RLC直列回路のインピーダンスの求め方｜リアクタンスXL・XCと位相角を図解

前の記事では、交流の電圧と電流は、同じ周波数でも位相がずれることがある、と確かめました（正弦波交流の実効値）。コイルやコンデンサのある回路では、このずれが実際に起こります。そこで、交流回路で抵抗にあたる量としてインピーダンスを使います。この記事では、抵抗・コイル・コンデンサの電流と電圧の関係から、RLC 直列回路のインピーダンスと位相角を、図と例題で順に求めます。直流の直列回路で「合成抵抗を求めて、電流は電圧÷抵抗」としたのと同じ流れ（直列回路とオームの法則）が、交流でも使えます。

• インピーダンスとは
  • 電圧と電流の比 Z ＝ V ÷ I。R と X を合わせた電流の流れにくさ
• 抵抗・コイル・コンデンサに交流を流したときの電流
  • 抵抗は同相、コイルは 90° 遅れ、コンデンサは 90° 進み
• 誘導性リアクタンス XL と容量性リアクタンス XC
  • XL ＝ ωL は f に比例、XC ＝ 1/(ωC) は f に反比例
• RL 直列回路・RC 直列回路のインピーダンス
  • R と X は 90° ずれるので足さず、直角三角形の斜辺として Z を求める
• RLC 直列回路のインピーダンスと位相角
  • X ＝ XL － XC。XL と XC は打ち消し合う
• RLC 直列回路の例題
  • XL・XC → Z → I → 各部の電圧の順に求める

インピーダンスとは

直流回路では、電圧を電流で割ったものが抵抗でした（$R = V/I$）。交流回路でも、電圧と電流（どちらも実効値）の比を考えます。これをインピーダンス $Z$ といい、単位は抵抗と同じ $\mathrm{[\Omega]}$ です。

$$Z = \frac{V}{I}\,\mathrm{[\Omega]}$$

図1のように、中身がどんな回路でも、電圧と電流を測れば $Z$ が決まります。

インピーダンスは、電流を流れにくくする 2 つの成分でできています。

名前	記号	働き
抵抗	$R$	電力を消費する
リアクタンス	$X$	位相をずらす
インピーダンス	$Z$	$R$ と $X$ を合わせた量

リアクタンスは、コイルやコンデンサによる成分です。電流を流れにくくしますが、熱にはならず、電源とのあいだでエネルギーを行き来させるだけで、電力は消費しません。$R$ と $X$ は位相の向きがちがうので、$Z = R + X$ と足すことはできません。合わせ方は、図6の三角形で確かめます。複素数で $Z = R + jX$ と表して計算する方法もあります（複素数の使い方）。この記事では、大きさと位相角を三角形で求める方法を使います。

抵抗・コイル・コンデンサに交流を流したときの電流

3 つの素子に同じ交流電圧 $v$ を加えたとき、電流 $i$ の位相は、図2のようにちがいます。

• 抵抗：電流は電圧と同時に山・谷になります（同相）。
• コイル：電流が電圧より $90^\circ$ 遅れます。コイルは電流の変化を妨げる向きに電圧を生じるので、電圧が最大の瞬間は電流の変化がいちばん速く、電流は 0 を横切ります。
• コンデンサ：電流が電圧より $90^\circ$ 進みます。電圧が 0 の瞬間にいちばん大きな電流が流れ込み、電圧が最大になって充電が終わる瞬間に電流は 0 になります。

素子	電流	ずれ
抵抗 $R$	同相	$0^\circ$
コイル $L$	遅れ	$90^\circ$
コンデンサ $C$	進み	$90^\circ$

コイルは、導線を巻いた部品です。図3は、鉄心に銅線を巻いたコイルが円形に並んだ部品で、モーターなどの巻線はこのような形をしています。

1コイル2鉄心3外側の鉄心

1. コイル　導線を巻いた部分。交流の電流の変化を妨げる
2. 鉄心　薄い鋼板を重ねた部分
3. 外側の鉄心　円形の外枠

誘導性リアクタンス XL と容量性リアクタンス XC

コイルの電流の流れにくさを誘導性リアクタンス $X_L$、コンデンサの電流の流れにくさを容量性リアクタンス $X_C$ といいます。どちらも単位は $\mathrm{[\Omega]}$ です。

$$\begin{aligned} X_L &= \omega L = 2\pi f L \\ X_C &= \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} \end{aligned}$$

