共振周波数の求め方｜直列共振・並列共振の違いとQ値を図解

前の記事では、RLC 直列回路のインピーダンスは、$X_L$ と $X_C$ の差で決まると確かめました（RLC直列回路のインピーダンス）。この $X_L$ と $X_C$ が等しくなる周波数で、回路の性質はがらりと変わります。これが共振です。この記事では、共振周波数の求め方、直列共振と並列共振のちがい、共振の鋭さを表す $Q$ を、図と例題で順に確かめます。

• 共振とは
  • XL ＝ XC になる周波数。Z ＝ R になり、電圧と電流が同相になる
• 共振周波数の求め方
  • f0 ＝ 1/(2π√(LC))。R には関係しない
• 直列共振
  • Z は最小、電流は最大。VL ＝ VC ＝ Q×V、Q ＝ XL/R
• 並列共振
  • Z は最大、電源の電流は最小。IL ＝ IC で打ち消し合う
• 直列共振と並列共振の比較
  • 谷になるか山になるか。f0 の式は同じ
• 共振回路の使いみち
  • コイルと可変コンデンサで、ラジオの選局に使う
• 共振の例題
  • f0 → I → VL・Q の順に求める

共振とは

ブランコは、こぐタイミングが揺れの周期に合うと、少しの力でも大きく揺れます。図1のブランコのように、物には、揺れやすい決まった周期があります。その周期に合わせて力を加えると、大きな揺れが起こる現象を共振（共鳴）といいます。

1鎖2座面3吊り金具

1. 鎖　ブランコを吊っている。長さが揺れの周期にかかわる
2. 座面　木の板の部分
3. 吊り金具　座面の端に付いた金属の金具。鎖につながる

電気回路にも、同じことが起こります。コイルは電流が流れると磁気のエネルギーをため、コンデンサは電圧がかかると電気のエネルギーをためます。この 2 つがエネルギーを受け渡しあう周期は、$L$ と $C$ で決まります。電源の周波数がこれに合ったとき、回路は共振します。

共振の条件は、2 つのリアクタンスが等しいことです。

$$X_L = X_C$$

図2は、$L = 10\,\mathrm{[mH]}$、$C = 25\,\mathrm{[\mu F]}$ の場合の $X_L$ と $X_C$ です。2 本の線が交わる周波数が共振周波数 $f_0$ で、約 $318\,\mathrm{[Hz]}$ です。

$f_0$ より低い周波数では $X_C$ が大きく、回路は容量性（電流が進む）になります。高い周波数では $X_L$ が大きく、誘導性（電流が遅れる）になります。ちょうど $f_0$ では、合成したリアクタンス $X = X_L - X_C$ が 0 になるので、インピーダンスは $Z = R$ になり、電圧と電流は同相になります。

共振周波数の求め方

共振の条件 $X_L = X_C$ に、$X_L = \omega L$ と $X_C = 1/(\omega C)$ を代入して、角周波数 $\omega$ を求めます。

$$\begin{aligned} \omega L &= \frac{1}{\omega C} \\ \omega^2 &= \frac{1}{LC} \\ \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}}\,\mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$

$\omega_0 = 2\pi f_0$ なので、周波数で表すと次のとおりです。

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\,\mathrm{[Hz]}$$

図3に、この導き方を順に並べました。

この式で大事なのは、次の 2 点です。

• $L$ や $C$ が大きいほど、$f_0$ は低くなる
• $R$ は式に出てこないので、$f_0$ に関係しない

$L$ や $C$ を変えたときの $f_0$ は、次の表のとおりです。$f_0$ は $\sqrt{LC}$ に反比例するので、$L$ か $C$ の一方を 4 倍にすると $f_0$ は 2 分の 1、両方を 4 倍にすると 4 分の 1 になります。

変化	$f_0$
$L$ を 4 倍	$1/2$ 倍
$C$ を 4 倍	$1/2$ 倍
$L$ と $C$ を 4 倍	$1/4$ 倍

音叉は、たたくと、形で決まる決まった周波数で振動します。回路でも、$L$ と $C$ の値が、共振する周波数を決めます。図4は、音叉の例です。

1枝2柄の先3木の箱

1. 枝　U字の2本の枝。たたくと決まった周波数で振動する
2. 柄の先　丸くなった端の部分
3. 木の箱　音叉がのっている台

直列共振

抵抗 $R$、コイル $L$、コンデンサ $C$ を直列につなぎ、周波数 $f_0$ の電源を加えます。$X_L = X_C$ なので、インピーダンスは次のとおりです。

