正弦波交流の実効値とは｜最大値・平均値との関係と瞬時値の式を図解

直流回路では、電圧も電流も向きと大きさが一定でした（キルヒホッフの法則まで）。コンセントから来る交流は、向きも大きさも周期的に変わり続けるので、「いまの値」「最大の値」「熱の働きで見た値」を区別して扱います。この記事では、正弦波交流の周期・周波数・位相と、実効値・平均値・波形率・波高率の求め方を、図と例題で順に確認します。

• 正弦波交流とは
  • 向きと大きさが周期的に変わる電圧・電流。波形が sin の形
  • 大きさは、瞬時値・最大値・実効値・平均値で表す
• 周期・周波数・角周波数の関係
  • f ＝ 1 ÷ T、ω ＝ 2πf
• 正弦波交流の瞬時値の式
  • v ＝ Vm sin(ωt ＋ θ)。θ は初期位相
• 位相と位相差の考え方
  • 同じ周波数の2つの波のずれが位相差。先に山が来るほうが進み
• 実効値とは
  • 同じ抵抗に同じ熱を出させる直流の大きさ。正弦波では V ＝ Vm ÷ √2
• 平均値と波形率・波高率
  • 半周期の平均は 2Vm ÷ π。波形率 ＝ 実効値 ÷ 平均値、波高率 ＝ 最大値 ÷ 実効値

正弦波交流とは

直流の電圧は、電池のように向きも大きさも一定です。これに対して交流は、向きも大きさも一定の周期で入れ替わりながら変化します。時間を横軸にして電圧をグラフにすると、図1のように、直流は水平な線、交流は上下に波打つ線になります。

交流の波形が三角関数 $\sin$ の形になったものが正弦波交流です。磁界の中でコイルを一定の速さで回すと、コイルに生じる電圧は正弦波になります。発電所の発電機はこの原理で交流を作るので、電力の分野で交流といえば、ふつう正弦波交流を指します。

図2のオシロスコープは、電圧が時間とともに変わるようすを、画面に波形として映す測定器です。

1画面2波形3格子4つまみ

1. 画面　電圧の時間変化を波形で映す
2. 波形　山と谷がくり返す正弦波
3. 格子　目盛りの読み取りに使う
4. つまみ　波の大きさや位置を調整する

交流の大きさを表す値は、次の4つに分けて使います。

名前	記号	意味
瞬時値	$v$	ある瞬間の値
最大値	$V_m$	波の山の高さ
実効値	$V$	熱の働きで見た値
平均値	$V_{\mathrm{av}}$	半周期の平均

このうち実効値と平均値は、あとの節で求め方を確かめます。

周期・周波数・角周波数の関係

波が1回分くり返す時間を周期 $T\,\mathrm{[s]}$、1秒間にくり返す回数を周波数 $f\,\mathrm{[Hz]}$ といいます。

$$f = \frac{1}{T}$$

日本の商用周波数は、東日本が $50\,\mathrm{[Hz]}$、西日本が $60\,\mathrm{[Hz]}$ です。$50\,\mathrm{[Hz]}$ なら周期は $T = 1/50 = 0.02\,\mathrm{[s]} = 20\,\mathrm{[ms]}$ になります。

交流の波は、長さ $V_m$ の矢印が一定の速さで反時計回りに回るようすで表せます。図3のように、矢印の先の高さを、回った角度に合わせて横に並べると正弦波になります。

矢印が1周すると 360°（$2\pi\,\mathrm{[rad]}$）回るので、回る速さ（角周波数）$\omega$ は、次のとおりです。

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\,\mathrm{[rad/s]}$$

$50\,\mathrm{[Hz]}$ なら $\omega = 2\pi \times 50 \approx 314\,\mathrm{[rad/s]}$、$60\,\mathrm{[Hz]}$ なら $\omega = 2\pi \times 60 \approx 377\,\mathrm{[rad/s]}$ です。回る矢印を複素数で扱う方法は、複素数と記号法で確かめます。