$L$ は $\mathrm{[H]}$、$C$ は $\mathrm{[F]}$、$f$ は $\mathrm{[Hz]}$ で代入します。$X_L$ は周波数に比例して大きくなり、$X_C$ は周波数に反比例して小さくなります。図4は、$L = 50\,\mathrm{[mH]}$、$C = 100\,\mathrm{[\mu F]}$ の場合です。

2 本が交わる周波数では、$X_L = X_C$ になります。この周波数が共振周波数で、共振の記事で扱います。

素子	高周波	直流
コイル	大きくなる	0（短絡）
コンデンサ	小さくなる	∞（開放）

直流は周波数 $f = 0$ の場合です。コイルは電流を妨げる働きがなくなり、コンデンサは電流を流さなくなります。

多くの古いラジオは、つまみを回して可変コンデンサの容量 $C$ を変え、受信する周波数を選びます。図5のつまみは、その操作部の例です。

1つまみ2ダイヤル窓3布張りの部分

1. つまみ　回して受信する周波数を選ぶ
2. ダイヤル窓　選んだ周波数を示す部分
3. 布張りの部分　スピーカーがある側の前面

RL 直列回路・RC 直列回路のインピーダンス

抵抗 $R$ とコイル $L$ を直列につなぐと、同じ電流 $I$ が流れます。電圧は、抵抗の $V_R = RI$ が電流と同相、コイルの $V_L = X_L I$ が電流より $90^\circ$ 進みます。2 つは $90^\circ$ ずれているので、大きさを足すことはできず、直角三角形の 2 辺として三平方の定理で合成します。

$$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$$

各辺を電流 $I$ で割ると、インピーダンスの三角形になります。

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ \theta &= \tan^{-1}\frac{X_L}{R} \end{aligned}$$

図6は、$R : X_L = 3 : 4$ の例です。このとき $Z$ は、辺の比が $3 : 4 : 5$ の斜辺になります。$\theta$ は、電圧が電流より進む角（位相角）で、電流から見れば電流が $\theta$ 遅れます。

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ の直列では、コンデンサの電圧 $V_C = X_C I$ が電流より $90^\circ$ 遅れます。三角形では、$V_C$ と $X_C$ を下向きにとります。

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_C^2} \\ \theta &= \tan^{-1}\frac{X_C}{R} \end{aligned}$$

図7のとき、電圧は電流より $\theta$ 遅れる、つまり電流は電圧より $\theta$ 進みます。

回路	$Z$	電流
RL 直列	$\sqrt{R^2 + X_L^2}$	遅れる
RC 直列	$\sqrt{R^2 + X_C^2}$	進む

コイルのリアクタンスは、電流を抑える目的でも使われます。たとえば蛍光灯の安定器は、鉄心にコイルを巻いたもので、リアクタンスで電流を制限します。抵抗で電流を抑えると熱になって電力を消費しますが、リアクタンスなら損失が少なくて済みます。図8は、鉄心に銅線を巻いたコイルが、細長い金属の器具の中に取り付けられたようすです。

1巻線2鉄心3端子台

1. 巻線　鉄心に巻いた銅線のコイル
2. 鉄心　薄い鋼板を重ねた部分
3. 端子台　配線をつなぐ部品

RLC 直列回路のインピーダンスと位相角

抵抗・コイル・コンデンサを直列につなぐと、図9のように、同じ電流 $i$ が 3 つに流れます。

電圧は、$V_R$ が電流と同相、$V_L$ が $90^\circ$ 進み、$V_C$ が $90^\circ$ 遅れます。$V_L$ と $V_C$ は互いに逆向き（$180^\circ$ ずれ）なので打ち消し合い、差 $V_L - V_C$ だけが残ります。リアクタンスも同じで、合わせると $X = X_L - X_C$ です。これを RL 直列の $X_L$ のかわりに使えば、インピーダンスと位相角が決まります。

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ \theta &= \tan^{-1}\frac{X_L - X_C}{R} \end{aligned}$$

