有効電力・無効電力・皮相電力とは｜交流電力と力率の求め方を図解

コイルやコンデンサがあると、交流の電流は電圧からずれます。このずれのせいで、交流の電力は電圧と電流を掛けるだけでは決まらず、仕事になる有効電力と、往復するだけの無効電力に分かれます。この記事では、瞬時電力の波形から有効電力・無効電力・皮相電力と力率の式を導き、RL 直列回路や複数の負荷を合わせた計算まで順に確認します。

• 3つの電力とは
  • 皮相電力 S は、有効電力 P と無効電力 Q に分かれる
  • 単位は S が V·A、P が W、Q が var
• 瞬時電力と有効電力
  • 電流が電圧からずれると、瞬時電力に負の部分が出る
  • 瞬時電力の平均が P ＝ VI cosθ
• 電力の三角形と力率
  • S の2乗 ＝ P の2乗 ＋ Q の2乗、力率 cosθ ＝ P ÷ S
  • RL 直列回路では P ＝ I の2乗 × R
• 遅れと進みの無効電力
  • 電流が遅れると Q は正、進むと Q は負
• 複数の負荷の合成
  • P と Q を足してから S と力率を出す。S は足せない

有効電力・無効電力・皮相電力とは

直流回路の電力は、$P = VI$ の1つだけでした。交流では、電流が電圧からずれると、電力が3つの量に分かれます。

電源が負荷に送り出す電力の見かけの大きさが皮相電力 $S$ で、電圧の実効値 $V$ と電流の実効値 $I$ の積です。このうち、熱・光・動力として実際に使われる分が有効電力 $P$、電源と負荷のあいだを行き来するだけで使われない分が無効電力 $Q$ です。図1のように、3つの電力は直角三角形の関係で、$S^2 = P^2 + Q^2$ になります。

3つの電力は、単位も別々に書き分けます。

名前	単位	意味
皮相電力 $S$	$\mathrm{V\cdot A}$	電源が送り出す見かけの電力
有効電力 $P$	$\mathrm{W}$	熱・光・動力になる電力
無効電力 $Q$	$\mathrm{var}$	電源と負荷の間を往復する電力

「消費電力」といえば、ふつうは有効電力のことです。皮相電力は、電源や電線が負担しなければならない大きさの目安になります。

家庭の電力量計が積算するのは、有効電力の量です。図2の電力量計では、中の円盤が回る速さが有効電力に比例し、その回転を積算して電力量を表示します。

1ガラスカバー2円盤3表示窓4配管

1. ガラスカバー　中の円盤を守る
2. 円盤　回る速さが有効電力に比例する
3. 表示窓　積算した量が出る
4. 配管　電線を通す管

瞬時電力の波形と有効電力の求め方

なぜ電力が3つに分かれるのかは、各瞬間の電力 $p = vi$ を波形で見ると分かります。この $p$ を瞬時電力といいます。電圧と電流を次のように置きます。

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2}\,V\sin\omega t \\ i = \sqrt{2}\,I\sin(\omega t - \theta) \end{gathered}$$

$V$、$I$ は実効値です。$\theta$ は、電流が電圧より遅れる角度（位相差）です。

抵抗だけの回路

電流が電圧と同じ位相（$\theta = 0$）のとき、瞬時電力は次のようになります。

$$p = 2VI\sin^2\omega t = VI(1 - \cos 2\omega t)$$

図3のように、$v$ と $i$ は同時に正負が入れ替わるので、掛け合わせた $p$ はつねに 0 以上です。平均は $VI$ になります。

電流が遅れる回路

次に、電流が電圧より $60^\circ$ 遅れる場合を見ます。図4のように、$v$ と $i$ の符号がちがう時間が現れ、その間は $p$ が負になります。$p$ が負のときは、電力が負荷から電源へ戻っています。

正の部分から戻る分を差し引いた平均が、実際に使われる電力です。式で確かめます。積和の公式 $\sin A\sin B = \frac{1}{2}\{\cos(A-B) - \cos(A+B)\}$ を使うと、

$$\begin{aligned} p &= vi = 2VI\sin\omega t\,\sin(\omega t - \theta) \\ &= VI\{\cos\theta - \cos(2\omega t - \theta)\} \end{aligned}$$

となります。$\cos(2\omega t - \theta)$ を展開して整理すると、

$$\begin{aligned} p &= VI\cos\theta\,(1 - \cos 2\omega t) \\ &\quad - VI\sin\theta\,\sin 2\omega t \end{aligned}$$

です。第1項は、つねに 0 以上で、平均が $VI\cos\theta$ です。第2項は、正負に振れて平均が 0 になり、振幅が $VI\sin\theta$ です。図5は、この2つに分けた波形です。

