フィードバック制御と PID 制御｜比例・積分・微分動作の違いと定常偏差を図解

フィードバック制御は、制御の結果（制御量）を測って目標値と比べ、そのずれ（偏差）を小さくするように操作を続ける制御です。代表的な方式が PID 制御で、偏差の大きさ（比例）、積み上げ（積分）、変化の速さ（微分）の 3 つから操作量を決めます。電験三種 機械では、各動作の性質と、比例制御で残る定常偏差 $1/(1+K)$ を押さえておきたいところです。この記事では、制御の分類からオンオフ制御、PID 制御、定常偏差、例題までを図で順に確認します。

• フィードバック制御とは
  • 結果を測って目標と比べ、ずれを直す。フィードフォワード制御との違い
• 制御の分類とオンオフ制御
  • 目標値の形と制御量の種類で分ける。オンオフ制御は上下をくり返す
• PID 制御
  • 比例・積分・微分動作の役割と、PI・PD・PID の組合せ
• 定常偏差の求め方
  • 単位ステップ入力で $e_{ss} = 1/(1+K)$、積分要素があれば 0
• 例題と間違えやすいところ
  • 分類、PID の性質、定常偏差、オンオフの読み取り

フィードバック制御とは？フィードフォワード制御との違い

フィードバック制御とは、制御したい量（制御量）を測り、目標値と比べて、そのずれ（偏差）を小さくする向きに操作を加え続ける制御です。結果を見て直すので、あらかじめ分かっていなかった乱れ（外乱）があっても、偏差として現れれば直せます。

身近な例が、エアコンの室温制御です（図1）。設定温度（目標値）と室温（制御量）を比べ、室温が高ければ冷やし、低ければ弱める、という動作をくり返します。

1エアコン2表示部3ボタン

1. エアコン　室温を変える側。冷風や温風を出す
2. 表示部　設定温度や室温を表示する部分
3. ボタン　目標値（設定温度）を決める

用語を室温の例で並べます。偏差は「目標値 − 制御量」で、これを小さくするように操作量を変えるのがフィードバック制御です。

用語	意味	室温の例
目標値	保ちたい値	設定温度
制御量	制御したい量	室温
偏差	目標値と制御量の差	設定との差
操作量	加える量	冷風の強さ
外乱	乱す原因	窓からの日差し

構成図の描き方や、フィードバック結合の伝達関数の求め方は、ブロック線図と伝達関数で説明しました。この記事では、調節部の動作と、落ち着いたあとに残る偏差を扱います。

フィードフォワード制御との違い

フィードフォワード制御（FF 制御）は、外乱を先に測り、その影響が制御量に出る前に補正する制御です。これに対して、制御量を測って戻す制御を、フィードバック制御（FB 制御）と呼びます。違いを図2と表にまとめます。

項目	FB制御	FF制御
測るもの	制御量	外乱
動き出し	偏差が出てから	影響が出る前
測らない外乱	偏差が出れば直せる	直せない

FF 制御は、外乱の影響が出る前に動けるので速い反面、制御量そのものは測りません。測っていない外乱や、補正のずれは直せません。FB 制御は、原因が何であっても偏差が出れば直せますが、偏差が出てからしか動けません。そこで、両方を組み合わせて使うこともあります。

制御の分類とオンオフ制御

制御は、「目標値がどう変わるか」と「何を制御するか」の 2 つの見方で分けます。この 2 つは別々の分け方なので、1 つの制御が両方の名前を持ちます。

目標値による分類

目標値が一定の制御を定値制御、目標値が変化する制御を追値制御と呼びます。追値制御は、目標値の変わり方で、追従制御・プログラム制御・比率制御に分けます（図3）。

種類	目標値の動き	例
定値制御	一定	室温の維持
追従制御	不規則に変わる	動く目標を追う
プログラム制御	決めた順に変わる	炉の昇温・降温
比率制御	他の量に比例	燃料と空気の比

見分けるときは、目標値が何で決まるかを見ます。変わらなければ定値制御、外から与えられて不規則に動くなら追従制御、時間に沿ってあらかじめ決めてあればプログラム制御、別の量に比例して決まるなら比率制御です。

あらかじめ決めた順序や条件で動作を進めるシーケンス制御は、制御量を目標値に近づけ続けるフィードバック制御とは、目的が違います。

制御量による分類

制御量が何かで分けると、サーボ機構、プロセス制御、自動調整の 3 つになります。

種類	制御量	例
サーボ機構	位置・方位・姿勢	ロボットアーム
プロセス制御	温度・圧力・流量・液位	化学プラント
自動調整	電圧・周波数・回転速度	AVR・調速機

