照度計算の求め方｜光束・光度・照度の違いと逆2乗の法則・光束法を図解

照度計算は、光源の明るさから、ある場所がどれだけ明るいかを求める計算です。電験三種の機械では、照度が距離の2乗に反比例すること、光が斜めに当たると $\cos\theta$ 倍になること、部屋全体は光束法で求めることが、計算の柱になります。この記事では、光束・光度・照度・輝度の違いから順に整理し、4つの例題で計算まで確認します。

• 照度計算とは
  • 光束・光度・照度・輝度が、何を何で割った量か
• 逆2乗の法則
  • $E = I/r^2$。距離が2倍なら照度は $1/4$
• 入射角の余弦法則
  • 水平面照度は $\cos\theta$ 倍、鉛直面照度は $\sin\theta$ 倍
• 光束法
  • $N = EA/(FUM)$ で灯数を求める
• 照度計算の例題
  • 4 問で、式の使い分けを確かめる

照度計算とは？光束・光度・照度・輝度の違い

照度計算とは、光源が出す光の量（光束・光度）から、照らされる面の明るさ（照度）を求める計算です。出てくる量が4つあり、名前も単位も似ているので、最初に区別しておきます。図1のように、4つは「光源が出す量」「面が受ける量」「見たときの明るさ」に分かれます。

量	単位	意味
光束 $F$	$\mathrm{lm}$（ルーメン）	光源が出す光の総量
光度 $I$	$\mathrm{cd}$（カンデラ）	ある方向への光の強さ
照度 $E$	$\mathrm{lx}$（ルクス）	面が受ける光束を面積で割った量
輝度 $L$	$\mathrm{cd/m^2}$	光る面を、ある方向から見た明るさ

照度の単位は $\mathrm{lx} = \mathrm{lm/m^2}$ です。$1\ \mathrm{m^2}$ の面に $1\ \mathrm{lm}$ の光束が入れば、照度は $1\ \mathrm{lx}$ になります。照度は照度計で測れます（図2）。

1手2本体3受光部4机の面

1. 手　測りたい場所に受光部を向けて持つ
2. 本体　受光部の信号を、照度の値にして表示する
3. 受光部　白い半球。ここに入った光で照度が決まる
4. 机の面　机の上の照度（水平面照度）を測る場所

立体角と光度

光束は全方向の合計なので、方向ごとの強さは光度で表します。光度は、光束を立体角で割った量です。立体角 $\omega\ \mathrm{[sr]}$（ステラジアン）は、球の中心から見た広がりの大きさで、半径 $r$ の球面上の面積を $S$ として $\omega = S/r^2$ と決めます。球全体は $4\pi\ \mathrm{[sr]}$ です。

$$\begin{gathered} I = \frac{F}{\omega} \\ F = 4\pi I \end{gathered}$$

2行目は、全方向に同じ光度の点光源のときだけ成り立ちます。光度が $100\ \mathrm{cd}$ なら、光束は $4\pi \times 100 \approx 1257\ \mathrm{lm}$ です（図3）。

輝度

輝度は、光る面を見たときの明るさです。光度を、見る方向から見た面の面積で割った量で、単位は $\mathrm{cd/m^2}$ です。どの方向から見ても輝度が同じ面を完全拡散面といい、反射率 $\rho$ の面が照度 $E$ で照らされているときの輝度は次の式になります。

$$L = \frac{\rho E}{\pi}\ \mathrm{[cd/m^2]}$$

たとえば $E = 500\ \mathrm{lx}$、$\rho = 0.8$ の面なら、$L = 0.8 \times 500 / \pi \approx 127\ \mathrm{cd/m^2}$ です。

