電熱の計算｜Q=mcΔT と kWh・kJ の換算、熱回路、COP を図解

電熱は、電気エネルギーを熱に変えて使う分野です。電気の世界の $1\ \mathrm{kWh}$ は、熱の世界の $3600\ \mathrm{kJ}$ にあたります。電験三種の機械では、この換算と熱量の式 $Q = mc\Delta T$ を組み合わせて加熱時間を求める計算が、基本になります。この記事では、熱回路、加熱の方式、ヒートポンプの COP まで順に整理し、4つの例題で計算を確認します。

• 電熱とは
  • 電気を熱に変える。$\eta W = mc\Delta T$ が基本の式
• 熱量と電力量の換算
  • $1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$。単位をそろえて計算する
• 熱の伝わり方と熱回路
  • 熱流は電流、温度差は電圧、熱抵抗は抵抗に対応する
• 電気加熱の方式
  • 抵抗・アーク・誘導・誘電。熱の出どころが違う
• ヒートポンプと COP
  • $\mathrm{COP} = Q_1/W$。電力より多くの熱を運べる
• 電熱の例題
  • 4 問で、式の使い分けを確かめる

電熱とは？電気を熱に変えて使う仕組み

電熱とは、電気エネルギーを熱エネルギーに変えて、物を温めたり溶かしたりすることです。電気ケトルやトースターのような家電から、金属を溶かす工場の電気炉まで使われています。電気を熱に変える方法はいくつかあり、後の節で整理しますが、計算の考え方は共通で、図1のようにエネルギーの出入りで考えます。

電熱器に入れた電力量 $W$ のうち、目的の加熱に使われる割合が効率 $\eta$ で、残りは周囲へ逃げます。水を温めるなら、水が受け取る熱量は $\eta W$ です。これが、水の温度を上げるのに必要な熱量 $mc\Delta T$ と等しい、というのが電熱の計算の出発点です。電気ケトルは身近な例で、水を温める熱のほかに、本体や周囲へ逃げる熱があります（図2）。

1湯気2注ぎ口3取っ手4本体5台座

1. 湯気　沸いた水が水蒸気になって出ていく
2. 注ぎ口　湯をここから注ぐ
3. 取っ手　樹脂で、熱が伝わりにくい
4. 本体　底の熱が、中の水へ伝わる
5. 台座　ここから電気を受け取る

熱量の式：質量・比熱・温度差

物体の温度を上げるのに必要な熱量は、質量 $m\ \mathrm{[kg]}$、比熱 $c\ \mathrm{[kJ/(kg\cdot K)]}$、温度の上昇 $\Delta T\ \mathrm{[K]}$ の積です。

$$Q = mc\Delta T\ \mathrm{[kJ]}$$

比熱は、$1\ \mathrm{kg}$ の物質を $1\ \mathrm{K}$ 上げるのに必要な熱量です。水の比熱は約 $4.18\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ で、問題では値が与えられます。$\Delta T$ は温度の差なので、$\mathrm{K}$ で表しても $^\circ\mathrm{C}$ で表しても同じ値です。たとえば $20\,^\circ\mathrm{C}$ から $60\,^\circ\mathrm{C}$ に上げるなら、$\Delta T = 40\ \mathrm{K}$ です。

熱量と電力量の換算：1 kWh は 3600 kJ

電熱の計算でつまずきやすいのは、単位です。電力量は $\mathrm{kWh}$、熱量は $\mathrm{kJ}$ で与えられることが多く、そのままでは比べられません。$1\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{J/s}$ なので、$1\ \mathrm{kW} = 1\ \mathrm{kJ/s}$ です。$1\ \mathrm{kWh}$ は、$1\ \mathrm{kW}$ を $1$ 時間（$3600\ \mathrm{s}$）使ったときの電力量なので、

$$\begin{aligned} 1\ \mathrm{kWh} &= 1\ \mathrm{kW} \times 3600\ \mathrm{s} \\ &= 3600\ \mathrm{kJ} \end{aligned}$$