図4の発電機は、回転の速さに応じた周波数の交流を作ります。

1発電機（手前）2発電機（奥）3通路4窓

1. 発電機（手前）　青い円筒形の本体
2. 発電機（奥）　同じ形の機械が奥にも並ぶ
3. 通路　手すり付きの通路
4. 窓　建屋の外は水面

正弦波交流の瞬時値の式

正弦波交流の電圧の瞬時値 $v$ は、時間 $t$ の関数として次のように書けます。

$$v = V_m \sin(\omega t + \theta)$$

記号	名前	単位
$V_m$	最大値	$\mathrm{V}$
$\omega$	角周波数	$\mathrm{rad/s}$
$\theta$	初期位相	$\mathrm{rad}$ や °

$\omega t + \theta$ が、その瞬間の位相（回っている矢印の角度）です。$t = 0$ のとき $v = V_m \sin\theta$ で、$\theta$ は、$t = 0$ で矢印がどこまで回っているかを表します。図5のように、$\theta > 0$ の波は、$\theta = 0$ の波を左（時間の早いほう）へ $\theta$ だけずらした形です。

$\sin(\omega t + 90^\circ) = \cos\omega t$ なので、$\cos$ で書かれた波も同じ正弦波交流です。式を読むときは、$\sin$ の中を同じ単位にそろえます。

位相と位相差の考え方

同じ周波数の2つの交流の波が、時間のずれをどれだけ持つかを表すのが位相差です。電圧と電流を次のようにおくと、位相差 $\phi$ は初期位相の差です。

$$\begin{gathered} v = V_m \sin(\omega t + \theta_v) \\ i = I_m \sin(\omega t + \theta_i) \\ \phi = \theta_v - \theta_i \end{gathered}$$

図6では、電圧 $v$ の山が電流 $i$ の山より $60^\circ$ 先に来ています。このとき「$v$ は $i$ より $60^\circ$ 進んでいる」といい、同じことを「$i$ は $v$ より $60^\circ$ 遅れている」ともいいます。グラフでは、時間は右へ進むので、左にある波のほうが先に同じ値になります。

位相差には、次の呼び名があります。

位相差	呼び名	波のようす
$0^\circ$	同相	山と谷が同時
$90^\circ$	直角	一方が山のとき他方は 0
$180^\circ$	逆相	一方が山のとき他方は谷

コイルでは電流が電圧より $90^\circ$ 遅れ、コンデンサでは $90^\circ$ 進みます。くわしくは、RLC直列回路のインピーダンスで確かめます。

実効値とは

家庭のコンセントの「100 V」は、波の山の高さ（最大値）ではなく、実効値です。交流の電圧や電流の大きさは、とくに断らなければ実効値で表します。

実効値は、熱の働きで直流と比べて決めます。図7のように、同じ抵抗 $R$ に、交流を流したときと直流を流したときで、同じ熱を出すとします。そのときの直流の大きさが、その交流の実効値です。

抵抗で出る熱は、電流の2乗に比例します。そこで、瞬時値を2乗して、平均をとり、平方根をとります（英語で root mean square、略して RMS）。正弦波 $v = V_m \sin\omega t$ の2乗は、次のように変形できます。

$$\begin{aligned} v^2 &= V_m^2 \sin^2\omega t \\ &= \frac{V_m^2}{2}\,(1 - \cos 2\omega t) \end{aligned}$$

図8のように、2乗すると負の部分がなくなり、波は $V_m^2/2$ を中心に上下します。$\cos 2\omega t$ の平均は 0 なので、$v^2$ の平均は $V_m^2/2$ です。

平均の平方根をとると、実効値 $V$ が求まります。

$$V = \sqrt{\frac{V_m^2}{2}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$$

図9に、この手順をまとめます。

実効値 $100\,\mathrm{[V]}$ の電圧の最大値は、$100 \times 1.414 \approx 141\,\mathrm{[V]}$ です。この係数 $1/\sqrt{2}$ は正弦波だけのもので、ほかの波形では変わります。

図10の柱上変圧器で下げた電圧が、家庭に届きます。

1上部の端子2放熱フィン3下部の端子4電線

1. 上部の端子　高圧側の接続部
2. 放熱フィン　中の熱を逃がす
3. 下部の端子　低圧側の接続部
4. 電線　下部の端子から左へ伸びる

家庭の電気機器に表示された「100 V」も、実効値です。図11の扇風機を $100\,\mathrm{[V]}$ の交流につなぐと、電圧は約 $141\,\mathrm{[V]}$ と約 $-141\,\mathrm{[V]}$ のあいだを変わり続けますが、熱の働きでは直流 $100\,\mathrm{[V]}$ と同じ大きさとして数えます。交流の電圧計や電流計も、ふつう実効値を指示するように目盛られています。計器のしくみは、電気計器で確かめます。

