光の量と単位｜立体角の求め方と輝度・光束発散度の計算を図解

照度計算では、光束・光度・照度・輝度の4つの量を区別しました。この記事では、その土台にある「光の量をどう数えるか」を整理します。同じ $10\ \mathrm{W}$ の光でも、目に明るく見える量は色で違うので、光の量は目の感じ方を通して数えます。そのうえで、立体角の求め方、配光曲線、光束発散度と輝度の関係、反射率・透過率を使った球形グローブの計算まで、4つの例題で手を動かして確かめます。

• 光の量（光束）とは
  • 放射束 $\mathrm{[W]}$ に比視感度をかけた量。$555\ \mathrm{nm}$ で最大の $683\ \mathrm{lm/W}$
• 立体角
  • $\omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$。光度が一様なら $F = I\omega$
• 配光曲線
  • 光度を方向ごとに、極座標で描いた曲線
• 光束発散度と輝度
  • 均等拡散面で $M = \pi L$
• 反射率・透過率
  • $\rho + \tau + \alpha = 1$。照らされた面の光束発散度は $M = \rho E$
• 球形グローブ
  • 出る光束 $\tau F$ を表面積で割って $M$、さらに $\pi$ で割って $L$

光の量（光束）とは？比視感度と 683 lm/W

光は電磁波の一種で、目に見える範囲（可視光）の波長は、おおよそ $380\ \mathrm{nm}$ から $780\ \mathrm{nm}$ です。同じエネルギー（放射束 $\mathrm{[W]}$）の光でも、目に明るく感じるかどうかは波長で変わります。黄緑の光は明るく感じ、青や赤の光は同じ放射束でも暗く感じます。この目の感じ方の違いを数にしたものが、比視感度 $V(\lambda)$ です。明るい所で感度が最大になる $555\ \mathrm{nm}$ を $1$ として、ほかの波長を $0$ から $1$ で表します。

光束 $F\ \mathrm{[lm]}$ は、放射束に比視感度をかけて数えた「目に感じる光の量」です。波長 $\lambda$ の単色光で放射束が $\Phi\ \mathrm{[W]}$ のとき、光束は次の式で求まります。

$$F = 683 \times V(\lambda) \times \Phi\ \mathrm{[lm]}$$

$683\ \mathrm{lm/W}$ は、$555\ \mathrm{nm}$ の光 $1\ \mathrm{W}$ が $683\ \mathrm{lm}$ に当たるという、換算の最大値です。比視感度が小さい波長では、同じ $1\ \mathrm{W}$ でも光束は小さくなります。

図1は、CIE（国際照明委員会）の標準の値を $5\ \mathrm{nm}$ ごとにつないだ概形で、曲線の形を示すためのものです。どちらの曲線も、最大を $1$ にそろえてあります。明るい所（明所視）では $555\ \mathrm{nm}$ で最大になり、暗い所（暗所視）では $507\ \mathrm{nm}$ 付近へ、短い波長の側にずれます。暗くなると青っぽい光が相対的に明るく見える現象は、プルキンエ現象とよばれます。

放射束 $10\ \mathrm{W}$ の単色光で、$F = 683 \times V \times 10$ を計算すると、次の表のとおりです。

波長	比視感度	光束
450 nm（青）	0.038	約 260 lm
555 nm（黄緑）	1.0	6830 lm
650 nm（赤）	0.107	約 731 lm

同じ $10\ \mathrm{W}$ でも、青と黄緑の光束には約 26 倍の差があります。光束が「W」ではなく「lm」という別の単位をもつのは、このためです。

1白い光2プリズム3色の帯

1. 白い光　いろいろな波長の光が混ざっている
2. プリズム　波長で曲がり方が違う
3. 色の帯　赤から青紫へ、波長の順に並ぶ

白い光には、いろいろな波長の光が混ざっています。プリズムを通すと、波長ごとに曲がり方が違うので、色の帯に分かれます（図2）。人の目は、この帯のうち黄緑付近をいちばん明るく感じます。

立体角とは？円すいの立体角の求め方

立体角 $\omega\ \mathrm{[sr]}$（ステラジアン）は、点から見た広がりの大きさです。点を中心とする半径 $r$ の球を考え、広がりが球面から切り取る面積を $S$ とすると、$\omega = S/r^2$ です。球全体は $4\pi\ \mathrm{sr}$、半球は $2\pi\ \mathrm{sr}$ になります。定義と $1\ \mathrm{sr}$ の考え方は、照度計算の記事でも確認できます。

