

磁界の強さ H と磁束密度 B は何が違う？

$H$ は電流とコイルの形で決まる量で、鉄心があるかどうかによりません。$B$ は、その磁界の中での磁力線の密度で、$B = \mu H$ です。同じ $H$ でも、鉄心に入れると $\mu$ が大きくなるので、$B$ は数百倍以上になります。

右ねじの法則とフレミングの左手は、どう使い分ける？

右ねじの法則は、電流から磁界の向きを知るときに使います。フレミングの左手は、磁界の中にある電流が受ける力の向きを知るときに使います。「電流が磁界をつくる」のが右ねじ、「電流と磁界が力をつくる」のが左手、と分けて覚えます。

ソレノイドの外側の磁界は、どうなっている？

十分に長いソレノイドでは、内部の磁界が $nI$ で一様なのに対し、外側の磁界は内部よりずっと弱く、無限に長ければ 0 とみなせます。環状ソレノイドでは、磁界は環の内部だけにでき、外へ漏れません。

同じ向きの電流の導体が引き合うのは、なぜ？

導体1の電流が、導体2の位置に磁界をつくります。その磁界の中の導体2の電流に、フレミングの左手で力の向きを決めると、導体1に向かう向きになります。同じことが導体1にも起きるので、互いに引き合います。逆向きの電流では、力の向きも逆になって反発します。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

磁界の強さ $H$、磁束密度 $B$、磁束 $\Phi$ の関係は？

$B = \mu H$、$\Phi = BS$ です。真空の透磁率は $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{[H/m]}$ です。

直線電流がつくる磁界の強さは？

$H = I/(2\pi r)$ です。電流に比例し、距離に反比例します。

円形コイルの中心と、ソレノイドの内部の磁界の強さは？

円形コイルの中心は $H = NI/(2r)$、ソレノイドの内部は $H = nI = NI/l$ です。

磁界の中の導体が受ける力の大きさと向きは？

$F = BIl\sin\theta$ です。向きはフレミングの左手で、中指が電流、人差し指が磁界、親指が力です。

平行な2本の導体の力は、どう決まりますか。

1 m あたり $\mu_0 I_1 I_2/(2\pi r)$ です。同じ向きの電流は引き合い、逆向きは反発します。

磁気回路の磁束は、どう求めますか。

$\Phi = NI/R_m$ です。磁気抵抗は $R_m = l/(\mu S)$ で、電気回路の $I = E/R$ に対応します。

まとめ

• 磁界の強さ $H\,\mathrm{[A/m]}$ は電流がつくる量で、磁束密度は $B = \mu H$、磁束は $\Phi = BS$。電流がつくる磁界の向きは右ねじの法則で決まる
• 磁界の強さは、直線電流が $H = I/(2\pi r)$、円形コイルの中心が $H = NI/(2r)$、ソレノイドの内部が $H = nI$
• 磁界の中の電流は、$F = BIl\sin\theta$ の力を受ける。向きはフレミングの左手。平行な2本の導体は、同じ向きなら引き合い、逆向きなら反発する
• 磁気回路は、$\Phi = NI/R_m$、$R_m = l/(\mu S)$ で、電気回路の $I = E/R$ と同じ形。電磁石は、鉄心にコイルを巻いて磁力を出し入れする

磁界が時間とともに変わると起電力が生じます。次は電磁誘導とはへ、発電機の起電力は直流発電機の誘導起電力へ進みましょう。