逆2乗の法則：距離が2倍で照度は4分の1

光度 $I\ \mathrm{[cd]}$ の点光源から、距離 $r\ \mathrm{[m]}$ の位置にある面を、光に垂直な向きで照らす場合を考えます。立体角 $\omega$ の範囲に出る光束は $F = I\omega$ で、これが当たる球面の面積は $S = \omega r^2$ です。照度は光束を面積で割った値なので、$\omega$ が消えます。

$$\begin{aligned} E &= \frac{F}{S} = \frac{I\omega}{\omega r^2} \\ &= \frac{I}{r^2}\ \mathrm{[lx]} \end{aligned}$$

距離が2倍になると、同じ光束が4倍の面積に広がるので、照度は $1/4$ になります。3倍なら $1/9$ です（図4）。このように、照度が光源からの距離の2乗に反比例する関係を、逆2乗の法則といいます。

屋外の街灯でも、同じことが起きています。ランプの真下の路面は明るく、離れるほど暗くなります（図5）。

1街灯のランプ2遠くの街灯3明るい路面4暗い塀

1. 街灯のランプ　ここから光が広がる
2. 遠くの街灯　離れた灯ほど、手前の路面への寄与は小さい
3. 明るい路面　灯に近く、照度が高い
4. 暗い塀　灯から遠く、光が届きにくい

距離の2乗に反比例する関係は、電気の世界にもあります。点電荷のまわりに電気力線が球面状に広がるので、クーロンの法則も距離の2乗に反比例します。

入射角の余弦法則：斜めに当たる光の照度

前の節の $I/r^2$ は、光に垂直な面の照度で、法線照度 $E_n$ といいます。机の上のような水平面や、壁のような鉛直面には、光が斜めに当たります。斜めに当たると、同じ光束が広い面積に広がるので、照度は下がります。

面の法線と光線のなす角を入射角 $\theta$ とすると、面の照度は法線照度の $\cos\theta$ 倍です。これを入射角の余弦法則といいます。図6のように、光源の高さを $h$、真下から点Pまでの水平距離を $d$、光源から点Pまでの距離を $r$ とします。

水平面の法線は鉛直方向なので、入射角は光線と鉛直線のなす角 $\theta$ です。鉛直面（壁）の法線は水平方向なので、入射角は $90^\circ - \theta$ になり、$\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ です。$\cos\theta = h/r$、$\sin\theta = d/r$ を使うと、

$$\begin{gathered} E_h = \frac{I}{r^2}\cos\theta = \frac{Ih}{r^3} \\ E_v = \frac{I}{r^2}\sin\theta = \frac{Id}{r^3} \end{gathered}$$

となります。$I$ は、光源から点Pへ向かう向きの光度です。壁の面は、光源の側を向いているものとします。

光源が複数あるときは、灯ごとに照度を求めて足します。照度は向きを持たない量なので、単純な足し算でかまいません（図7）。

光束法：部屋全体の明るさと灯数を求める

光束法は、部屋全体の平均照度を、灯数から求める方法です。ランプが出す光束のすべてが作業面に届くわけではなく、届いた光も、ランプや器具の汚れで時間とともに減ります。この2つの割合を掛けて、作業面の面積で割ります（図8）。

$$\begin{gathered} E = \frac{FNUM}{A}\ \mathrm{[lx]} \\ N = \frac{EA}{FUM} \end{gathered}$$

• $F$：ランプ1灯の光束 $\mathrm{[lm]}$
• $N$：灯数
• $U$：照明率。ランプの光束のうち、作業面に届く割合
• $M$：保守率。汚れや経年で減った後に残る割合
• $A$：作業面の面積 $\mathrm{[m^2]}$

照明率は、器具の種類、天井・壁・床の反射率、部屋の形で決まります。部屋の形は室指数 $K$ で表します。

$$K = \frac{XY}{H(X+Y)}$$

$X$、$Y$ は部屋の幅と奥行き、$H$ は作業面から光源までの高さです。たとえば $X = 12\ \mathrm{m}$、$Y = 8\ \mathrm{m}$、$H = 2.0\ \mathrm{m}$ なら、$K = 96 / (2.0 \times 20) = 2.4$ です。広くて天井が低い部屋ほど室指数は大きく、照明率も大きくなります。試験では、照明率や保守率は問題文で与えられます。

