電験の複素数の使い方｜記号法（j）でインピーダンスと交流回路を計算

交流回路の計算で手が止まる原因の多くは、位相のずれを三角関数のまま扱うことです。大きさと角度を1つの数にまとめた複素数で表すと、交流も直流と同じ足し算・割り算で解けます。この記事では、複素数の表し方から記号法の手順、複素電力までを順に確認します。

• 複素数を使う理由
  • 位相のずれを、大きさと角度を持つ1つの数で表せる
  • 虚数単位は j（j の2乗 ＝ −1）。電流の記号 i と区別する
• 複素数の表し方と計算
  • 直交形式 a ＋ jb と極形式 Z∠θ を行き来する
  • 足し引きは直交形式、掛け割りは極形式が楽
• j を掛けると 90° 進む
  • j を掛けると 90° 進み、j で割ると 90° 遅れる
• R・L・C と記号法の手順
  • 抵抗は R、コイルは jωL、コンデンサは 1÷(jωC)
  • 電圧を基準に置き、I ＝ V ÷ Z で電流を出す
• 複素電力
  • S ＝ V × I の共役。実部が P、虚部が Q

電験の複素数とは

前の記事では、電圧と電流の位相差 $\theta$ から電力を求めました。コイルやコンデンサがあると、電流は電圧からずれます。図1は2つの正弦波をオシロスコープに映した写真で、一方が先に山になり、もう一方が遅れてついていきます。

1黄の波形2水色の波形3つまみ4入力端子

1. 黄の波形　先に山になる（位相が進む）
2. 水色の波形　少し遅れてついてくる
3. つまみ　波形の大きさや時間幅を調整する
4. 入力端子　2本のケーブルをつなぐ

このずれを $\sin(\omega t - \theta)$ のような三角関数のまま足したり割ったりするのは、手間がかかります。周波数が一定の交流なら、波形は大きさ（実効値）と位相（角度）の2つで決まります。この2つを1つの数にまとめられるのが複素数で、複素数を使って交流回路を計算する方法を記号法といいます。

複素数 $a + jb$ の $a$ を実部、$b$ を虚部といい、$j$ は2乗すると $-1$ になる虚数単位です。

$$j^2 = -1$$

数学では虚数単位に $i$ を使いますが、電気では電流の記号 $i$ と区別するため $j$ を使います。複素数を表す文字には、実数と区別するために $\dot{V}$、$\dot{I}$、$\dot{Z}$ のように上にドットを付け、大きさ（絶対値）は $V$、$I$、$Z$ と書きます。電圧と電流は実効値で表します。

複素数を使うと、直流のオームの法則と同じ形の $\dot{V} = \dot{Z}\dot{I}$ で、交流の電圧・電流・インピーダンスを結べます。

複素数の表し方と四則計算

方眼紙に点を打つように、複素数は平面上の点で表せます。図2の方眼紙の横軸を実部、縦軸を虚部と考えた平面が複素平面で、横軸を実軸、縦軸を虚軸といいます。

1方眼紙2定規3鉛筆

1. 方眼紙　横軸を実部、縦軸を虚部にする
2. 定規　原点から点までの長さ（大きさ）を測る
3. 鉛筆　点や矢印を描く

図3は、複素数 $3 + j4$ を複素平面に描いた図です。点は、右へ 3、上へ 4 の位置にあります。原点から点までの矢印の長さが複素数の大きさ、実軸との角 $\theta$ が偏角です。

直交形式と極形式

実部と虚部で表す $\dot{Z} = a + jb$ を直交形式、大きさと偏角で表す $\dot{Z} = Z\angle\theta$ を極形式といいます。同じ数を $Ze^{j\theta}$ と書く本もあります。直交形式から極形式へは、三平方の定理と逆正接で変換します。

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{a^2 + b^2} \\ \theta &= \tan^{-1}\frac{b}{a} \end{aligned}$$

極形式から直交形式へは、

$$\begin{aligned} a &= Z\cos\theta \\ b &= Z\sin\theta \end{aligned}$$

です。$3 + j4$ なら、$Z = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$、$\theta = \tan^{-1}(4/3) \approx 53.1^\circ$ なので、$5\angle 53.1^\circ$ です。

四則計算

足し算・引き算は直交形式、掛け算・割り算は極形式で計算すると楽です。

計算	楽な形式	手順
足し算・引き算	直交形式	実部どうし、虚部どうし
掛け算	極形式	大きさを掛け、角度を足す
割り算	極形式	大きさを割り、角度を引く

$\dot{A} = a + jb = A\angle\theta_A$、$\dot{B} = c + jd = B\angle\theta_B$ とすると、

$$\begin{aligned} \dot{A} + \dot{B} &= (a + c) + j(b + d) \\ \dot{A}\dot{B} &= AB\angle(\theta_A + \theta_B) \\ \frac{\dot{A}}{\dot{B}} &= \frac{A}{B}\angle(\theta_A - \theta_B) \end{aligned}$$

