電動機の負荷特性と運転｜安定運転の条件・加速時間の計算と制動の種類を図解

電動機がどの速さで回るかは、電動機だけでは決まりません。負荷のトルクとの綱引きで決まります。この記事では、電動機と負荷のトルクが等しくなる運転点、そこで安定に運転できる条件、運動方程式から求める加速時間の計算、制動の種類（機械ブレーキ・発電制動・回生制動・逆相制動）、4象限運転、はずみ車までをまとめます。

• 運転点
  • 電動機のトルクと負荷のトルクが等しくなる回転速度
• 安定運転の条件
  • 運転点で、電動機の傾き ＜ 負荷の傾き
• 加速時間の計算
  • t ＝ JΔω ÷ Ta。単位をそろえて計算する
• 制動の種類
  • 機械ブレーキ・発電制動・回生制動・逆相制動
• 4象限運転
  • 力行と回生、正転と逆転の組み合わせ
• はずみ車
  • 衝撃的な負荷をならす。蓄えるエネルギーは Jω² ÷ 2

運転点とは｜負荷トルクと電動機トルクの交点

電動機が一定の速さで回っているとき、電動機が出すトルク $T_M$ と、負荷が必要とするトルク $T_L$ は等しくなっています。$T_M = T_L$ となる点が運転点です。横軸を回転速度 $N$、縦軸をトルクにすると、2本の特性曲線の交点になります。

負荷のトルクが回転速度でどう変わるかは、負荷の種類で決まります。

負荷の種類	トルクの変わり方	例
定トルク	一定	巻上機・ベルトコンベア
二乗トルク	N² に比例	ポンプ・送風機
定出力	N に反比例	巻取機

ベルトコンベアは、載せた荷の重さと摩擦で決まるトルクが、速さによらずほぼ一定です（図1）。ポンプや送風機は、羽根車で流体を押し出すので、トルクが回転速度の2乗に比例します（図2）。それぞれの式や出力の求め方は、電動機の所要出力でまとめています。

1電動機2減速機3プーリー

1. 電動機　コンベアを回す
2. 減速機　回転数を落とす
3. プーリー　ベルトを掛けて回す

1送風機2電動機3ポンプ4バルブ

1. 送風機　羽根車で空気を送る
2. 電動機　送風機を回す
3. ポンプ　羽根車で水を送る
4. バルブ　流れを調節する

電動機のトルク特性と負荷のトルク特性を同じ図に重ねると、交点が運転点です（図3）。電動機は誘導電動機の概形、負荷は定トルクと二乗トルクを描いています。どちらも、同期速度 $N_s$ のすぐ手前で交わります。

負荷が重くなると、$T_L$ の線が上がり、交点が左へ動いて、回転速度が下がります。負荷が軽くなれば、交点は右へ動きます。

安定運転の条件｜交点の傾きで決まる

交点は1つとは限りません。負荷が重いと、トルク曲線との交点が2つできることがあります（図4）。どちらの交点でも $T_M = T_L$ ですが、安定に運転できるのは片方だけです。

安定かどうかは、回転速度が少しずれたときに、元へ戻るかどうかで決まります。運転点から回転速度が少し上がったとします。

• $T_M < T_L$ になれば、負荷に押されて減速し、元へ戻ります。これが安定です。
• $T_M > T_L$ のままなら、さらに加速して、運転点から離れていきます。これが不安定です。

回転速度が上がったとき、$T_M - T_L$ が小さくなる（負になる）のが安定です。これを傾きで書くと、運転点で次の式が成り立つことが、安定運転の条件になります。

$$\dfrac{dT_M}{dN} < \dfrac{dT_L}{dN}$$

電動機のトルク曲線の傾きが、負荷のトルク曲線の傾きより小さい（より右下がり）ということです。負荷のトルクが一定なら $dT_L/dN = 0$ なので、条件は $dT_M/dN < 0$、つまり電動機の曲線が右下がりの側で安定になります。図4では、右側の交点がこれに当たります。左側の交点は右上がりなので、少し速くなれば加速が止まらず、少し遅くなれば減速して止まってしまいます。

この図では、始動トルクが $T_L$ より小さいので、止まった状態からは動き出せません。誘導電動機のトルク特性（停動トルクより低速側が不安定になる理由）は、誘導電動機の記事でも扱っています。

解答と解説を見る

$T_M = T_L$ とおきます。

$$\begin{aligned} 150 - 0.1N &= 30 + 0.02N \\[4pt] 120 &= 0.12N \\[4pt] N &= 1000\ \mathrm{[min^{-1}]} \end{aligned}$$