1照明器具2屋根の梁3壁4床

1. 照明器具　灯数を増やすと、部屋全体の光束が増える
2. 屋根の梁　器具を取り付ける高さ。光源までの高さが大きいと、室指数は小さい
3. 壁　反射率が高いほど、照明率は大きくなる
4. 床　照度を決めたい作業面。この面積で割る

ランプの発光効率

ランプの性能は、消費電力 $1\ \mathrm{W}$ あたりの光束で表す発光効率 $\mathrm{[lm/W]}$ で比べます。目安は次のとおりです。

ランプ	発光効率の目安	ひとこと
白熱電球	約10〜20 $\mathrm{lm/W}$	電力の大半が熱になる
蛍光ランプ	約40〜110 $\mathrm{lm/W}$	安定器が必要
高圧ナトリウムランプ	約110〜130 $\mathrm{lm/W}$	橙色の光で屋外・トンネル向き
LED	約30〜170 $\mathrm{lm/W}$	機種で大きく違う

数値は出典や条件で幅があり、ランプ単体の値で、安定器や点灯回路の損失は含みません。

1カバー2放熱フィン3口金

1. カバー　光を拡散して、広い範囲に広げる
2. 放熱フィン　LED の熱を空気へ逃がす
3. 口金　ソケットにねじ込み、電気を受ける

照度計算の例題

式の使い分けは、次の表のとおりです。

状況	使う式	ひっかけ
距離だけが変わる	$E = I/r^2$	距離2倍で $1/2$ にしない
水平面の照度	$E_h = (I/r^2)\cos\theta$	$\theta$ は鉛直線から測る
壁など鉛直面の照度	$E_v = (I/r^2)\sin\theta$	$\cos$ と $\sin$ の取り違え
灯数を決める	$N = EA/(FUM)$	切り上げと、$M$ の掛け忘れ

解答と解説を見る

真下の点では、入射角が $0^\circ$ で $\cos\theta = 1$ なので、逆2乗の法則がそのまま使えます。

$$\begin{gathered} E_1 = \frac{1200}{3.0^2} \approx 133\ \mathrm{[lx]} \\ E_2 = \frac{1200}{6.0^2} \approx 33.3\ \mathrm{[lx]} \end{gathered}$$

$E_2 / E_1 = 1/4$ です。高さが2倍になると、照度は $1/4$ 倍になります。

答え：$E_1 \approx 133\ \mathrm{lx}$、$E_2$ は $E_1$ の $1/4$ 倍

解答と解説を見る

光源から点Pまでの距離は、

$$r = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\ \mathrm{[m]}$$

なので、$\cos\theta = 3.0/5.0 = 0.6$、$\sin\theta = 4.0/5.0 = 0.8$ です。

$$\begin{gathered} E_n = \frac{1200}{5.0^2} = 48\ \mathrm{[lx]} \\ E_h = 48 \times 0.6 = 28.8\ \mathrm{[lx]} \\ E_v = 48 \times 0.8 = 38.4\ \mathrm{[lx]} \end{gathered}$$

確認として、$E_h = Ih/r^3 = 1200 \times 3.0 / 5.0^3 = 28.8\ \mathrm{lx}$ になります。

答え：$E_n = 48\ \mathrm{lx}$、$E_h = 28.8\ \mathrm{lx}$、$E_v = 38.4\ \mathrm{lx}$

解答と解説を見る

中間点から各光源の真下までは $4.0\ \mathrm{m}$ で、例題2の点Pと同じ位置関係です。1灯あたりの水平面照度は $28.8\ \mathrm{lx}$ です。2灯分を足します。

$$E_h = 28.8 \times 2 = 57.6\ \mathrm{[lx]}$$

答え：$57.6\ \mathrm{lx}$

解答と解説を見る

作業面の面積は $A = 12 \times 8 = 96\ \mathrm{m^2}$ です。光束法の式で灯数を求めます。

$$\begin{aligned} N &= \frac{EA}{FUM} \\ &= \frac{500 \times 96}{4000 \times 0.6 \times 0.7} \\ &= \frac{48000}{1680} \approx 28.6 \end{aligned}$$