です。直交形式のまま割り算するときは、分母の共役複素数（虚部の符号を逆にした数）を、分子と分母に掛けます。$(c + jd)(c - jd) = c^2 + d^2$ で、分母が実数になるからです。

$$\begin{aligned} \frac{1}{3 + j4} &= \frac{3 - j4}{(3 + j4)(3 - j4)} \\ &= \frac{3 - j4}{25} \\ &= 0.12 - j0.16 \end{aligned}$$

$\dot{A}$ の共役複素数は $\dot{A}^{*}$ と書きます。極形式なら、偏角の符号が逆になります。

j を掛けると位相が90°進む

$j = 0 + j1 = 1\angle 90^\circ$ です。そのため、複素数に $j$ を掛けると、大きさは変わらず、偏角が $90^\circ$ 増えます。

$$j\dot{A} = A\angle(\theta + 90^\circ)$$

反時計回りに回る向きが「進み」です。$j$ で割ると、$1/j = -j = 1\angle(-90^\circ)$ なので、$90^\circ$ 遅れます。図5のように、$j$ を4回掛けると $360^\circ$ 回って元に戻ります（$j^2 = -1$、$j^4 = 1$）。

R・L・C のインピーダンスと直列・並列

図6の抵抗・コイル・コンデンサのインピーダンスを複素数で表すと、次のとおりです。

1コイル2電解コンデンサ3フィルムコンデンサ4抵抗

1. コイル　虚部が正（電流が遅れる）
2. 電解コンデンサ　虚部が負（電流が進む）
3. フィルムコンデンサ　虚部が負
4. 抵抗　実数（位相はずれない）

素子	インピーダンス	複素平面での向き
抵抗 $R$	$R$	右
コイル $L$	$j\omega L = jX_L$	上
コンデンサ $C$	$\dfrac{1}{j\omega C} = -jX_C$	下

$X_L = \omega L = 2\pi fL$、$X_C = 1/(\omega C)$ で、単位はどちらも $\mathrm{[\Omega]}$ です。コイルは $\dot{V} = jX_L\dot{I}$ なので、電圧が電流より $90^\circ$ 進みます。コンデンサは $\dot{V} = -jX_C\dot{I}$ なので、電流が電圧より $90^\circ$ 進みます。図7のように、上向き（$j$）がコイル、下向き（$-j$）がコンデンサです。

直列と並列

直流の直列・並列と同じ形で、インピーダンスを複素数のまま足したり、合成したりします。図8のように、抵抗とコンデンサなど複数の素子を組み合わせた回路でも、考え方は変わりません。

1赤クリップ2抵抗3コンデンサ4ブレッドボード

1. 赤クリップ　回路に線をつなぐ
2. 抵抗　実数のインピーダンス
3. コンデンサ　虚部が負のインピーダンス
4. ブレッドボード　部品を差し込む板

$$\begin{aligned} \dot{Z}_{\text{直列}} &= \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_{\text{並列}} &= \frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1 + \dot{Z}_2} \end{aligned}$$

RLC 直列なら $\dot{Z} = R + j(X_L - X_C)$ です。並列の枝が多いときは、$\dot{Z}$ の逆数 $\dot{Y} = 1/\dot{Z}$（アドミタンス、単位 $\mathrm{[S]}$）を足すと楽です。並列では $\dot{Y} = \dot{Y}_1 + \dot{Y}_2$ になります。

記号法で電流を求める手順

記号法で電流を求める手順は、図9のとおりです。

電圧を $\dot{V} = V\angle 0^\circ$ と置くのは、基準を1つ決めないと各量の角度が決まらないからです。ほかの量の偏角は、基準の電圧からのずれを表します。電流 $\dot{I}$ の偏角が負なら電流は遅れ、正なら進みです。