1羽根2ガード3モーター4支柱5台

1. 羽根　モーターの回転を風に変える
2. ガード　羽根を囲む網
3. モーター　交流で回る（ガードの後ろ）
4. 支柱　首を支える
5. 台　本体を安定させる

平均値と波形率・波高率

正弦波は、全周期で平均すると正の部分と負の部分が打ち消し合って 0 になります。そこで、電気の分野では平均値を、正の半周期だけの平均で決めます。図12のように、山と同じ面積の長方形の高さが平均値です。

$$V_{\mathrm{av}} = \frac{2V_m}{\pi} \approx 0.637\,V_m$$

実効値 $0.707\,V_m$ と平均値 $0.637\,V_m$ は、近いけれど別の値です。この2つの比と、最大値との比に名前がついています。

$$\begin{aligned} \text{波形率} &= \frac{\text{実効値}}{\text{平均値}} \\[4pt] \text{波高率} &= \frac{\text{最大値}}{\text{実効値}} \end{aligned}$$

正弦波では、波形率が $\dfrac{V_m/\sqrt{2}}{2V_m/\pi} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11$、波高率が $\sqrt{2} \approx 1.414$ です。ほかの波形は、次のようになります。

波形	波形率	波高率
正弦波	$1.11$	$1.414$
方形波	$1$	$1$
三角波	$1.155$	$1.732$

方形波と三角波は、正負が対称な波形です。図13のように、波形が変わると実効値と平均値の比が変わります。三角波の波形率は $2/\sqrt{3} \approx 1.155$、波高率は $\sqrt{3} \approx 1.732$ です。

正弦波交流の例題

例題で使う関係をまとめます。正弦波の場合です。

求めるもの	式
周期・角周波数	$T = 1/f$、$\omega = 2\pi f$
位相差	初期位相の差
実効値	$V = V_m/\sqrt{2}$
平均値	$V_{\mathrm{av}} = 2V_m/\pi$

解答と解説を見る

最大値は、式の係数そのものです。

$$V_m = 200\,\mathrm{[V]}$$

実効値は、最大値を $\sqrt{2}$ で割ります。

$$\begin{aligned} V &= \frac{200}{\sqrt{2}} \\ &= 100\sqrt{2} \\ &\approx 141\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

角周波数は $\omega = 100\pi\,\mathrm{[rad/s]}$ なので、周波数と周期は次のとおりです。

$$\begin{aligned} f &= \frac{\omega}{2\pi} \\ &= \frac{100\pi}{2\pi} \\ &= 50\,\mathrm{[Hz]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} T &= \frac{1}{f} \\ &= \frac{1}{50} \\ &= 0.02\,\mathrm{[s]} \\ &= 20\,\mathrm{[ms]} \end{aligned}$$

初期位相は $\theta = \pi/6\,\mathrm{[rad]} = 30^\circ$ です。

解答と解説を見る

初期位相は、$v$ が $30^\circ$、$i$ が $-30^\circ$ です。位相差は、その差です。

$$\begin{aligned} \phi &= 30^\circ - (-30^\circ) \\ &= 60^\circ \end{aligned}$$

差が正なので、電圧 $v$ のほうが $60^\circ$ 進んでいます（電流 $i$ が $60^\circ$ 遅れています）。

実効値は、最大値を $\sqrt{2}$ で割ります。

$$\begin{aligned} V &= \frac{100}{\sqrt{2}} \\ &\approx 70.7\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} I &= \frac{4}{\sqrt{2}} \\ &\approx 2.83\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

解答と解説を見る

最大値は、実効値の $\sqrt{2}$ 倍です。

$$\begin{aligned} V_m &= \sqrt{2} \times 100 \\ &\approx 141.4\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

平均値は、最大値の $2/\pi$ 倍です。

$$\begin{aligned} V_{\mathrm{av}} &= \frac{2V_m}{\pi} \\ &\approx \frac{2 \times 141.4}{3.1416} \\ &\approx 90.0\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