灯数は整数で、切り捨てると照度が足りなくなるので、切り上げて $29$ 灯です。確認すると、28灯では $490\ \mathrm{lx}$ で不足、29灯では $507.5\ \mathrm{lx}$ で条件を満たします。

答え：29灯

よくある質問

光束・光度・照度の違いは何ですか。

光束は光源が出す光の総量 $\mathrm{[lm]}$、光度はある方向への光の強さ $\mathrm{[cd]}$、照度は面が受ける光束を面積で割った量 $\mathrm{[lx]}$ です。光束と光度は光源の量、照度は照らされる面の量です。全方向に一様な点光源では、$F = 4\pi I$ の関係があります。

逆2乗の法則は、いつでも成り立ちますか。

成り立つのは、光源を点とみなせる場合で、光に垂直な面の照度（法線照度）についてです。光源の大きさに比べて距離が十分大きいときに使います。斜めの面では、さらに $\cos\theta$ や $\sin\theta$ を掛けます。

水平面照度と鉛直面照度は、どう使い分けますか。

机や床のように水平な面の照度が水平面照度で、$E_h = (I/r^2)\cos\theta$ です。壁や黒板のように鉛直な面の照度が鉛直面照度で、$E_v = (I/r^2)\sin\theta$ です。$\theta$ は、光源の真下の鉛直線と光線のなす角で、面の向きによって $\cos$ と $\sin$ が入れ替わります。

保守率とは何ですか。

ランプや器具の汚れ、ランプ自体の光束の低下で、時間がたつと照度が下がります。保守率 $M$ は、そのときに残る割合で、$1$ より小さい値です。保守率の逆数 $1/M$ を、減光補償率といいます。光束法の式に $M$ を掛け忘れると、灯数が足りなくなります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

光束・光度・照度・輝度の単位は何ですか？

光束は $\mathrm{lm}$、光度は $\mathrm{cd}$、照度は $\mathrm{lx}$（$\mathrm{lm/m^2}$）、輝度は $\mathrm{cd/m^2}$ です。

全方向に光度 $I$ の点光源の光束は、いくつですか？

球全体の立体角が $4\pi$ なので、$F = 4\pi I$ です。

光源からの距離が3倍になると、法線照度はどうなりますか？

逆2乗の法則で、$1/9$ になります。

水平面照度と鉛直面照度は、法線照度の何倍ですか？

水平面照度は $\cos\theta$ 倍、鉛直面照度は $\sin\theta$ 倍です。$\theta$ は鉛直線から測ります。

光束法の灯数の式は何ですか？

$N = EA/(FUM)$ です。$U$ は照明率、$M$ は保守率です。

光束法で灯数が小数になったとき、どうしますか？

切り上げます。切り捨てると、必要な照度に足りなくなります。

まとめ

• 光束 $\mathrm{[lm]}$ は光源が出す総量、光度 $\mathrm{[cd]}$ は方向ごとの強さ、照度 $\mathrm{[lx]}$ は面が受ける量
• 点光源の法線照度は $E = I/r^2$ で、距離の2乗に反比例する
• 水平面照度は $E_n \cos\theta$、鉛直面照度は $E_n \sin\theta$。複数の光源は灯ごとに求めて足す
• 光束法は $N = EA/(FUM)$。灯数は切り上げ、$U$ は照明率、$M$ は保守率

次は、熱量と電力量の換算を扱う電熱の計算と、ファラデーの法則を扱う電気分解と電池の計算に進みましょう。