円すいの立体角の求め方

光源を頂点とし、半頂角が $\theta$ の円すいの立体角を求めます。円すいが球面から切り取る部分の面積を $S$ とすると、立体角は $\omega = S/r^2$ で、次の式になります（図3）。

$$\omega = 2\pi(1 - \cos\theta)\ \mathrm{[sr]}$$

$\theta = 90^\circ$ なら $\cos\theta = 0$ で $\omega = 2\pi$（半球）、$\theta = 180^\circ$ なら $\cos\theta = -1$ で $\omega = 4\pi$（球全体）になり、定義と合います。主な半頂角の値は次の表のとおりです。

半頂角	立体角	球全体の何%
30°	約 0.84 sr	約 6.7%
60°	約 3.14 sr	25%
90°	約 6.28 sr	50%
180°	約 12.6 sr	100%

$60^\circ$ のとき、$\omega = 2\pi(1 - 0.5) = \pi$ となり、ちょうど $\pi\ \mathrm{sr}$ です。

立体角から光束を求める

光度 $I\ \mathrm{[cd]}$ は、$1\ \mathrm{sr}$ あたりの光束です。円すいの中で光度が一様なら、その中の光束は光度に立体角をかけて求めます。

$$F = I\omega\ \mathrm{[lm]}$$

全方向に一様なら $\omega = 4\pi$ で、$F = 4\pi I$ です。図4のように、街灯の光は下向きの円すいに集まります。この光の円すいの中の光束は、$F = I\omega$ で数えられます。

1ランプ2光の円すい3路面

1. ランプ　円すいの頂点。光源の位置
2. 光の円すい　霧で光の通り道が見える
3. 路面　円すいが路面を切り取る部分

解答と解説を見る

立体角は、

$$\begin{aligned} \omega &= 2\pi(1 - \cos 60^\circ) \\ &= 2\pi(1 - 0.5) \\ &= \pi \approx 3.14\ \mathrm{[sr]} \end{aligned}$$

光束は $F = I\omega$ なので、

$$F = 100 \times 3.14 = 314\ \mathrm{[lm]}$$

全方向に一様なら $4\pi \times 100 = 1256\ \mathrm{lm}$ で、その $1/4$ です。立体角が球全体の $25\%$ なので、光束も $25\%$ になります。

答え：$314\ \mathrm{lm}$

配光曲線とは？光度の向きによる違い

配光曲線は、光源の光度を方向ごとに測り、中心からの距離を光度として描いた曲線です。光源がどの向きへ、どれだけの光を出すかが一目で分かります。図5のように、方向は真下を $0^\circ$ として測ります。

左の円は、どの向きにも光度が同じ光源（全方向に一様）です。光度は図の半径で決まり、全光束は $F = 4\pi I$ です。右の曲線は、下向きが強く、横向き（$90^\circ$）ではゼロになる配光です。方向 $\theta$ での光度が $I = I_0\cos\theta$ のとき、曲線は真下の光度 $I_0$ を直径とする円になります。

配光曲線から全光束を求めるときは、方向ごとの光度に、その方向の細い立体角をかけて足し合わせます。均等拡散面はこの右の形になり、次の節の $M = \pi L$ の導き方に使います。

光束発散度と輝度の関係（M = πL）

光束発散度 $M\ \mathrm{[lm/m^2]}$ は、面から出る光束を、その面の面積で割った量です。面が自分で光っていても、光を反射していても、透過させていても、面から出ていく光束の密度が光束発散度です。照度と単位は同じ $\mathrm{lm/m^2}$ ですが、照度は面に入る光、光束発散度は面から出る光です。

量	光束の動き	単位
照度 $E$	面に入る	$\mathrm{lm/m^2}$
光束発散度 $M$	面から出る	$\mathrm{lm/m^2}$
輝度 $L$	向きごとの明るさ	$\mathrm{cd/m^2}$