となります。火力発電で燃料の熱量と発電電力量をつなぐときも、同じ換算を使います。火力発電の熱効率で扱っています。

量	記号と単位	関係
電力	$P\ \mathrm{[kW]}$	$1\ \mathrm{kW} = 1\ \mathrm{kJ/s}$
電力量	$W\ \mathrm{[kWh]}$	$1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$
時間	$t\ \mathrm{[s]}$	$1\ \mathrm{h} = 3600\ \mathrm{s}$
熱量	$Q\ \mathrm{[kJ]}$	$Q = mc\Delta T$

加熱時間の求め方

電力 $P\ \mathrm{[kW]}$ の電熱器を $t\ \mathrm{[s]}$ 使うと、電気が出す熱は $Pt\ \mathrm{[kJ]}$ です。効率を $\eta$ とすると、水に渡る熱は $\eta Pt$ で、これが $mc\Delta T$ に等しくなります。

$$\begin{gathered} \eta Pt = mc\Delta T \\ t = \frac{mc\Delta T}{\eta P}\ \mathrm{[s]} \end{gathered}$$

$P$ を $\mathrm{kW}$、$c$ を $\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ で入れると、$t$ は秒で出ます。分にするには $60$ で割ります。

水を沸騰させて蒸気にするときは、温度を上げる熱 $mc\Delta T$ とは別に、状態を変えるための熱（蒸発熱）が要ります。$100\,^\circ\mathrm{C}$ の水の蒸発熱は約 $2257\ \mathrm{kJ/kg}$ で、$1\ \mathrm{kg}$ あたり約 $0.63\ \mathrm{kWh}$ です。

熱の伝わり方と熱回路：オームの法則との対応

熱の伝わり方には、3つあります。物体の中を高温側から低温側へ伝わる伝導、流体が動いて熱を運ぶ対流、赤外線などの電磁波で伝わる放射です。電熱の計算では伝導を扱うことが多く、電気回路のオームの法則とそっくりの式で表せます。

図3は、暖かい室内と冷たい屋外の間に、壁と断熱材が直列に重なっている断面です。熱は室内から屋外へ流れ、温度は橙の線のように下がります。

単位時間に流れる熱量を熱流 $\Phi\ \mathrm{[W]}$、両側の温度差を $\Delta T\ \mathrm{[K]}$、熱の流れにくさを熱抵抗 $R\ \mathrm{[K/W]}$ とすると、オームの法則 $I = V/R$ と同じ形になります。

$$\Phi = \frac{\Delta T}{R}$$

厚さ $l\ \mathrm{[m]}$、断面積 $S\ \mathrm{[m^2]}$、熱伝導率 $\lambda\ \mathrm{[W/(m\cdot K)]}$ の板の熱抵抗は、電気抵抗の式 $R = \rho l/S$ と同じ形です。熱伝導率が大きい材料ほど、熱を通しやすくなります。

$$R = \frac{l}{\lambda S}\ \mathrm{[K/W]}$$

電気回路	熱回路	熱側の単位
電流 $I$	熱流 $\Phi$	$\mathrm{W}$
電位差 $V$	温度差 $\Delta T$	$\mathrm{K}$
抵抗 $R$	熱抵抗 $R$	$\mathrm{K/W}$
導電率 $\sigma$	熱伝導率 $\lambda$	$\mathrm{W/(m\cdot K)}$

壁と断熱材のように、熱が順に通る層は直列で、熱抵抗は足し算です。同じ $\Phi$ が各層を通り、温度差は熱抵抗に比例して各層に分かれます。

$$\Phi = \frac{\Delta T}{R_1 + R_2}$$

断熱材は、熱伝導率が小さく熱抵抗が大きいので、温度差の大部分を受け持ちます。直列回路で大きい抵抗に大きい電圧がかかるのと同じです。電気回路の直列と合成抵抗は、オームの法則と直列回路で扱っています。