どちらの項も、電圧や電流の2倍の周波数で振動します（50 Hz の電源なら 100 Hz）。平均が 0 の第2項は、電源と負荷の間を行き来するだけなので、仕事にはなりません。

$\theta = 60^\circ$ のとき $\cos\theta = 0.5$ なので、$p$ の最大は $1.5VI$、最小は $-0.5VI$、平均は $0.5VI$ です。コイルだけの回路のように $\theta = 90^\circ$ になると、$\cos\theta = 0$ で $P = 0$ です。電力は往復するだけで、消費されません。

電力の三角形と力率の求め方

前の節で出た3つの式を、あらためて並べます。

$$\begin{gathered} S = VI \\ P = VI\cos\theta \\ Q = VI\sin\theta \end{gathered}$$

$P$ と $Q$ を2乗して足すと、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ より $P^2 + Q^2 = (VI)^2 = S^2$ です。つまり、$P$ を底辺、$Q$ を高さ、$S$ を斜辺とする直角三角形ができます。これが電力の三角形で、図6のように、慣例として $Q$ を上向きに描きます。

$$S = \sqrt{P^2 + Q^2}$$

底辺と斜辺の比 $\cos\theta$ が力率です。

$$\text{力率} = \cos\theta = \frac{P}{S}$$

力率は 0 から 1 の値で、1 に近いほど、電源が送り出した電力が有効に使われます。$\theta$ は力率角といい、$\cos\theta$ が分かっているときの $Q$ は、$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}$ から出せます。

力率は電流の大きさにも関わります。単相で $P = VI\cos\theta$ なので、$I = P / (V\cos\theta)$ です。同じ有効電力でも、力率が低いほど電流が大きくなり、電線や機器の負担が増えます。この対策の力率改善は、力率改善の記事で扱います。

RL 直列回路の電力

抵抗 $R$ とコイル（リアクタンス $X_L$）の直列回路では、インピーダンス $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ で、電流は $I = V / Z$ です。電圧と電流の位相差 $\theta$ は、図7の上のインピーダンスの三角形の角で、

$$\cos\theta = \frac{R}{Z}, \qquad \sin\theta = \frac{X_L}{Z}$$

となります。$V = IZ$ を $P = VI\cos\theta$ などに代入すると、

$$\begin{gathered} P = VI\cos\theta = IZ \cdot I \cdot \frac{R}{Z} = I^2R \\ Q = VI\sin\theta = I^2X_L \\ S = VI = I^2Z \end{gathered}$$

です。有効電力は抵抗 $R$ で消費される電力、無効電力はコイルの $X_L$ で往復する電力と読めます。図7のように、インピーダンスの三角形の各辺に $I^2$ を掛けると、電力の三角形になります。

RC 直列回路でも、$X_L$ を $X_C$ に替えれば同じ形で、$Q = I^2X_C$ は進み無効電力です。直列回路の電流の考え方は、直列回路とオームの法則で確かめられます。

遅れ無効電力と進み無効電力

コイルだけの回路では、電流は電圧より $90^\circ$ 遅れます。コンデンサだけの回路では、電流は電圧より $90^\circ$ 進みます。電流が遅れるときを正、進むときを負と決めると、$Q = VI\sin\theta$ の符号が次のように決まります。

負荷	電流	$Q$
コイル	電圧より遅れる	正（遅れ無効電力）
コンデンサ	電圧より進む	負（進み無効電力）

図8は、電圧 $V$ を基準に電流 $I$ の向きを描いた図です。電流が $V$ より遅れる（下側に回る）と $Q > 0$、進む（上側に回る）と $Q < 0$ です。

コイルを使う機器は、遅れ無効電力が必要です。モーターや変圧器は、磁界を作るために電流を遅らせます。図9の蛍光灯の安定器も、コイルで電流を制限する部品なので、遅れ無効電力を使います。

1安定器2蛍光管3配線4ソケット

1. 安定器　コイルで電流を制限する
2. 蛍光管　光を出す
3. 配線　電源側につながる
4. ソケット　蛍光管の端を支える

遅れ無効電力は、進み無効電力で打ち消せます。負荷にコンデンサを並列につなぐと、電源が送る $Q$ が小さくなり、力率が上がります。これが力率改善で、工場や変電設備では、図10のような進相用のコンデンサ設備が使われます。

