電池の内部抵抗と端子電圧の求め方｜起電力・短絡電流・最大電力の定理

前の記事のオームの法則と直列回路では、電池の電圧は電流によらず一定として計算しました。ところが実際の電池は、電流を流すほど端子の電圧が下がります。

その原因が、電池の中にある内部抵抗です。電池を「理想の電源と内部抵抗 $r$ の直列」と見れば、端子電圧は $V = E - rI$ で求まり、負荷の電力が最大になる条件（$R = r$）も同じ考え方で出てきます。この記事では、内部抵抗の意味、端子電圧と短絡電流、内部抵抗の求め方、電池の直列・並列、最大電力の定理までを、例題で手を動かしながら順に確認します。

• 電池の内部抵抗とは
  • 電池は、起電力 E の理想電源と内部抵抗 r の直列で表す
• 端子電圧と電流の関係
  • V ＝ E − rI。電流が増えるほど端子電圧は下がる
  • 端子を直接つなぐと、短絡電流 E ÷ r が流れる
• 内部抵抗の求め方と例題
  • 負荷を 2 通りにして連立する。開放電圧と負荷時の電圧からも求まる
• 電池の直列・並列接続
  • 直列は E も r も足す。同じ電池 n 個の並列は E そのまま、r は 1/n
• 最大電力の定理
  • R ＝ r のとき負荷の電力が最大。そのときの効率は 50%

電池の内部抵抗とは

電池は回路に電圧を加え続ける部品ですが、電池そのものにも電気の流れにくさがあります。これが内部抵抗です。電池の中の材料や電解液は電流を完全には通さないので、電流が流れると、電池の内側でも電圧が下がります。

そこで回路図では、電池を「起電力 $E$ の理想の電源」と「内部抵抗 $r$」の直列で描きます。図1の破線の枠が、実際の電池 1 個です。

起電力 $E$ は、電流が流れていないときの端子の電圧（開放電圧）です。電流 $I$ が流れると、内部抵抗の中で $rI$ だけ電圧が下がり、端子から取り出せる電圧（端子電圧）$V$ は $E$ より小さくなります。

身近な例が懐中電灯です。電池を入れた懐中電灯は、電池（電源と内部抵抗）に、光る部分（負荷）をつないだ回路になっています。

1ヘッド2本体3乾電池4キャップ

1. ヘッド　光る部分。電池から見た負荷
2. 本体　電池を入れる筒
3. 乾電池　内部抵抗 r を持つ電源
4. キャップ　外した後ろのふた

端子電圧と電流の関係

内部抵抗 $r$ の中でも電流 $I$ は流れるので、端子電圧 $V$ は、起電力から内部抵抗の電圧降下 $rI$ を引いたものになります。

$$V = E - rI$$

電流が増える（負荷が重くなる）ほど $V$ は下がり、電流が 0 のときは $V = E$ です。負荷 $R$ をつなぐと、電流は $E$ と合成抵抗 $R + r$ から決まります。

$$\begin{aligned} I &= \frac{E}{R + r} \\ V &= RI = \frac{R}{R + r}E \end{aligned}$$

$V = RI$ は負荷の両端の電圧で、これは $V = E - rI$ と同じ値になります。内部抵抗 $r$ が負荷 $R$ に比べて小さいほど、$V$ は $E$ に近くなります。

$V = E - rI$ を、縦軸を $V$、横軸を $I$ のグラフにすると、右下がりの直線になります（図3）。

この直線から、3 つのことが読み取れます。

• 縦軸との交点（$I = 0$）の電圧が、起電力 $E$
• 横軸との交点（$V = 0$）の電流が、短絡電流 $I_s = E/r$
• 直線の傾きの大きさが、内部抵抗 $r$

短絡電流は、電池の端子を抵抗 0 の導線で直接つないだ（$R = 0$）ときに流れる電流です。つなぎ方ごとの電流と端子電圧を、表にまとめます。

状態	電流 $I$	端子電圧 $V$
開放（負荷なし）	0	$E$
負荷 $R$ をつなぐ	$E/(R + r)$	$E - rI$
短絡（$R = 0$）	$E/r$	0

なお、内部抵抗は、いつも同じ値とは限りません。電池は寒いところや使い込んだものほど、内部抵抗が大きくなる傾向があります。冬の朝に車のエンジンがかかりにくいのも、バッテリーの内部抵抗が大きくなり、大きな電流を流すと端子電圧が下がるのが一因とされています。電験三種の計算問題では、断りがなければ $r$ は一定の値として扱います。電池の中で起きる化学反応（鉛蓄電池の充電と放電など）は、電気分解と電池の計算で扱っています。