電気加熱の方式：抵抗・アーク・誘導・誘電

電気で熱を作る方法は、熱の出どころで分類します。

方式	熱の出どころ	例
抵抗加熱	電流が流れるジュール熱	トースター、電気ケトル
アーク加熱	アーク放電の熱	アーク炉
誘導加熱	導体の渦電流のジュール熱	IH 調理器、高周波焼入れ
誘電加熱	絶縁物の誘電損	電子レンジ
赤外線加熱	物体が吸収した赤外線	塗装の乾燥

抵抗加熱は、抵抗に電流を流して出るジュール熱 $Q = I^2Rt$ を使います。電熱線を発熱体にして、その熱を伝導や放射で被加熱物へ渡す方法と、被加熱物そのものに電流を流す方法があります。発熱体には、抵抗率が大きく高温に耐えるニクロム線などが使われます。

アーク加熱は、電極の間のアーク放電で高温を作ります。金属を溶かすアーク炉に使われます。

誘導加熱は、コイルに高周波電流を流してできる交番磁束で、金属の中に渦電流を流し、そのジュール熱で加熱します。被加熱物そのものが発熱するので、熱が直接入ります。周波数が高いほど、電流は金属の表面に集まります（表皮効果）。この性質を使い、鋼の表面だけを加熱して硬くするのが高周波焼入れです。IH 調理器では、鍋の底が発熱します（図4）。鍋は、渦電流が流れる金属でなければなりません。

1湯気2湯3鍋底4天板5輪の印

1. 湯気　沸いた水が水蒸気になって出ていく
2. 湯　鍋の熱が伝わり、沸騰している
3. 鍋底　渦電流が流れて、鍋が発熱する
4. 天板　黒いガラスの板。下にコイルがある
5. 輪の印　コイルの位置の目安

誘電加熱は、絶縁物（誘電体）を高周波の電界の中に置き、誘電損を熱にします。誘電損は、電圧 $V$、静電容量 $C$、損失角 $\delta$、周波数 $f$ で次のように表せ、周波数に比例し、電圧の2乗に比例します。

$$P = 2\pi f C V^2 \tan\delta\ \mathrm{[W]}$$

電子レンジは、家庭用で $2.45\ \mathrm{GHz}$ のマイクロ波を使い、食品の水分を加熱します。食品の内側でも熱が出ます（図5）。

1扉2庫内3カップ4回転皿5操作部

1. 扉　電波を外へもらさない作り
2. 庫内　金属の壁で、電波がはね返る
3. カップ　中の水分が電波で温まる
4. 回転皿　回して、加熱のむらを減らす
5. 操作部　加熱の強さや時間を決める

赤外線加熱は、物体が吸収した赤外線のエネルギーが熱になる方式です。塗装した面の乾燥などに使われます。

ヒートポンプと COP

ヒートポンプは、電気で直接発熱させるのではなく、冷媒を循環させて、低温の側から高温の側へ熱をくみ上げる装置です。エアコンの暖房や、ヒートポンプ式の給湯器に使われています。暖房のときの冷凍サイクルを、図6に示します。

冷媒は、4つの機器を順に回ります。

1. 蒸発器：低圧の液が外気から熱 $Q_2$ を吸って蒸発する。
2. 圧縮機：電力 $W$ でガスを圧縮し、高温・高圧にする。
3. 凝縮器：ガスが室内へ熱 $Q_1$ を出して、液になる。
4. 膨張弁：液を減圧し、低圧・低温にして蒸発器へ戻す。

熱の出入りを合計すると、凝縮器から出る熱は、外気から吸った熱と、圧縮機に入れた電力の合計になります。損失を無視した場合です。

$$Q_1 = Q_2 + W$$

使った電力に対して、得られた熱の割合を成績係数（COP）といいます。暖房では、室内へ出した熱量を、消費した電力（電力量）で割ります。

$$\begin{aligned} \mathrm{COP} &= \frac{Q_1}{W} \\ &= \frac{Q_2 + W}{W} = 1 + \frac{Q_2}{W} \end{aligned}$$