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= R \end{aligned}$$

図5のように、共振のときの回路は、次のようになります。

• インピーダンスは $Z = R$ で、最小になる
• 電流は $I = V/R$ で、最大になる
• 電圧と電流は同相で、力率は 1（$\cos\theta = 1$）になる
• $V_L$ と $V_C$ は同じ大きさで逆向きなので、打ち消し合う。電源電圧は $V = V_R$ になる

力率の考え方は、交流の電力と力率で確かめられます。

$V_L$ と $V_C$ は、打ち消し合っていても、それぞれが 0 になるわけではありません。電流 $I = V/R$ が流れるので、次の大きさになります。

$$\begin{aligned} V_L = V_C &= X_L I \\ &= X_L \times \frac{V}{R} \\ &= \frac{X_L}{R}\,V \end{aligned}$$

この $X_L/R$ を $Q$ とおくと、$V_L = V_C = QV$ になります。$Q$ は共振の鋭さを表す量で、次の式で表せます。

$$\begin{aligned} Q &= \frac{X_L}{R} = \frac{\omega_0 L}{R} \\ &= \frac{1}{\omega_0 C R} \\ &= \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \end{aligned}$$

図6は、$Q = 2$ の場合のベクトル図です。

周波数を変えながら電流を調べると、電流は $f_0$ で最大になる山の形になります。これを共振曲線といいます。図7のように、$R$ が小さい（$Q$ が大きい）ほど、山は高く鋭くなります。

$R$	$Q$	$f_0$ の電流
$4\,\mathrm{[\Omega]}$	5	$3\,\mathrm{[A]}$
$10\,\mathrm{[\Omega]}$	2	$1.2\,\mathrm{[A]}$

表は、$V = 12\,\mathrm{[V]}$、$L = 10\,\mathrm{[mH]}$、$C = 25\,\mathrm{[\mu F]}$ の場合です。$f_0$ は $R$ が変わっても同じです。

並列共振

抵抗 $R$、コイル $L$、コンデンサ $C$ を並列につなぎ、電源の電圧を $V$ とします。この記事では、この理想的な回路で考えます。各部の電流は、次のとおりです（並列回路の考え方は並列回路と同じです）。

電流	式	位相
$I_R$	$V/R$	$V$ と同相
$I_L$	$V/X_L$	$90^\circ$ 遅れ
$I_C$	$V/X_C$	$90^\circ$ 進み

$I_L$ と $I_C$ は逆向きです。電源の電流 $I$ は、$I_R$ と、$I_L$ と $I_C$ の差を、直角三角形の 2 辺として合成します。

$$I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2}$$

$X_L = X_C$ になる周波数 $f_0$ では、$I_L = I_C$ です。差が 0 になるので、電源の電流は次のようになります。

$$I = I_R = \frac{V}{R}$$

図8のように、$I_L$ と $I_C$ は、電源を通らずに $L$ と $C$ のあいだを往復します。

• 電源の電流は $I = I_R$ で、最小になる
• インピーダンスは $Z = V/I = R$ で、最大になる
• 電圧と電流は同相で、力率は 1 になる
• $I_L$ と $I_C$ は、電源の電流 $I$ より大きくなることがある

共振周波数は、直列共振と同じ $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ です。

直列共振と並列共振の比較

直列共振と並列共振は、$f_0$ の式は同じですが、インピーダンスと電流の様子が逆になります。図9は、$Z$ と周波数の関係です。

項目	直列共振	並列共振
$Z$ のグラフ	谷の形	山の形
インピーダンス	最小（$R$）	最大（$R$）
電源の電流	最大（$V/R$）	最小（$V/R$）
打ち消し合うもの	$V_L$ と $V_C$	$I_L$ と $I_C$
力率	1	1