内部抵抗の求め方

内部抵抗は、電池の端子の電圧と電流を測って求めます。電池をテスターで直接測っても、内部抵抗は分かりません。電流が流れていない状態では、内部抵抗の電圧降下が 0 だからです。負荷をつないで電流を流し、そのときの電圧との差から求めます。

方法は 2 つあります。

方法 1　開放電圧と、負荷をつないだときの値から求める

負荷をつながずに電圧計で測った値 $V_0$ が、起電力 $E$ です。電圧計の内部抵抗は電池の内部抵抗よりずっと大きいので、ほとんど電流は流れません。次に負荷 $R$ をつなぎ、端子電圧 $V$ と電流 $I$ を測ります。$V = E - rI$ を変形すると、$r$ が求まります。

$$r = \frac{V_0 - V}{I}$$

方法 2　負荷を 2 通りにして連立する

起電力 $E$ が分からないときは、負荷を取り替えて、$V_1$、$I_1$ と $V_2$、$I_2$ の 2 組を測ります。$V = E - rI$ を 2 つ立て、引き算すると、$E$ が消えます。

$$\begin{aligned} V_1 &= E - rI_1 \\ V_2 &= E - rI_2 \end{aligned}$$ $$r = \frac{V_1 - V_2}{I_2 - I_1}$$

$r$ が求まったら、$E = V_1 + rI_1$ に入れて $E$ を求めます。

1黒の棒2赤の棒3乾電池4テスター

1. 黒の棒　電池の一方の端に当てる
2. 赤の棒　＋側の端に当てる
3. 乾電池　測られる電池
4. テスター　電圧を読む計器

内部抵抗の例題

解答と解説を見る

まず、オームの法則で電流を求めます。

$$\begin{aligned} I_1 &= \frac{2.1}{1.4} = 1.5\,\mathrm{[A]} \\ I_2 &= \frac{2.7}{5.4} = 0.5\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

$V = E - rI$ に代入して、連立します。

$$\begin{aligned} 2.1 &= E - 1.5\,r \\ 2.7 &= E - 0.5\,r \end{aligned}$$

下の式から上の式を引くと、$E$ が消えます。

$$0.6 = 1.0\,r$$$$r = 0.6\,\Omega$$

下の式に戻して、$E$ を求めます。

$$\begin{aligned} E &= 2.7 + 0.5 \times 0.6 \\ &= 3.0\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

検算します。$R_1$ のとき $I = 3.0/(1.4 + 0.6) = 1.5\,\mathrm{[A]}$、$R_2$ のとき $I = 3.0/(5.4 + 0.6) = 0.5\,\mathrm{[A]}$ で、測った値と一致します。

つぎは、グラフから読み取る問題です。

解答と解説を見る

(1) 電流が 0 のときの電圧が起電力です。$E = 4.5\,\mathrm{[V]}$ です。

(2) 直線の傾きの大きさが内部抵抗です。

$$\begin{aligned} r &= \frac{4.5 - 3.0}{3 - 0} \\ &= 0.5\,\Omega \end{aligned}$$

(3) 端子電圧が 0 になる電流が、短絡電流です。

$$\begin{aligned} I_s &= \frac{E}{r} \\ &= \frac{4.5}{0.5} = 9\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

グラフの横軸との交点（9）と一致します。

(4) $V = E - rI$ に代入します。

$$\begin{aligned} V &= 4.5 - 0.5 \times 2 \\ &= 3.5\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

電池の直列・並列接続

電池は、1 個で足りないとき、直列や並列につないで使います。このとき、全体を 1 個の電池（起電力と内部抵抗）に置き換えて考えます。

直列接続は、起電力も内部抵抗も足し算です。電池 1（$E_1$、$r_1$）と電池 2（$E_2$、$r_2$）を同じ向きに直列につなぐと、次のようになります（図8）。

$$\begin{aligned} E &= E_1 + E_2 \\ r &= r_1 + r_2 \end{aligned}$$

負荷 $R$ の電流は、$I = E/(R + r)$ に、この $E$ と $r$ を入れて求めます。同じ電池 $n$ 個を直列にすると、起電力は $nE$、内部抵抗は $nr$ です。電池の向きを逆にしてつなぐと、その電池の起電力は引き算になります。