輝度は、ある向きから見た明るさです。どの向きから見ても輝度が同じ面を均等拡散面（完全拡散面）といい、乳白ガラスや白い紙などが近い性質をもちます。この面では、光束発散度と輝度の間に次の関係があります。

$$M = \pi L$$

考え方は次のとおりです。面積 $A$ の均等拡散面の、法線方向の光度を $I_0$ とします。輝度が $L$ なので、$I_0 = LA$ です。法線から $\theta$ ずれた向きから見ると、面の見かけの面積は $A\cos\theta$ に減るので、光度は $I = LA\cos\theta$ になります（図5の右の形です）。半球の全方向について光度を足し合わせると、全光束は $F = \pi LA$ になります。

面積で割ると、$M = F/A = \pi L$ です。逆に、輝度は $L = M/\pi$ で求めます。$\mathrm{lm/m^2}$ を $\pi$ で割ると、$1\ \mathrm{sr}$ あたりの量になり、単位が $\mathrm{cd/m^2}$ に変わります。

反射率・透過率と光束発散度

面に光が入ると、一部は反射し、一部は透過し、残りは吸収されて熱になります。入射した光束に対する割合を、反射率 $\rho$、透過率 $\tau$、吸収率 $\alpha$ といいます。3つを足すと $1$ になります（図6）。

$$\rho + \tau + \alpha = 1$$

照度 $E\ \mathrm{[lx]}$ で照らされた均等拡散面を考えます。面の $1\ \mathrm{m^2}$ に入る光束は $E\ \mathrm{lm}$ です。そのうち反射して出る光束の割合が $\rho$ なので、光束発散度は次のようになります。

$$M = \rho E$$

輝度は、これを $\pi$ で割った $L = \rho E/\pi$ です。照度計算の記事にある輝度の式は、この $M = \rho E$ と $L = M/\pi$ を組み合わせたものです。薄い布のように光を通す面では、透過して反対側へ出る光束密度が $M = \tau E$ になります。

解答と解説を見る

反射して出る光束の密度が光束発散度なので、

$$M = \rho E = 0.6 \times 300 = 180\ \mathrm{[lm/m^2]}$$

均等拡散面なので、$L = M/\pi$ です。

$$L = \frac{180}{3.14} \approx 57.3\ \mathrm{[cd/m^2]}$$

$\mathrm{lx}$ と $\mathrm{lm/m^2}$ は同じ単位ですが、$\mathrm{cd/m^2}$ には $\pi$ で割る手順が入ります。

答え：$M = 180\ \mathrm{lm/m^2}$、$L \approx 57.3\ \mathrm{cd/m^2}$

球形グローブの光束発散度と輝度の求め方

乳白ガラスの球形グローブの中に、光源が入っている場合を考えます。光源が出す全光束を $F\ \mathrm{[lm]}$、グローブの透過率を $\tau$、半径を $r\ \mathrm{[m]}$ とします。グローブの外へ出る光束は $\tau F$ です。この光束がグローブの表面全体から出るので、表面積 $S = 4\pi r^2$ で割ると光束発散度 $M$ が、さらに $\pi$ で割ると輝度 $L$ が求まります（図8）。

$$\begin{gathered} M = \frac{\tau F}{4\pi r^2} \\ L = \frac{M}{\pi} \end{gathered}$$

乳白ガラスは光をよく拡散するので、どの向きから見ても輝度が同じ均等拡散面とみなせます。外へ出る光束 $\tau F$ は、遠くから見ると全方向に一様に出ているので、光度は $I = \tau F/(4\pi)$ です。

1光源2グローブ3台座

1. 光源　球の中心にある電球の影。全光束 F を出す
2. グローブ　乳白ガラス。光を通し、拡散する
3. 台座　球を支える。光はほとんど出さない

内部で光が反射して光源に戻る分や、台座に隠れる分は、問題の条件に従って無視します。問題文に書かれた条件を、先に確かめましょう。

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半径は $r = 0.15\ \mathrm{m}$ です。表面積と外へ出る光束は、

$$\begin{aligned} S &= 4\pi r^2 \\ &= 4 \times 3.14 \times 0.15^2 \\ &= 0.2826\ \mathrm{[m^2]} \\ \tau F &= 0.80 \times 1000 \\ &= 800\ \mathrm{[lm]} \end{aligned}$$

光束発散度は、

$$M = \frac{800}{0.2826} \approx 2831\ \mathrm{[lm/m^2]}$$

輝度は $L = M/\pi$ なので、

$$L = \frac{2831}{3.14} \approx 902\ \mathrm{[cd/m^2]}$$

光度は、

$$I = \frac{\tau F}{4\pi} = \frac{800}{4 \times 3.14} \approx 63.7\ \mathrm{[cd]}$$