1コンデンサ缶2碍子3架台

1. コンデンサ缶　進み無効電力を出す
2. 碍子　缶を絶縁して支える
3. 架台　缶を載せる鉄枠

複数の負荷をつないだときの電力の合成

工場や家庭では、モーター、照明、ヒーターなど、力率のちがう負荷が同じ電源につながります。全体の電力は、次のように合成します。

量	足し算	理由
$P$	できる	電力の和になる
$Q$	できる	遅れを正、進みを負として足す
$S$、力率	できない	足した $P$、$Q$ から出す

手順は3つです。(1) 各負荷の $P$ と $Q$ を求める。(2) $P$ どうし、$Q$ どうしを足す。(3) $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ と、力率 $\cos\theta = P / S$ を出す。

図11のように、$S$ は $P$ と $Q$ を直角に組んだ三角形の斜辺です。2つの負荷の $S_1$、$S_2$ をそのまま足すと、実際より大きな値になります。$S$ が足せるのは、2つの負荷の力率が等しく、三角形が同じ向きに重なるときだけです。

分電盤の主幹ブレーカを流れる電流も、この合成で決まります。単相の $V$ なら、すべての負荷の $P$ と $Q$ を足した全体の $S$ を使って、$I = S / V$ です。

1主幹ブレーカ2分岐ブレーカ3端子台

1. 主幹ブレーカ　全負荷の電流が通る
2. 分岐ブレーカ　負荷ごとに回路を分ける
3. 端子台　配線をまとめてつなぐ

電力を複素数で表すと、複素電力 $\dot{S} = \dot{V}\dot{I}^{*}$（$\dot{I}^{*}$ は $\dot{I}$ の共役複素数）の実部が $P$、虚部が $Q$ になり、遅れの $Q$ が正で出ます。電圧の側を共役にする流儀では符号が逆になるので、問題文の定義を確かめてください。複素数の扱いは、複素数と記号法の記事で説明します。

有効電力・無効電力・皮相電力の例題

問題で与えられる量によって、使う式を選びます。

与えられた量	使う式
$V$、$I$、$\theta$	$P = VI\cos\theta$、$Q = VI\sin\theta$
$R$、$X_L$、$V$	$I = V/Z$、$P = I^2R$、$Q = I^2X_L$
$P$ と力率	$S = P/\cos\theta$、$Q = \sqrt{S^2 - P^2}$
複数の負荷	$P$ と $Q$ を足す

解答と解説を見る

$S$ は、電圧と電流の実効値の積です。

$$S = VI = 200 \times 10 = 2000\,\mathrm{[V\cdot A]}$$

$\theta = 30^\circ$ なので、$\cos 30^\circ \approx 0.866$、$\sin 30^\circ = 0.5$ です。

$$\begin{aligned} P &= S\cos\theta \\ &\approx 2000 \times 0.866 \\ &\approx 1732\,\mathrm{[W]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} Q &= S\sin\theta \\ &= 2000 \times 0.5 \\ &= 1000\,\mathrm{[var]} \end{aligned}$$

力率は $\cos 30^\circ \approx 0.866$ で、電流が遅れているので遅れ力率です。

検算すると、$P^2 + Q^2 \approx 1732^2 + 1000^2 \approx 4.0 \times 10^6$ で、$S^2 = 2000^2 = 4.0 \times 10^6$ と一致します。

解答と解説を見る

インピーダンスと電流は、

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\,\Omega \\ I &= \frac{200}{10} = 20\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

です。$P = I^2R$、$Q = I^2X_L$、$S = I^2Z$ に代入します。

$$\begin{aligned} P &= 20^2 \times 8 = 3200\,\mathrm{[W]} \\ Q &= 20^2 \times 6 = 2400\,\mathrm{[var]} \\ S &= 20^2 \times 10 = 4000\,\mathrm{[V\cdot A]} \end{aligned}$$

力率は、

$$\cos\theta = \frac{R}{Z} = \frac{8}{10} = 0.8$$

です。検算すると、$S = VI = 200 \times 20 = 4000\,\mathrm{[V\cdot A]}$ で一致し、$P / S = 3200 / 4000 = 0.8$ とも合います。

解答と解説を見る

力率 $\cos\theta = P / S$ より、

$$S = \frac{P}{\cos\theta} = \frac{18}{0.9} = 20\,\mathrm{[kV\cdot A]}$$

です。$Q$ は電力の三角形から出します。

$$\begin{aligned} Q &= \sqrt{S^2 - P^2} \\ &= \sqrt{20^2 - 18^2} \\ &= \sqrt{76} \\ &\approx 8.72\,\mathrm{[kvar]} \end{aligned}$$