三角形の縦の辺は、$X_L$ が大きければ上向き、$X_C$ が大きければ下向きです。図10のように、上向きなら誘導性、下向きなら容量性の回路といいます。

条件	性質	電流
$X_L > X_C$	誘導性	遅れる
$X_L < X_C$	容量性	進む
$X_L = X_C$	抵抗だけ	同相

$X_L = X_C$ のとき、リアクタンスが打ち消し合って $Z = R$ となり、$Z$ は最小になります。これが共振です（共振）。

電圧のようすも見ておきます。後の例題3の数値（$V_R = 96\,\mathrm{[V]}$、$V_L = 128\,\mathrm{[V]}$、$V_C = 100\,\mathrm{[V]}$）で描くと、図11のようになります。

コイル・コンデンサ・抵抗を 1 枚の基板に組み合わせた回路は、周波数によって電流の流れやすさが変わる性質を使い、音などの信号から必要な周波数の成分を選ぶ回路などに使われます。図12は、その部品を並べた例です。

1コイル2コンデンサ3抵抗4コイル

1. コイル　銅線を巻いた大きな部品。誘導性リアクタンスをもつ
2. コンデンサ　黄色い箱形の部品。容量性リアクタンスをもつ
3. 抵抗　白い角柱形の部品。電力を消費する
4. コイル　リング状に巻いたもの

RLC 直列回路の例題

合成したリアクタンスを $X = X_L - X_C$ とすると、例題で使う式は次のとおりです。

求めるもの	式
リアクタンス	$X_L = \omega L$、$X_C = 1/(\omega C)$
インピーダンス	$Z = \sqrt{R^2 + X^2}$
電流・位相角	$I = V/Z$、$\tan\theta = X/R$

解答と解説を見る

単位を $\mathrm{H}$、$\mathrm{F}$ に直して代入します。コイルのリアクタンスは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} X_L &= 2\pi f L \\ &= 2\pi \times 50 \times 0.05 \\ &\approx 15.7\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

コンデンサのリアクタンスは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{2\pi f C} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 50 \times 100 \times 10^{-6}} \\ &\approx 31.8\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

周波数が 2 倍になると、$X_L$ は 2 倍の約 $31.4\,\mathrm{[\Omega]}$、$X_C$ は半分の約 $15.9\,\mathrm{[\Omega]}$ になります。

解答と解説を見る

まず、コイルのリアクタンスを求めます。

$$\begin{aligned} X_L &= \omega L \\ &= 1000 \times 0.04 \\ &= 40\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

インピーダンスは、三平方の定理で求めます。

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{30^2 + 40^2} \\ &= 50\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

電流は、電圧を $Z$ で割ります。

$$\begin{aligned} I &= \frac{V}{Z} \\ &= \frac{100}{50} \\ &= 2\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

位相角は、次のとおりです。電流は電圧より約 $53.1^\circ$ 遅れます。

$$\begin{aligned} \theta &= \tan^{-1}\frac{X_L}{R} \\ &= \tan^{-1}\frac{40}{30} \\ &\approx 53.1^\circ \end{aligned}$$

各部の電圧は、$V_R = RI = 60\,\mathrm{[V]}$、$V_L = X_L I = 80\,\mathrm{[V]}$ です。検算すると、次のとおり電源電圧に一致します。

$$\sqrt{60^2 + 80^2} = 100\,\mathrm{[V]}$$

解答と解説を見る

リアクタンスは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} X_L &= \omega L = 1000 \times 0.032 \\ &= 32\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{\omega C} \\ &= \frac{1}{1000 \times 40 \times 10^{-6}} \\ &= 25\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

$X_L > X_C$ なので誘導性で、合成したリアクタンスは $X = 32 - 25 = 7\,\mathrm{[\Omega]}$ です。

$$\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X^2} \\ &= \sqrt{24^2 + 7^2} \\ &= 25\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} I &= \frac{V}{Z} \\ &= \frac{100}{25} \\ &= 4\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

力率は $\cos\theta = R/Z$ です（力率）。

$$\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{R}{Z} \\ &= \frac{24}{25} \\ &= 0.96 \end{aligned}$$

位相角は約 $16.3^\circ$ で、電流が遅れます。各部の電圧は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} V_R &= RI = 96\,\mathrm{[V]} \\ V_L &= X_L I = 128\,\mathrm{[V]} \\ V_C &= X_C I = 100\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

検算すると、電源電圧に一致します。$V_L$ は電源電圧 $100\,\mathrm{[V]}$ より大きくなっています。

$$\begin{aligned} V &= \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} \\ &= \sqrt{96^2 + 28^2} \\ &= 100\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