並列接続では、同じ電池 $n$ 個を並列にすると、起電力は $E$ のまま変わりません。内部抵抗だけが、並列の合成抵抗（並列回路の考え方）で $r/n$ になります（図9）。

並列は電圧を上げる接続ではなく、電流を電池の数で分け合う接続です。1 個あたりの負担が $I/n$ に減るので、電池が長持ちします。接続ごとの値を表にまとめます。

接続（同じ電池 $n$ 個）	起電力	内部抵抗
直列	$nE$	$nr$
並列	$E$	$r/n$

起電力が違う電池を並列につなぐと、電池の間に循環電流が流れます。その場合の計算は、ミルマンの定理で一度に解けます。

1乾電池2ケース3リード線

1. 乾電池　4本が並ぶ
2. ケース　黒い樹脂の電池ケース
3. リード線　赤と黒。回路につなぐ

解答と解説を見る

直列なので、起電力と内部抵抗を足します。

$$\begin{aligned} E &= 1.5 + 1.2 = 2.7\,\mathrm{[V]} \\ r &= 0.3 + 0.2 = 0.5\,\Omega \end{aligned}$$

電流と負荷の電圧は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} I &= \frac{2.7}{4.5 + 0.5} \\ &= 0.54\,\mathrm{[A]} \\ V &= 4.5 \times 0.54 \\ &= 2.43\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

各電池の端子電圧は、$V = E - rI$ で求めます。

$$\begin{aligned} V_1 &= 1.5 - 0.3 \times 0.54 \\ &= 1.338\,\mathrm{[V]} \\ V_2 &= 1.2 - 0.2 \times 0.54 \\ &= 1.092\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

検算します。$V_1 + V_2 = 1.338 + 1.092 = 2.43\,\mathrm{[V]}$ で、負荷の電圧と一致します。

最大電力の定理（R ＝ r のとき）

電池に負荷 $R$ をつなぐとき、$R$ で消費される電力 $P$ は、$R$ の値によって変わります。$R$ が小さいと電流は大きいのですが、負荷の電圧が小さく、$R$ が大きいと電圧は高いのですが電流が小さくなります。そのため、途中のどこかで $P$ は最大になります。

負荷の電力は、$P = RI^2$ に $I = E/(R + r)$ を入れて、次のように表せます。

$$\begin{aligned} P &= RI^2 = \frac{E^2 R}{(R + r)^2} \\ &= \frac{E^2}{R + 2r + \dfrac{r^2}{R}} \end{aligned}$$

分子と分母を $R$ で割って、分母を $R + 2r + r^2/R$ の形にしました。$P$ が最大になるのは、この分母が最小のときです。

分母の $R$ と $r^2/R$ の積は $r^2$ で、一定です。積が一定の 2 つの正の数の和は、2 つが等しいとき（相加平均と相乗平均の関係）最小になるので、$R = r^2/R$ より $R = r$ のときです。

$$R + \frac{r^2}{R} \geq 2r$$

このとき分母は $4r$ になり、最大電力は次のとおりです。

$$P_{\max} = \frac{E^2}{4r}$$

図11は、$P$ と $R$ の関係です。$R = r$ で山の頂点になります。

電源が出す電力は $EI$、負荷が使う電力は $RI^2$ なので、効率 $\eta$ は次のようになります。

$$\begin{aligned} \eta &= \frac{RI^2}{EI} = \frac{RI}{E} \\ &= \frac{R}{R + r} \end{aligned}$$

$R = r$ のとき、$\eta = 1/2$、つまり 50% で、電源の出す電力の半分は内部抵抗の中で熱になります。$R$ と $r$ の比を変えて、電力と効率を比べます。電力は、$R = r$ のときの値を 1 としました。

負荷 $R$	電力 $P$	効率 $\eta$
$r/2$	0.89	33%
$r$	1.00（最大）	50%
$2r$	0.89	67%
$4r$	0.64	80%
$9r$	0.36	90%

$R$ を大きくするほど効率はよくなりますが、電力は $R = r$ を過ぎると減っていきます。

ここまでは電池を例にしましたが、回路がもっと複雑でも、負荷をつなぐ 2 つの端子から見た回路を、起電力と内部抵抗にあたる電圧源と抵抗にまとめれば、同じ条件になります。この置き換えを行うのが、テブナンの定理です。そのため、負荷の電力が最大になる条件は、どの回路でも「負荷抵抗が、端子から見た内部の抵抗に等しいとき」です。