トルクは、$T = 30 + 0.02 \times 1000 = 50$ N·m です（$T_M$ に入れても $150 - 100 = 50$ で一致します）。

傾きは、$dT_M/dN = -0.1$、$dT_L/dN = 0.02$ です。$-0.1 < 0.02$ なので、安定の条件を満たします。

答え：1000 min⁻¹、50 N·m、安定

解答と解説を見る

$T_M = T_L$ とおきます。

$$\begin{aligned} 50 + 0.05N &= 80 \\[4pt] N &= 600\ \mathrm{[min^{-1}]} \end{aligned}$$

傾きは、$dT_M/dN = 0.05$、$dT_L/dN = 0$ です。$0.05 > 0$ なので、安定の条件を満たしません。600 min⁻¹ より少し速くなると $T_M > T_L$ でさらに加速し、少し遅くなると $T_M < T_L$ で減速して止まります。

答え：600 min⁻¹、不安定

加速時間の計算｜運動方程式とトルクのすき間

電動機が回転体を加速するとき、回転体の運動方程式は次のとおりです。

$$J\dfrac{d\omega}{dt} = T_M - T_L$$

$J$ は慣性モーメント [kg·m²]、$\omega$ は角速度 [rad/s] です。右辺の $T_M - T_L$ を加速トルク $T_a$ といいます。電動機のトルクのうち、負荷に使った残りが、加速に回るということです（図5）。運転点では $T_a = 0$ になり、加速が止まって、一定の速さで回ります。

$T_a$ が一定なら、角加速度 $d\omega/dt = T_a/J$ も一定です。角速度を $\omega_1$ から $\omega_2$ に上げるのにかかる時間 $t$ は、次の式で求められます。

$$\begin{aligned} t &= \dfrac{J\Delta\omega}{T_a} \\[4pt] \Delta\omega &= \omega_2 - \omega_1 \end{aligned}$$

計算で間違えやすいのは、単位です。次のようにそろえてから、式に入れます。

量	与えられる単位	そろえ方
回転速度	N [min⁻¹]	ω ＝ 2πN ÷ 60 [rad/s]
慣性モーメント	GD² [kg·m²]	J ＝ GD² ÷ 4
トルク	T [N·m]	Ta ＝ TM − TL

$\omega = 2\pi N/60$ と $J = GD^2/4$ は、電動機の所要出力で扱った関係です。回転速度 $N$ を、そのまま $\omega$ の代わりに入れてはいけません。

実際の $T_M$ や $T_L$ は回転速度で変わるので、$T_a$ も一定とは限りません。図5のように $T_a$ が直線的に減っていくときは、始めと終わりの平均の $T_a$ を使って、おおよその時間を見積もります。曲線のときは、回転速度の範囲をいくつかに分け、区間ごとの平均の $T_a$ で時間を求めて足します。$T_a$ は運転点に近づくほど 0 に近づくので、回転速度は運転点へ向かって、少しずつ近づいていきます。

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まず、角速度の変化を求めます。

$$\begin{aligned} \Delta\omega &= \dfrac{2\pi \times 1200}{60} \\[4pt] &\fallingdotseq 125.7\ \mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$

$t = J\Delta\omega/T_a$ に入れます。

$$\begin{aligned} t &= \dfrac{2 \times 125.7}{20} \\[4pt] &\fallingdotseq 12.6\ \mathrm{[s]} \end{aligned}$$

答え：約 12.6 s

解答と解説を見る

慣性モーメントは、$J = GD^2/4 = 40/4 = 10$ kg·m² です。加速トルクは、$T_a = 100 - 60 = 40$ N·m です。

角速度の変化は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} \Delta\omega &= \dfrac{2\pi \times (1200 - 600)}{60} \\[4pt] &\fallingdotseq 62.8\ \mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$

$t = J\Delta\omega/T_a$ に入れます。

$$\begin{aligned} t &= \dfrac{10 \times 62.8}{40} \\[4pt] &\fallingdotseq 15.7\ \mathrm{[s]} \end{aligned}$$

答え：約 15.7 s

制動の種類｜機械ブレーキ・発電制動・回生制動・逆相制動

電動機を止めたり、速さを抑えたりするのが制動です。摩擦で止める機械ブレーキのほかに、電動機のトルクの向きを変えて制動する電気制動があります。

種類	しくみ	エネルギー
機械ブレーキ	摩擦で止める	熱になる
発電制動	電動機を発電機にして、抵抗につなぐ	抵抗で熱になる
回生制動	発電した電力を電源へ返す	電源へ戻る
逆相制動	電源の相順を入れ替える	熱になる