電流は $S = VI$ から求めます。

$$I = \frac{S}{V} = \frac{20 \times 10^3}{200} = 100\,\mathrm{[A]}$$

検算すると、$P = VI\cos\theta = 200 \times 100 \times 0.9 = 18\,\mathrm{[kW]}$ で、与えられた値に戻ります。

解答と解説を見る

負荷Aの皮相電力は $S_A = 8 / 0.8 = 10\,\mathrm{[kV\cdot A]}$ で、無効電力は、

$$Q_A = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\,\mathrm{[kvar]}$$

です。負荷Bは力率 1 なので、$Q_B = 0$ です。$P$ と $Q$ をそれぞれ足します。

$$\begin{aligned} P &= 8 + 4 = 12\,\mathrm{[kW]} \\ Q &= 6 + 0 = 6\,\mathrm{[kvar]} \end{aligned}$$

合成した $S$ と力率は、

$$\begin{aligned} S &= \sqrt{12^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &\approx 13.4\,\mathrm{[kV\cdot A]} \end{aligned}$$$$\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{180}} \approx 0.894$$

です。$S_A + S_B = 10 + 4 = 14\,\mathrm{[kV\cdot A]}$ と足してしまうと、実際の 13.4 より大きくなり、誤りです。

よくある質問

有効電力と消費電力は同じですか。

ふつうは同じ意味で使います。負荷で熱・光・動力に変わる電力で、単位は $\mathrm{[W]}$ です。皮相電力 $VI$ は電圧と電流の積にすぎず、そのまま消費される電力ではありません。

無効電力は、むだに捨てている電力ですか。

捨てているのではなく、電源と負荷の間を往復する電力です。モーターや変圧器は、磁界を作るために無効電力が必要です。ただ、往復する分も電線に電流を流すので、電線の損失が増え、電源や電線の容量も使います。そのため、無効電力は小さいほうが好ましいといえます。

力率 0.8 だけで、遅れか進みか分かりますか。

分かりません。$\cos\theta$ は $\theta$ の符号によらず同じ値になるので、「力率 0.8（遅れ）」のように、遅れか進みかを併記します。電流が電圧より遅れるのはコイル、進むのはコンデンサの性質です。

皮相電力を足してはいけないのはなぜですか。

$S$ は $P$ と $Q$ を直角に合成した長さで、向きのちがう量の和だからです。$P$ どうし、$Q$ どうしは足せますが、$S$ は足し算の結果と一致しません。例題4のように、$P$ と $Q$ を足してから $S$ を出します。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

皮相電力、有効電力、無効電力の単位は何ですか？

皮相電力は $\mathrm{V\cdot A}$、有効電力は $\mathrm{W}$、無効電力は $\mathrm{var}$ です。

電圧と電流の位相差を $\theta$ とすると、$P$ と $Q$ はどう表せますか？

$P = VI\cos\theta$、$Q = VI\sin\theta$ です。皮相電力は $S = VI$ です。

瞬時電力 $p$ を平均すると、何になりますか？

有効電力 $P = VI\cos\theta$ になります。往復する成分の平均は 0 です。

電力の三角形で成り立つ式と、力率の式は？

$S^2 = P^2 + Q^2$、力率は $\cos\theta = P / S$ です。

RL 直列回路の $P$ と $Q$ は、電流 $I$ でどう表せますか？

$P = I^2R$、$Q = I^2X_L$ です。力率は $R / Z$ になります。

力率のちがう複数の負荷を合成するとき、足してよい量はどれですか？

$P$ と $Q$ です（遅れを正、進みを負）。$S$ は足さずに、$\sqrt{P^2 + Q^2}$ で出します。

まとめ

• 皮相電力 $S = VI\ \mathrm{[V\cdot A]}$ は、有効電力 $P\ \mathrm{[W]}$ と無効電力 $Q\ \mathrm{[var]}$ に分かれる。$P = VI\cos\theta$、$Q = VI\sin\theta$
• 瞬時電力 $p = vi$ の平均が $P$ で、往復する成分が $Q$。電力の三角形では $S^2 = P^2 + Q^2$、力率は $\cos\theta = P / S$
• RL 直列回路では、$P = I^2R$、$Q = I^2X_L$、$S = I^2Z$。力率は $R / Z$
• 電流が遅れるコイルの $Q$ は正、進むコンデンサの $Q$ は負で、足し合わせると打ち消し合う
• 複数の負荷は、$P$ と $Q$ を足してから $S$ と力率を出す。$S$ は足せない

電力を複素数で扱うと、$P$ と $Q$ を1つの式にまとめられます。計算の道具は複素数と記号法で確かめましょう。電力を3本の電線で送る場合は三相交流回路で、力率を上げるコンデンサの容量は力率改善で続きを読めます。