検算すると、波形率は $100/90.0 \approx 1.11$ で、正弦波の波形率と一致します。

解答と解説を見る

$\sin$ の中を、まず度に直して求めます。

$$\begin{aligned} \omega t &= 100\pi \times \frac{1}{600} \\ &= \frac{\pi}{6} \\ &= 30^\circ \end{aligned}$$

初期位相 $\pi/6 = 30^\circ$ を足すと、位相は $60^\circ$ です。

$$\begin{aligned} v &= 100\sqrt{2}\,\sin 60^\circ \\ &= 100\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 50\sqrt{6} \\ &\approx 122.5\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

解答と解説を見る

実効値と平均値は、最大値からそのまま出ます。

$$\begin{aligned} V &= \frac{60}{\sqrt{3}} \\ &\approx 34.6\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} V_{\mathrm{av}} &= \frac{60}{2} \\ &= 30\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

波形率は、実効値を平均値で割ります。

$$\begin{aligned} \frac{V}{V_{\mathrm{av}}} &= \frac{34.6}{30} \\ &\approx 1.155 \end{aligned}$$

三角波の波形率 $2/\sqrt{3} \approx 1.155$ と一致します。

よくある質問

実効値は、なぜ最大値を √2 で割った値になるのですか。

実効値は、抵抗で出る熱の平均が同じになる直流の大きさです。熱は電流の2乗に比例するので、瞬時値を2乗して平均をとります。正弦波の2乗の平均は最大値の2乗の半分になり、その平方根をとるので、$1/\sqrt{2}$ が出ます。

家庭の 100 V は、最大値と実効値のどちらですか。

実効値です。最大値は約 $141\,\mathrm{[V]}$ で、電圧はこの値と、反対向きの約 $-141\,\mathrm{[V]}$ のあいだを往復しています。

正弦波の平均値が 0 にならないのは、なぜですか。

全周期で平均すれば 0 ですが、電気では、正の半周期だけの平均を平均値と決めているからです。正弦波では、$2V_m/\pi \approx 0.637\,V_m$ になります。

位相が進んでいるか遅れているかは、どう見分けますか。

グラフで、山が左（時間の早いほう）に来る波が、進んでいる波です。式では、初期位相が大きいほうが進みです。$v = \sin(\omega t + 60^\circ)$ と $i = \sin\omega t$ なら、$v$ が $60^\circ$ 進んでいます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

周期 $T$ と周波数 $f$、角周波数 $\omega$ の関係は？

$f = 1/T$、$\omega = 2\pi f$ です。$50\,\mathrm{Hz}$ なら $T = 20\,\mathrm{ms}$ です。

瞬時値の式 $v = V_m\sin(\omega t + \theta)$ の $V_m$、$\omega$、$\theta$ は、それぞれ何ですか？

$V_m$ は最大値、$\omega$ は角周波数、$\theta$ は初期位相です。

電圧の初期位相が $30^\circ$、電流が $-30^\circ$ のとき、位相差と進みの向きは？

位相差は $60^\circ$ で、電圧が進み、電流が遅れています。

正弦波の実効値と最大値の関係は？ それはなぜですか？

$V = V_m/\sqrt{2}$ です。熱は2乗に比例するので、2乗の平均の平方根をとったためです。

正弦波の平均値（半周期）は、最大値の何倍ですか？

$2/\pi \approx 0.637$ 倍です。

波形率と波高率の式と、正弦波での値は？

波形率は実効値÷平均値で約 1.11、波高率は最大値÷実効値で $\sqrt{2} \approx 1.414$ です。

まとめ

• 正弦波交流の大きさは、瞬時値・最大値・実効値・平均値で表す。とくに断らなければ実効値
• 周波数 $f = 1/T$、角周波数 $\omega = 2\pi f$。瞬時値は $v = V_m\sin(\omega t + \theta)$
• 同じ周波数の2つの波の初期位相の差が位相差。山が先に来るほうが進んでいる
• 正弦波の実効値は $V = V_m/\sqrt{2}$、半周期の平均値は $V_{\mathrm{av}} = 2V_m/\pi$
• 波形率は実効値÷平均値（正弦波で約 1.11）、波高率は最大値÷実効値（正弦波で約 1.414）

次は、コイルやコンデンサのある回路で、電圧と電流の位相がどうずれるかを、RLC直列回路のインピーダンスで確かめましょう。実効値の電圧と電流から電力を求める方法は、有効電力・無効電力・皮相電力で扱います。