共振回路の使いみち

共振回路は、特定の周波数だけを取り出すために使われます。ラジオの選局が代表的な例です。コイルと可変コンデンサを組み合わせ、つまみで $C$ を変えて $f_0$ を動かし、聞きたい放送の周波数に合わせます。$C$ を小さくすると $f_0$ は高くなり、大きくすると低くなります。

図10は、古い機器の内部に取り付けられたコイルと可変コンデンサです。可変コンデンサは、回すと金属の羽根の重なりが変わり、容量が変わる部品です。

1コイル2可変コンデンサの羽根3軸

1. コイル　円筒に銅線を巻いた部品。インダクタンスを決める
2. 可変コンデンサの羽根　重なりが変わると容量が変わる
3. 軸　真鍮色のハブの部分。回すと羽根が動く

$Q$ が大きい回路ほど、$f_0$ の近くの周波数だけを強く取り出せます。$f_0$ からはなれた周波数の信号は、電流が小さくなります。

コイルとコンデンサは、基板の上でも対にして使われます。図11の基板にも、コイルとコンデンサが載っています。この $L$ と $C$ の値で、共振周波数が決まります。

1金属ケースの部品2コンデンサ3コイル

1. 金属ケースの部品　銀色の楕円形の部品
2. コンデンサ　黄褐色の小型の部品
3. コイル　銅線を巻いた部品

共振の例題

例題で使う式は、次のとおりです。

求めるもの	式
共振周波数	$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$、$f_0 = \omega_0/(2\pi)$
直列共振の電流	$I = V/R$
直列共振の電圧	$V_L = V_C = QV$、$Q = X_L/R$
並列共振の電流	$I = V/R$、$I_L = V/X_L$

解答と解説を見る

単位を $\mathrm{H}$、$\mathrm{F}$ に直して、まず $LC$ を求めます。

$$\begin{aligned} LC &= 2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6} \\ &= 4 \times 10^{-8} \end{aligned}$$

これを使って、$\omega_0$ を求めます。

$$\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-8}}} \\ &= \frac{1}{2 \times 10^{-4}} \\ &= 5000\,\mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$

周波数にするには、$2\pi$ で割ります。

$$\begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &= \frac{5000}{2\pi} \\ &\approx 796\,\mathrm{[Hz]} \end{aligned}$$

解答と解説を見る

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ の両辺を 2 乗して、$C$ について解きます。

$$\begin{aligned} C &= \frac{1}{(2\pi f_0)^2 L} \\ &= \frac{1}{(2\pi \times 1000)^2 \times 0.01} \\ &\approx \frac{1}{3.948 \times 10^{5}} \\ &\approx 2.53 \times 10^{-6}\,\mathrm{[F]} \end{aligned}$$

したがって、$C \approx 2.53\,\mathrm{[\mu F]}$ です。

解答と解説を見る

まず、$LC$ を求めます。

$$\begin{aligned} LC &= 10 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-6} \\ &= 2.5 \times 10^{-7} \end{aligned}$$

共振の角周波数は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2.5 \times 10^{-7}}} \\ &= \frac{1}{5 \times 10^{-4}} \\ &= 2000\,\mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$

したがって、$f_0 = 2000/(2\pi) \approx 318\,\mathrm{[Hz]}$ です。共振のとき $Z = R$ なので、電流は次のとおりです。

$$\begin{aligned} I &= \frac{V}{R} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

コイルのリアクタンスと電圧は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} X_L &= \omega_0 L \\ &= 2000 \times 0.01 \\ &= 20\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} V_L &= X_L I \\ &= 20 \times 3 \\ &= 60\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

$Q$ は、次のとおりです。$V_L = QV = 5 \times 12 = 60\,\mathrm{[V]}$ とも一致します。

$$\begin{aligned} Q &= \frac{X_L}{R} \\ &= \frac{20}{4} \\ &= 5 \end{aligned}$$

解答と解説を見る

まず、$LC$ を求めます。

$$\begin{aligned} LC &= 80 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-6} \\ &= 4 \times 10^{-6} \end{aligned}$$

共振の角周波数は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \\ &= 500\,\mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$

したがって、$f_0 = 500/(2\pi) \approx 79.6\,\mathrm{[Hz]}$ です。このときのリアクタンスは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} X_L &= \omega_0 L \\ &= 500 \times 0.08 \\ &= 40\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{\omega_0 C} \\ &= \frac{1}{500 \times 50 \times 10^{-6}} \\ &= 40\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