解答と解説を見る

(1) $R = r = 5\,\Omega$ のときです。電流は次のとおりです。

$$I = \frac{20}{5 + 5} = 2\,\mathrm{[A]}$$

最大電力は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} P_{\max} &= RI^2 \\ &= 5 \times 2^2 = 20\,\mathrm{[W]} \end{aligned}$$

公式 $E^2/(4r) = 400/20 = 20\,\mathrm{[W]}$ と一致します。

(2) 電源が出す電力は $EI = 20 \times 2 = 40\,\mathrm{[W]}$ です。

$$\eta = \frac{20}{40} = 0.5$$

効率は 50% です。

(3) $R = 20\,\Omega$ のとき、次のようになります。

$$\begin{aligned} I &= \frac{20}{20 + 5} \\ &= 0.8\,\mathrm{[A]} \\ P &= 20 \times 0.8^2 \\ &= 12.8\,\mathrm{[W]} \\ \eta &= \frac{20}{25} \\ &= 0.8 \end{aligned}$$

電力は最大の $20\,\mathrm{[W]}$ より小さくなりますが、効率は 80% に上がります。

よくある質問

起電力と端子電圧は、何が違う？

起電力 $E$ は、電池が本来もっている電圧で、電流が流れていないときの端子の電圧に等しくなります。端子電圧 $V$ は、電流が流れているときに、実際に端子から取り出せる電圧で、$V = E - rI$ です。内部抵抗の中で電圧が $rI$ だけ下がるので、電流が流れている間は $V$ のほうが小さくなります。

問題に「内部抵抗は無視できる」とあるときは、どう計算する？

$r = 0$ として扱います。このとき $V = E$ で、電流が変わっても端子電圧は一定です。理想の電池として、オームの法則や直列・並列の計算だけで解けます。

電池を並列にすると、電圧は上がる？

上がりません。同じ電池を並列にしても、起電力は 1 個のときと同じ $E$ のままです。変わるのは、内部抵抗が $r/n$ になり、電流を多く取り出せるようになる点です。電圧を上げたいときは、直列にします。

最大電力のときの効率は 50% なのに、その条件で使うの？

目的によります。小さな電力を取り出す信号の回路のように、できるだけ大きな電力を取り出したい場面では、$R = r$ に合わせます。一方、電力を送る場面のように、電源の中で失う電力を減らしたいときは、効率を優先して、$R$ を $r$ よりずっと大きくします。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

電池を回路図で描くとき、どう表しますか。

起電力 $E$ の理想の電源と、内部抵抗 $r$ の直列で表します。

端子電圧を表す式は？ 電流が 0 のときの値は？

$V = E - rI$ です。電流が 0 のとき $V = E$ です。

V-I 直線の、縦軸の切片、横軸の切片、傾きの大きさは？

縦軸の切片が起電力 $E$、横軸の切片が短絡電流 $E/r$、傾きの大きさが内部抵抗 $r$ です。

開放電圧 $V_0$ と、負荷をつないだときの $V$、$I$ から、内部抵抗を求める式は？

$r = (V_0 - V)/I$ です。

電池を直列、同じ電池 $n$ 個の並列につなぐと、起電力と内部抵抗は？

直列は $E$ も $r$ も足し算（$nE$、$nr$）、並列は $E$ のままで、$r$ は $r/n$ です。

負荷の電力が最大になる条件、最大電力、そのときの効率は？

$R = r$ のときで、最大電力は $E^2/(4r)$、効率は 50% です。

まとめ

• 電池は、起電力 $E$ の理想電源と内部抵抗 $r$ の直列で表す。電流が流れると、端子電圧は $V = E - rI$ に下がる
• V-I 直線では、縦軸の切片が $E$、横軸の切片が短絡電流 $E/r$、傾きの大きさが $r$
• 内部抵抗は、負荷を 2 通りにして連立するか、$r = (V_0 - V)/I$ で求める
• 直列は $E$ も $r$ も足し算。同じ電池 $n$ 個の並列は、$E$ はそのままで $r$ が $r/n$
• 負荷の電力は $R = r$ のとき最大（$E^2/(4r)$）で、そのときの効率は 50%。効率は $\eta = R/(R + r)$

電圧一定の電池の回路で迷ったらオームの法則と直列回路を、複雑な回路を電源と抵抗 1 個ずつにまとめる方法はテブナンの定理を、見直しましょう。