$Q_2$ は $0$ ではないので、COP は $1$ より大きくなります。電熱線で電力をそのまま熱にする電熱器は、電力の分しか熱が出ず、COP は $1$ を超えません。ヒートポンプは、熱を作るのではなく外から運んでくるので、電力より多くの熱が得られます。冷房では、室内から吸った熱を電力で割ります。高温側と低温側の温度差が小さいほど、COP は大きくなります。

1ファン2本体3配管4台

1. ファン　外気を送り、熱を吸わせる
2. 本体　圧縮機や熱交換器が入っている
3. 配管　室内機との間で、冷媒を運ぶ
4. 台　本体を地面から浮かせて支える

電熱の例題

式の使い分けは、次の表のとおりです。

状況	使う式	ひっかけ
水を温める熱量	$Q = mc\Delta T$	$\mathrm{kJ}$ と $\mathrm{kWh}$ の混同
加熱時間	$t = mc\Delta T/(\eta P)$	効率の掛け忘れ
壁を通る熱流	$\Phi = \Delta T/(R_1+R_2)$	熱抵抗は直列で足す
ヒートポンプ	$\mathrm{COP} = Q_1/W$	電力と熱量の取り違え

解答と解説を見る

温度の上昇は $\Delta T = 40\ \mathrm{K}$ です。

$$\begin{aligned} Q &= mc\Delta T \\ &= 50 \times 4.18 \times 40 \\ &= 8360\ \mathrm{[kJ]} \end{aligned}$$

$1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$ なので、電力量は次のとおりです。

$$W = \frac{8360}{3600} \approx 2.32\ \mathrm{[kWh]}$$

答え：$8360\ \mathrm{kJ}$、約 $2.32\ \mathrm{kWh}$

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温度の上昇は $\Delta T = 80\ \mathrm{K}$ です。水に必要な熱量は、

$$\begin{aligned} Q &= 2.0 \times 4.18 \times 80 \\ &= 668.8\ \mathrm{[kJ]} \end{aligned}$$

です。水に渡る熱は、毎秒 $0.80 \times 2.0 = 1.6\ \mathrm{kJ}$ なので、

$$\begin{aligned} t &= \frac{668.8}{0.80 \times 2.0} \\ &= 418\ \mathrm{[s]} \end{aligned}$$

となります。$418 / 60 \approx 6.97$ より、約 $7.0$ 分です。

答え：約 $7.0$ 分

解答と解説を見る

それぞれの熱抵抗は、

$$\begin{gathered} R_1 = \frac{0.20}{1.0 \times 10} = 0.020\ \mathrm{[K/W]} \\ R_2 = \frac{0.05}{0.05 \times 10} = 0.10\ \mathrm{[K/W]} \end{gathered}$$

です。直列なので足し算にします。温度差は $20 - 2 = 18\ \mathrm{K}$ です。

$$\begin{aligned} \Phi &= \frac{18}{0.020 + 0.10} \\ &= 150\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

断熱材の両側の温度差は、$\Phi R_2 = 150 \times 0.10 = 15\ \mathrm{K}$ です。壁の温度差は $150 \times 0.020 = 3\ \mathrm{K}$ で、合計が $18\ \mathrm{K}$ になります。断熱材がないと $18/0.020 = 900\ \mathrm{W}$ なので、熱流は $1/6$ に減ります。

答え：$\Phi = 150\ \mathrm{W}$、温度差 $15\ \mathrm{K}$

解答と解説を見る

$\mathrm{COP} = Q_1/W$ から、消費電力は次のとおりです。

$$W = \frac{Q_1}{\mathrm{COP}} = \frac{6.0}{4.0} = 1.5\ \mathrm{[kW]}$$

$Q_1 = Q_2 + W$ から、外気から吸う熱は次のとおりです。

$$Q_2 = Q_1 - W = 6.0 - 1.5 = 4.5\ \mathrm{[kW]}$$

$1$ 時間運転すると、電力量は $1.5\ \mathrm{kWh}$ です。同じ熱を COP が $1$ の電熱器で出すと、$6.0\ \mathrm{kWh}$ が必要です。