図10は、RL 直列回路の例です。インピーダンスは $\dot{Z} = R + jX_L$ で、偏角 $\theta = \tan^{-1}(X_L/R)$ が電圧と電流の位相差になります。電流は、

$$\dot{I} = \frac{\dot{V}}{\dot{Z}} = \frac{V}{Z}\angle(-\theta)$$

で、大きさ $I = V/Z$、偏角 $-\theta$ です。電流は電圧より $\theta$ 遅れます。

キルヒホッフの法則も、複素数のままで成り立ちます。節点では電流の複素数の和が 0、閉路では電圧の複素数の和が 0 です。

複素電力と有効電力・無効電力

有効電力・無効電力・皮相電力は、複素数1つにまとめられます。電圧を $\dot{V} = V\angle 0^\circ$、電流を $\dot{I} = I\angle(-\theta)$ とし、電流の共役 $\dot{I}^{*} = I\angle\theta$ を使うと、複素電力は、

$$\begin{aligned} \dot{S} &= \dot{V}\dot{I}^{*} \\ &= VI\angle\theta \\ &= VI\cos\theta + jVI\sin\theta \end{aligned}$$

です。実部が有効電力 $P\ \mathrm{[W]}$、虚部が無効電力 $Q\ \mathrm{[var]}$、大きさが皮相電力 $S\ \mathrm{[V\cdot A]}$ で、図11のように偏角が力率角 $\theta$ になります。電圧が基準でないときも、$\dot{V}\dot{I}^{*}$ の偏角は電圧と電流の位相差（電圧の偏角から電流の偏角を引いた値）になります。

複素数と記号法の例題

問題で求めるものによって、使う式を選びます。

求めるもの	使う式
形式の変換	三平方の定理と $\tan^{-1}$
インピーダンス	$\dot{V}/\dot{I}$、または素子の合成
電流	$\dot{I} = \dot{V}/\dot{Z}$
電力	$\dot{S} = \dot{V}\dot{I}^{*}$

解答と解説を見る

$\dot{A}$ の大きさは、

$$A = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$$

です。実部が負なので、電卓の値に $180^\circ$ を足します。

$$\begin{aligned} \theta &= \tan^{-1}\frac{3}{-4} + 180^\circ \\ &\approx -36.9^\circ + 180^\circ \\ &= 143.1^\circ \end{aligned}$$

よって $\dot{A} = 5\angle 143.1^\circ$ です。

$\dot{B}$ は、

$$\begin{aligned} a &= 20\cos(-30^\circ) \\ &\approx 17.3 \\ b &= 20\sin(-30^\circ) \\ &= -10 \end{aligned}$$

なので、$\dot{B} \approx 17.3 - j10$ です。

検算すると、$5\cos 143.1^\circ \approx -4.0$、$5\sin 143.1^\circ \approx 3.0$ で、元の $\dot{A}$ に戻ります。

解答と解説を見る

$\dot{Z} = \dot{V}/\dot{I}$ です。分母の共役 $4 + j2$ を、分子と分母に掛けます。

$$\begin{aligned} \dot{Z} &= \frac{100 + j50}{4 - j2} \\ &= \frac{(100 + j50)(4 + j2)}{(4 - j2)(4 + j2)} \end{aligned}$$

分子は $400 + j200 + j200 + j^2 \cdot 100 = 300 + j400$、分母は $4^2 + 2^2 = 20$ です。

$$\dot{Z} = \frac{300 + j400}{20} = 15 + j20\,\mathrm{[\Omega]}$$

極形式では、

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{15^2 + 20^2} = 25 \\ \theta &= \tan^{-1}\frac{20}{15} \approx 53.1^\circ \end{aligned}$$

なので、$\dot{Z} = 25\angle 53.1^\circ\,\mathrm{[\Omega]}$ です。虚部が正なので、$15\,\Omega$ の抵抗と $X_L = 20\,\Omega$ のコイルの直列と読めます。

検算すると、$\dot{V} \approx 111.8\angle 26.6^\circ$、$\dot{I} \approx 4.47\angle(-26.6^\circ)$ なので、大きさは $111.8/4.47 = 25$、偏角は $26.6^\circ - (-26.6^\circ) = 53.2^\circ$ で、一致します（丸めの差）。

解答と解説を見る

インピーダンスは、

$$\begin{aligned} \dot{Z} &= 5 + j12 \\ &= 13\angle 67.4^\circ\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

です（$Z = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$、$\theta = \tan^{-1}(12/5) \approx 67.4^\circ$）。$\dot{V} = 130\angle 0^\circ$ なので、

$$\begin{aligned} \dot{I} &= \frac{130\angle 0^\circ}{13\angle 67.4^\circ} \\ &= 10\angle(-67.4^\circ)\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

です。電流は電圧より $67.4^\circ$ 遅れます。複素電力は、

$$\begin{aligned} \dot{S} &= \dot{V}\dot{I}^{*} \\ &= 130 \times 10\angle 67.4^\circ \\ &= 1300\angle 67.4^\circ \\ &\approx 500 + j1200 \end{aligned}$$

なので、$P = 500\,\mathrm{[W]}$、$Q = 1200\,\mathrm{[var]}$（遅れ）、$S = 1300\,\mathrm{[V\cdot A]}$ です。