各電流は、電圧をそれぞれの $R$、$X_L$、$X_C$ で割って求めます。

$$\begin{aligned} I_R &= \frac{100}{50} = 2\,\mathrm{[A]} \\ I_L &= \frac{100}{40} = 2.5\,\mathrm{[A]} \\ I_C &= \frac{100}{40} = 2.5\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

$I_L = I_C$ で打ち消し合うので、電源の電流は $I = I_R = 2\,\mathrm{[A]}$ です。$I_L$ と $I_C$ は、電源の電流より大きくなっています。

よくある質問

共振周波数は、なぜ $R$ に関係しないのですか。

共振の条件が $X_L = X_C$ で、式に $R$ が出てこないからです。$R$ は、共振のときの電流の大きさや、共振曲線の山の高さ・鋭さ（$Q$）を決めます。

直列共振で、$V_L$ と $V_C$ が電源電圧より大きくなってもよいのですか。

かまいません。$V_L$ と $V_C$ は逆向きで打ち消し合い、電源にとっては $R$ の電圧だけが見えるからです。$V_L = V_C = QV$ なので、$Q > 1$ なら電源電圧より大きくなります。例題3では、電源電圧 $12\,\mathrm{[V]}$ に対して $V_L = 60\,\mathrm{[V]}$ です。

並列共振では、なぜ電源の電流が最小になるのですか。

$I_L$ と $I_C$ が同じ大きさで逆向きになり、打ち消し合うからです。電源の電流は $I_R$ だけになります。周波数が $f_0$ からずれると $I_L$ と $I_C$ の差が残るので、電源の電流は増えます。

共振のとき、力率はいくつですか。

直列共振でも並列共振でも、電圧と電流が同相になるので、力率は 1 です。力率の求め方は、交流の電力と力率で確かめられます。

問題で $\omega_0$ と $f_0$ のどちらを答えればよいですか。

聞かれたほうを答えます。$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ の単位は $\mathrm{[rad/s]}$、$f_0 = \omega_0/(2\pi)$ の単位は $\mathrm{[Hz]}$ です。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

共振とは、どんな状態ですか？

$X_L = X_C$ になり、合成したリアクタンスが 0 になる状態です。電圧と電流が同相になり、力率は 1 です。

共振周波数の式は？

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$、$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ です。$R$ には関係しません。

直列共振のとき、$Z$、$I$、$V_L$・$V_C$ はどうなりますか？

$Z = R$ で最小、$I = V/R$ で最大です。$V_L$ と $V_C$ は同じ大きさで逆向きになり、打ち消し合います。

$Q$ の式と意味は？

$Q = X_L/R = \omega_0 L/R$ です。共振の鋭さを表し、$V_L = V_C = QV$ になります。

並列共振のとき、$Z$ と電源の電流はどうなりますか？

$Z$ は最大で、電源の電流は $I = I_R$ で最小です。$I_L = I_C$ で打ち消し合います。

$L = 10\,\mathrm{[mH]}$、$C = 100\,\mathrm{[\mu F]}$ の共振の角周波数 $\omega_0$ は？

$\omega_0 = 1/\sqrt{0.01 \times 100 \times 10^{-6}} = 1000\,\mathrm{[rad/s]}$ です。

まとめ

• 共振の条件は $X_L = X_C$。このとき合成したリアクタンスが 0 になり、$Z = R$、電圧と電流は同相（力率 1）になる
• 共振周波数は $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$（$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$）。$L$ や $C$ が大きいほど低くなり、$R$ には関係しない
• 直列共振は $Z$ が最小、電流が最大（$I = V/R$）。$V_L = V_C = QV$ で、$Q = X_L/R$。$Q$ が大きいほど共振曲線は鋭い
• 並列共振は $Z$ が最大、電源の電流が最小（$I = I_R$）。$I_L = I_C$ で打ち消し合う
• 共振回路は、コイルと可変コンデンサを使ったラジオの選局など、特定の周波数を取り出すのに使われる

共振のとき $Z = R$ になる理由は、RLC直列回路のインピーダンスの三角形で確かめられます。力率が 1 になることは、交流の電力と力率とあわせて見直してください。