答え：消費電力 $1.5\ \mathrm{kW}$、外気から吸う熱 $4.5\ \mathrm{kW}$

よくある質問

電熱の計算で、kJ と kWh はどう換算しますか。

$1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$ です。$1\ \mathrm{kW}$ は $1\ \mathrm{kJ/s}$ で、$1$ 時間は $3600\ \mathrm{s}$ なので、$1\ \mathrm{kW} \times 3600\ \mathrm{s} = 3600\ \mathrm{kJ}$ になります。熱量 $\mathrm{[kJ]}$ を電力量 $\mathrm{[kWh]}$ にするときは $3600$ で割り、反対は $3600$ を掛けます。

温度差は、K と ℃ のどちらで入れますか。

どちらでも同じです。$\Delta T$ は温度の差なので、$20\,^\circ\mathrm{C}$ から $60\,^\circ\mathrm{C}$ への変化も、$293\ \mathrm{K}$ から $333\ \mathrm{K}$ への変化も、$40$ になります。$\mathrm{K}$ と $^\circ\mathrm{C}$ の違いが出るのは、温度そのものの値を使うときです。

熱抵抗は、なぜ直列で足し算になるのですか。

直列では、同じ熱流 $\Phi$ がすべての層を通るからです。各層の温度差は $\Phi R_1$、$\Phi R_2$ で、合計が全体の温度差になるので、$\Delta T = \Phi(R_1 + R_2)$ です。電気回路で、同じ電流が直列の抵抗を流れ、電圧が足し算になるのと同じ理由です。

COP が 1 を超えても、エネルギー保存則に反しないのですか。

反しません。ヒートポンプは電力から熱を作るのではなく、外気から $Q_2$ を運びます。出てくる熱は $Q_1 = Q_2 + W$ で、運んできた熱の分だけ、使った電力 $W$ より大きくなります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

物体の温度を上げるのに必要な熱量の式は何ですか？

$Q = mc\Delta T$ です。水の比熱は約 $4.18\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ です。

$1\ \mathrm{kWh}$ は何 $\mathrm{kJ}$ ですか？

$3600\ \mathrm{kJ}$ です。$1\ \mathrm{kW}$ が $1\ \mathrm{kJ/s}$ で、$1$ 時間が $3600\ \mathrm{s}$ だからです。

効率 $\eta$、電力 $P\ \mathrm{[kW]}$ の電熱器で水を温める時間は、どう求めますか？

$t = mc\Delta T/(\eta P)\ \mathrm{[s]}$ です。

熱回路で、電流・電圧・抵抗にあたる量は何ですか？

熱流 $\Phi\ \mathrm{[W]}$、温度差 $\Delta T\ \mathrm{[K]}$、熱抵抗 $R\ \mathrm{[K/W]}$ です。

誘導加熱と誘電加熱で、熱を出すのは何ですか？

誘導加熱は導体の渦電流のジュール熱、誘電加熱は絶縁物の誘電損です。

ヒートポンプの COP が $1$ を超えるのは、なぜですか？

$\mathrm{COP} = Q_1/W$ で、$Q_1 = Q_2 + W$ のように、外気から運んだ熱 $Q_2$ が加わるからです。

まとめ

• 熱量は $Q = mc\Delta T$。水の比熱は約 $4.18\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• $1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$。加熱時間は $t = mc\Delta T/(\eta P)$
• 熱回路は、熱流が電流、温度差が電圧、熱抵抗が抵抗に対応し、直列は足し算
• 加熱の方式は、抵抗（ジュール熱）、アーク、誘導（渦電流）、誘電（誘電損）
• ヒートポンプは $\mathrm{COP} = Q_1/W$、$Q_1 = Q_2 + W$ で、COP は $1$ を超える

次は、ファラデーの法則を扱う電気分解と電池の計算に進みましょう。前の記事は照度計算です。