確認として、見かけの面積 $\pi r^2$ を使うと、$I = L \pi r^2 = 902 \times 3.14 \times 0.15^2 \approx 63.7\ \mathrm{cd}$ で一致します。

答え：$M \approx 2831\ \mathrm{lm/m^2}$、$L \approx 902\ \mathrm{cd/m^2}$、$I \approx 63.7\ \mathrm{cd}$

正誤問題で確かめる

解答と解説を見る

(ア) は正しい記述です。$\omega = S/r^2$ で、球全体の表面積 $4\pi r^2$ から $4\pi$ になります。

(イ) は誤りです。暗い所では、最大の波長が $555\ \mathrm{nm}$ から $507\ \mathrm{nm}$ 付近の、短い波長の側へずれます。

(ウ) は正しい記述です。均等拡散面で成り立つ関係です。

(エ) は誤りです。光束発散度は面から出る光束の密度で、単位は $\mathrm{lm/m^2}$ です。$\mathrm{cd/m^2}$ は輝度の単位です。

(オ) は正しい記述です。入った光は、反射・透過・吸収のどれかになります。

答え：(イ)、(エ)

よくある質問

光束発散度と照度は、何が違いますか。

どちらも単位は $\mathrm{lm/m^2}$ です。照度 $E$ は面に入ってくる光束の密度、光束発散度 $M$ は面から出ていく光束の密度です。反射だけの面なら $M = \rho E$ の関係があります。

光束発散度と輝度は、どう換算しますか。

どの向きから見ても輝度が同じ均等拡散面では、$M = \pi L$ です。輝度を求めるなら $L = M/\pi$ と、$\pi$ で割ります。光源が点ではなく広がりのある面のときに使います。

立体角の単位 sr は、何を表しますか。

球の中心から見た広がりの大きさで、球面上の面積を半径の2乗で割った値です。単位は「ステラジアン」で、球全体は $4\pi\ \mathrm{sr}$ です。光度 $\mathrm{cd}$ は、$1\ \mathrm{sr}$ あたりの光束 $\mathrm{lm}$ なので、$\mathrm{cd} = \mathrm{lm/sr}$ です。

比視感度の最大が、暗い所でずれるのはなぜですか。

目の中で、明るい所では錐体という細胞が、暗い所では主に桿体という細胞がはたらくためです。暗い所では、感度が最大になる波長が $507\ \mathrm{nm}$ 付近の短い側へずれます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

光束は、放射束に何をかけた量ですか？

比視感度 $V(\lambda)$ をかけます。$555\ \mathrm{nm}$ の光 $1\ \mathrm{W}$ は $683\ \mathrm{lm}$ です。

半頂角 $\theta$ の円すいの立体角は？

$\omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$ です。$\theta = 90^\circ$ なら半球の $2\pi\ \mathrm{sr}$ です。

光度 $I$ が一様な円すいの中の光束は？

$F = I\omega$ です。立体角をかけます。

均等拡散面の光束発散度 $M$ と輝度 $L$ の関係は？

$M = \pi L$ です。輝度は $L = M/\pi$ です。

反射率 $\rho$、透過率 $\tau$、吸収率 $\alpha$ の関係と、照度 $E$ で照らされた面の $M$ は？

$\rho + \tau + \alpha = 1$ で、反射する面は $M = \rho E$ です。

球形グローブの輝度は、どの順で求めますか？

出る光束 $\tau F$ を表面積 $4\pi r^2$ で割って $M$、さらに $\pi$ で割って $L$ にします。

まとめ

• 光束 $\mathrm{[lm]}$ は、放射束に比視感度をかけた量。$555\ \mathrm{nm}$ で最大の $683\ \mathrm{lm/W}$
• 円すいの立体角は $\omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$。光度が一様なら $F = I\omega$
• 配光曲線は、光度を方向ごとに極座標で描いたもの
• 均等拡散面で $M = \pi L$。反射する面は $M = \rho E$、透過する面は $M = \tau E$
• 球形グローブは、$\tau F$ を $4\pi r^2$ で割って $M$、$\pi$ で割って $L$

次は、光が生まれるしくみを扱う光源の種類と、照度を使って灯数を決める照度計算に進みましょう。