• 発電制動は、電動機を電源から切り離して発電機として働かせ、できた電力を抵抗で熱にします。負荷の運動エネルギーが、抵抗で捨てられます。
• 回生制動は、発電した電力を電源へ返します。直流電動機では、誘導起電力が電源電圧より大きくなると、電機子電流が逆向きに流れて、電力が電源へ戻ります。誘導電動機では、同期速度より速く回されると、発電機として働きます。
• 逆相制動は、三相誘導電動機の電源の相順（3本の線のうち2本）を入れ替えます。回転磁界が逆向きになり、回転方向と逆向きのトルクが出て、急に減速します。止まったら電源を切らないと、今度は逆向きに回り出します。

電車が減速するときや、エレベーターの重いかごが下がるときは、負荷が電動機を回す側になります。このとき電動機を発電機として使えば、運動エネルギーや位置エネルギーを、電力として取り出せます。電車やエレベーターで回生制動が使われるのは、このためです（図6）。

1円筒形の機器2歯車まわり3車輪

1. 円筒形の機器　電動機と見られる
2. 歯車まわり　車輪へ動力を伝える
3. 車輪　電動機が回す

エネルギーの流れを並べると、力行は電源から負荷へ、回生制動は負荷から電源へ、発電制動は負荷から抵抗へ向かいます（図7）。

直流電動機の速度制御は直流電動機の速度制御で、インバータによる駆動はインバータでまとめています。

4象限運転｜力行と回生、正転と逆転

電動機は、トルクの向きと回転の向きの組み合わせで、4つの運転に分けられます。横軸にトルク $T$、縦軸に回転速度 $N$ をとり、どちらも正転の向きを＋とします（図9）。出力 $P = \omega T$ の符号で、力行か回生かが決まります。

• $T$ と $N$ が同じ符号なら、$P > 0$ です。電動機が電力を使って、負荷を動かす力行です。
• $T$ と $N$ が逆の符号なら、$P < 0$ です。負荷が電動機を回している回生で、制動に当たります。

エレベーターは、かごとつり合いおもりをワイヤーロープでつなぎ、シーブ（綱車）に掛けて、電動機で回します（図8）。おもりは、ふつう空のかごより重く、満員のかごより軽くします。かごとおもりの重さの差が、電動機の負荷になります。

1シーブ2ワイヤーロープ3ブレーキ4電動機

1. シーブ　ロープを掛ける車
2. ワイヤーロープ　かごを吊る
3. ブレーキ　止めて保持する
4. 電動機　シーブを回す

かごの状態ごとに、4象限へ当てはめます。上昇を正転とします。

• 満員で上昇：重いかごを引き上げるので、第1象限（力行）です。
• 満員で下降：重いかごが落ちようとするのを抑えるので、第4象限（回生）です。
• 空で上昇：重いおもりが下がろうとするのを抑えるので、第2象限（回生）です。
• 空で下降：軽いかごを、重いおもりに逆らって下げるので、第3象限（力行）です。

解答と解説を見る

満員のかごは、おもりより重いので、自分の重さで下がろうとします。電動機は、落ちる速さを抑えるために、上向き（＋）のトルクを出します。かごは下降しているので、回転速度は逆転（−）です。

$T$ が＋、$N$ が−なので、$P = \omega T < 0$ です。負荷が電動機を回す回生で、第4象限になります。

答え：(4)

はずみ車｜衝撃的な負荷をならす

回転体は、運動エネルギー $E = \dfrac{1}{2}J\omega^2$ をたくわえます。慣性モーメントの大きな回転体を電動機の軸につけたものがはずみ車です（図10）。

1軸受2軸3スポーク4リム

1. 軸受　軸を支える
2. 軸　はずみ車と一緒に回る
3. スポーク　リムを支える
4. リム　外周の重い部分

プレス機のように、短い時間だけ大きなトルクが要る衝撃的な負荷があります。負荷に合わせて大きな電動機を選ぶと、ふだんは余裕がありすぎます。そこで、はずみ車をつけます（図11）。負荷が重いあいだは、回転速度が少し下がり、はずみ車がたくわえたエネルギーを放出して、電動機を助けます。負荷が軽くなると、電動機が回転速度を戻して、エネルギーをたくわえ直します。電動機のトルクは、ならされて一定に近くなります。