検算すると、$I^2R = 10^2 \times 5 = 500$、$I^2X_L = 10^2 \times 12 = 1200$ で、一致します。

解答と解説を見る

各枝の電流は、

$$\begin{aligned} \dot{I}_R &= \frac{100}{20} = 5\,\mathrm{[A]} \\ \dot{I}_C &= \frac{100}{-j10} = j10\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

です（$1/(-j) = j$）。全電流は、

$$\begin{aligned} \dot{I} &= \dot{I}_R + \dot{I}_C \\ &= 5 + j10 \\ &\approx 11.2\angle 63.4^\circ\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

で、電流は電圧より $63.4^\circ$ 進みます。合成インピーダンスは、

$$\begin{aligned} \dot{Z} &= \frac{100}{5 + j10} \\ &= \frac{100(5 - j10)}{125} \\ &= 4 - j8\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

です。虚部が負なので、コンデンサの性質が出ています。

検算すると、アドミタンスは $\dot{Y} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{-j10} = 0.05 + j0.1\,\mathrm{[S]}$ です。この逆数は $1/\dot{Y} = 4 - j8$ で、一致します。

よくある質問

複素数の電圧は、実効値と最大値のどちらで表しますか。

電験の記号法では、ふつう実効値で表します。最大値で表した値は実効値の $\sqrt{2}$ 倍です。$P = VI\cos\theta$ や $\dot{S} = \dot{V}\dot{I}^{*}$ がそのまま使えるのは、実効値のときです。問題文でどちらか確かめてください。

電流が遅れているとき、偏角は正と負のどちらですか。

電圧を基準にしたとき、遅れている電流の偏角は負です。電流が進んでいれば正になります。インピーダンス $\dot{Z}$ の偏角は逆で、RL 直列のようにコイルの性質が強ければ正、コンデンサの性質が強ければ負です。

角度は度とラジアンのどちらで書きますか。

この記事では度で書いています。ラジアンでも同じ数を表せるので、問題文の指定に合わせてください。電卓で三角関数を使うときは、角度の単位の設定（DEG か RAD）を確かめます。

複素数なしで、交流回路は解けませんか。

解けます。電圧と電流のフェーザ図を描き、三平方の定理と三角比で解く方法もあります。ただ、直列と並列が混ざった回路や、枝が多い回路では、複素数のほうが手順が決まっていて、計算ミスを減らせます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

虚数単位 $j$ は、2乗すると何になりますか？

$j^2 = -1$ になります。

複素数 $3 + j4$ の大きさと偏角は何ですか？

大きさは $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$、偏角は $\tan^{-1}(4/3) \approx 53.1^\circ$ です。

極形式で掛け算・割り算をするとき、大きさと角度はどうしますか？

掛け算は大きさを掛けて角度を足し、割り算は大きさを割って角度を引きます。

複素数に $j$ を掛けると、位相はどうなりますか？

$90^\circ$ 進みます。$j$ で割ると $90^\circ$ 遅れます。

抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスを、複素数で書くと？

抵抗は $R$、コイルは $j\omega L = jX_L$、コンデンサは $1/(j\omega C) = -jX_C$ です。

複素電力 $\dot{S}$ の式と、実部・虚部の意味は？

$\dot{S} = \dot{V}\dot{I}^{*}$ で、実部が有効電力 $P$、虚部が無効電力 $Q$ です（遅れ負荷で $Q$ が正）。

まとめ

• 複素数 $a + jb$ は、実部と虚部の直交形式、または大きさと偏角の極形式 $Z\angle\theta$ で表す。足し引きは直交形式、掛け割りは極形式が楽
• $j$ は $1\angle 90^\circ$。掛けると $90^\circ$ 進み、割ると $90^\circ$ 遅れる
• インピーダンスは、抵抗が $R$、コイルが $jX_L$、コンデンサが $-jX_C$。直列は足し、並列は $\dot{Y} = 1/\dot{Z}$ を足す
• 記号法は、電圧を $V\angle 0^\circ$ に置き、$\dot{I} = \dot{V}/\dot{Z}$ で電流を出す。偏角が負なら電流は遅れ
• 複素電力 $\dot{S} = \dot{V}\dot{I}^{*}$ の実部が $P\ \mathrm{[W]}$、虚部が $Q\ \mathrm{[var]}$、大きさが $S\ \mathrm{[V\cdot A]}$

複素数で電力を扱う考え方は、有効電力・無効電力・皮相電力の記事で確かめましょう。3つの電圧が $120^\circ$ ずつずれる回路にも、同じ記号法が使えます。続きは三相交流回路で読めます。