解答と解説を見る

電流は、抵抗の電圧から求めます。

$$\begin{aligned} I &= \frac{V_R}{R} \\ &= \frac{120}{40} \\ &= 3\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

$V_R$ と $V_L$ は $90^\circ$ ずれているので、電源電圧は三平方の定理で合成します。

$$\begin{aligned} V &= \sqrt{V_R^2 + V_L^2} \\ &= \sqrt{120^2 + 90^2} \\ &= 150\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

単純に足した $120 + 90 = 210\,\mathrm{[V]}$ は誤りです。リアクタンスは、コイルの電圧を電流で割ります。

$$\begin{aligned} X_L &= \frac{V_L}{I} \\ &= \frac{90}{3} \\ &= 30\,\mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

よくある質問

インピーダンスと抵抗は、何がちがいますか。

抵抗 $R$ は、電力を消費する成分だけです。インピーダンス $Z$ は、$R$ とリアクタンス $X$ を合わせた、電流の流れにくさ全体です。抵抗だけの回路では $Z = R$ です。

$Z = R + X_L + X_C$ と足してはいけないのは、なぜですか。

$R$ と $X$ は位相が $90^\circ$ ずれているので、直角三角形の 2 辺として $\sqrt{\ }$ で合成するからです。また、$X_L$ と $X_C$ は逆向きなので、足すのではなく差をとります。正しくは $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ です。

$V_L$ や $V_C$ が電源電圧より大きくなってもよいのですか。

かまいません。$V_L$ と $V_C$ は逆向きで打ち消し合い、電源電圧に効くのは差だけだからです。例題3では、$V_L = 128\,\mathrm{[V]}$ が電源電圧 $100\,\mathrm{[V]}$ より大きくなっています。

複素数で解く方法とは、どうつながりますか。

複素数で表したインピーダンス $\dot{Z} = R + j(X_L - X_C)$ の大きさが $Z$、偏角が位相角 $\theta$ です。インピーダンスの三角形は、複素数平面にこの $\dot{Z}$ を描いたものと同じです（複素数の使い方）。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

インピーダンス $Z$ の定義と単位は？

$Z = V/I$ で、単位は $\mathrm{[\Omega]}$。$R$ とリアクタンス $X$ を合わせた量です。

抵抗・コイル・コンデンサで、電流は電圧に対してどうずれますか？

抵抗は同相、コイルは $90^\circ$ 遅れ、コンデンサは $90^\circ$ 進みます。

$X_L$、$X_C$ の式と、周波数との関係は？

$X_L = \omega L = 2\pi f L$（$f$ に比例）、$X_C = 1/(\omega C)$（$f$ に反比例）です。

RLC 直列回路のインピーダンスと位相角の式は？

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$、$\tan\theta = (X_L - X_C)/R$ です。

$X_L > X_C$ のときと $X_L < X_C$ のときで、電流の位相はどうなりますか？

$X_L > X_C$ は誘導性で電流が遅れ、$X_L < X_C$ は容量性で電流が進みます。$X_L = X_C$ なら同相です。

$R = 24\,\mathrm{[\Omega]}$、$X_L = 32\,\mathrm{[\Omega]}$、$X_C = 25\,\mathrm{[\Omega]}$ のときの $Z$ は？

$Z = \sqrt{24^2 + (32 - 25)^2} = 25\,\mathrm{[\Omega]}$ です。

まとめ

• インピーダンス $Z = V/I$ は、交流回路で抵抗にあたる量。$R$ とリアクタンス $X$ の 2 つの成分からなる
• 電圧を基準にすると、抵抗は同相、コイルは電流が $90^\circ$ 遅れ、コンデンサは $90^\circ$ 進む
• $X_L = \omega L$ は周波数に比例し、$X_C = 1/(\omega C)$ は周波数に反比例する
• $R$ と $X$ は直角三角形で合成する。$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$、$\tan\theta = (X_L - X_C)/R$
• $X_L > X_C$ なら誘導性（電流が遅れ）、$X_L < X_C$ なら容量性（電流が進む）。$V_L$、$V_C$ は電源電圧より大きくなることがある

次は、$X_L$ と $X_C$ が等しくなる周波数で何が起こるかを、共振で確かめましょう。位相のずれの基本にもどるときは、正弦波交流の実効値を見直してください。