回転速度が $\omega_1$ から $\omega_2$ まで下がる間に放出するエネルギーは、運動エネルギーの差です。

$$\Delta E = \dfrac{1}{2}J\left(\omega_1^{2} - \omega_2^{2}\right)$$

負荷のかかり方（使用の形態）には、連続・短時間・反復があります。連続は一定の負荷で長く運転するもの、短時間は決められた短い時間だけ運転して止まるもの、反復は運転と停止をくり返すものです。反復では、加速のたびに大きな電流が流れて温度が上がるので、くり返す回数が多いほど、電動機が熱くなります。

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角速度は、$\omega_1 = 2\pi \times 1500/60 \fallingdotseq 157.1$ rad/s、$\omega_2 = 2\pi \times 1200/60 \fallingdotseq 125.7$ rad/s です。

$$\begin{aligned} \Delta E &= \dfrac{1}{2} \times 50 \times (157.1^{2} - 125.7^{2}) \\[4pt] &\fallingdotseq 222\ \mathrm{[kJ]} \end{aligned}$$

2 s で放出したときの平均の出力は、$222 \div 2 \fallingdotseq 111$ kW です。

答え：約 222 kJ、約 111 kW

よくある質問

運転点が2つあるときは、どちらで運転しますか。

安定の条件 $dT_M/dN < dT_L/dN$ を満たすほうです。もう一方は不安定で、回転速度が少しずれると運転点から離れていくので、そこにとどまれません。

発電制動と回生制動は、何が違いますか。

どちらも、電動機を発電機として働かせて制動します。違いは電力の行き先です。発電制動は抵抗で熱にして捨て、回生制動は電源へ返します。回生制動は、電力を受け取れる電源があるときに使えます。

逆相制動で、止まったあとに電源を切らないとどうなりますか。

回転磁界が逆向きのままなので、電動機は逆向きに加速して、逆転します。そのため、止まる直前に電源を切るなどの対策が要ります。

加速時間の計算で、回転速度 $N$ をそのまま使ってはいけないのはなぜですか。

運動方程式の角速度 $\omega$ は [rad/s] だからです。$N$ [min⁻¹] を $\omega$ に直さず入れると、$\omega = 2\pi N/60$ の約 9.55 倍（$60/2\pi$ 倍）の値で計算することになり、時間もその倍ずれます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

運転点とは、どんな点ですか？

電動機のトルク $T_M$ と、負荷のトルク $T_L$ が等しくなる点です。2つの特性曲線の交点で、回転速度が決まります。

安定運転の条件は？

運転点で $dT_M/dN < dT_L/dN$ です。負荷が一定なら、電動機の曲線が右下がりの側が安定です。

加速時間の式と、単位のそろえ方は？

$t = J\Delta\omega/T_a$、$T_a = T_M - T_L$ です。$\omega = 2\pi N/60$、$J = GD^2/4$ に直してから入れます。

発電制動・回生制動・逆相制動の違いは？

発電制動は電力を抵抗で熱にし、回生制動は電源へ返し、逆相制動は電源の相順を入れ替えて逆向きのトルクを出します。

第4象限は、どんな運転ですか？

$T$ が＋、$N$ が−で、$P < 0$ の逆転・回生です。つり合いおもり付きのエレベーターなら、満員のかごの下降です。

はずみ車が放出するエネルギーは？

$\Delta E = \dfrac{1}{2}J(\omega_1^{2} - \omega_2^{2})$ です。

まとめ

• 運転点は、電動機のトルクと負荷のトルクが等しくなる交点。負荷は定トルク・二乗トルク・定出力に分けられる
• 安定運転の条件は、運転点で $dT_M/dN < dT_L/dN$。負荷が一定なら、電動機の曲線が右下がりの側が安定
• 加速時間は $t = J\Delta\omega/T_a$。$T_a = T_M - T_L$ で、$\omega = 2\pi N/60$、$J = GD^2/4$ に直してから計算する
• 制動には、機械ブレーキのほか、発電制動（抵抗で熱にする）、回生制動（電源へ返す）、逆相制動（相順を入れ替える）がある
• 4象限運転は、$T$ と $N$ の符号で決まる。同符号が力行、逆符号が回生
• はずみ車は、衝撃的な負荷のあいだにエネルギーを放出して、電動機のトルクをならす

運転点まわりの負荷の式は電動機の所要出力、位置や速度を指令に合わせる制御はアクチュエータとサーボでまとめています。