たとえば AVR（自動電圧調整装置）は、制御量が電圧なので自動調整で、目標値が一定なので定値制御でもあります。ロボットアームの先端を動く目標に合わせるなら、サーボ機構で、追従制御です。

プロセス制御は、プラントの配管を流れる流体の圧力・流量・温度・液位などを目標値に保つ制御です（図4）。調節弁の開きを変えて、流量や圧力を調整します。

1アクチュエータ2圧力計3弁本体4配管

1. アクチュエータ　弁を開閉させる駆動部
2. 圧力計　制御量の圧力を測る
3. 弁本体　流体の通り道を広げ狭める
4. 配管　流体が流れる管

サーボ機構は、位置・方位・姿勢のような機械的な量を、目標値に追従させる制御です（図5）。関節の角度を測り、目標の角度とのずれが小さくなるようにモータを動かします。

1モータ2関節3ケーブル

1. モータ　関節を回す力を出す部分
2. 関節　角度を目標に合わせる部分
3. ケーブル　電力や信号を送る配線

オンオフ制御とハンチング

オンオフ制御（2 位置制御）は、偏差の符号だけで、操作量を ON と OFF のどちらかにする制御です。設定温度より室温が低ければヒーターを ON、高ければ OFF にします。仕組みが簡単で、家電から産業用の温度調節まで使われています（図6）。

ただし、設定温度ちょうどで切り替えると、ON と OFF が細かく入れ替わってしまいます。そこで、ON にする温度と OFF にする温度の間に幅を持たせます。この幅を動作すき間（ヒステリシス）と呼びます。

すき間を持たせると、制御量は設定値を中心に、上下をくり返します（ハンチング）。図7は、室温が時定数 25 分で変わる部屋を例に、設定 25 ℃で数値計算した波形です。

すき間を 2 ℃から 4 ℃に広げると、温度の振れも周期も約 2 倍になっています。すき間が広いと切り替えの回数は減り、機器の負担は軽くなりますが、温度の振れは大きくなります。逆にすき間が狭いと、温度は安定しますが、切り替えが増えます。オンオフ制御では、制御量を目標値にぴったり合わせることはできません。

PID 制御の比例・積分・微分動作の違い

PID 制御は、偏差 $e$ から操作量 $u$ を決める調節部の方式の 1 つで、比例（P）動作・積分（I）動作・微分（D）動作を足し合わせます。名前は、Proportional（比例）、Integral（積分）、Derivative（微分）の頭文字です。

P・I・D それぞれの動作

3 つの動作を足した操作量は、次のように書けます。$K$ は比例ゲイン、$T_I$ は積分時間、$T_D$ は微分時間です。

$$\begin{gathered} u = u_P + u_I + u_D \\ u_P = K e \\ u_I = \frac{K}{T_I}\int e\,dt \\ u_D = K T_D \frac{de}{dt} \end{gathered}$$

ラプラス変換して、調節部の伝達関数で表すと次の式です。

$$G_c(s) = K\left(1 + \frac{1}{T_I s} + T_D s\right)$$

$K_I = K/T_I$、$K_D = K T_D$ と置いて、$u = K_P e + K_I \int e\,dt + K_D\, de/dt$ と書く本もあります。同じ内容の別の書き方です。

動作	見るもの	効果と注意
P（比例）	偏差の大きさ	偏差を小さくする。0 にはできない
I（積分）	偏差の積み上げ	偏差を消す。強いと振動しやすい
D（微分）	偏差の変化の速さ	先回りして振動を抑える。雑音に弱い

同じ偏差を 3 つの動作に入れたときの出力を、図8に並べます。偏差 $e$ は 0 から 1 まで直線的に増えて、その後は一定です。

P 動作の出力は、偏差と同じ形です。偏差が一定になれば、出力も一定になります。I 動作の出力は、偏差を積み上げた量なので、偏差が残る限り増え続けます。D 動作の出力は、偏差が変化している間だけ出て、偏差が一定になると 0 に戻ります。

比例制御だけだと偏差が残る理由

P 動作は、偏差に比例して操作量を出します。出力が目標値に一致して偏差が 0 になると、操作量も 0 になります。操作量が 0 になれば、出力は目標値から離れてしまいます。そのため、目標値の少し手前で、小さな偏差を残したまま、操作量とつり合って止まります。この残った偏差を、オフセット（定常偏差）と呼びます。

I 動作は、偏差を積み上げ続けるので、偏差が少しでも残っている間は操作量が増えます。操作量が増えて、偏差が 0 になったところで、積み上げが止まります。このとき、偏差が 0 でも、積み上げた分の操作量が残っているので、出力を目標値に保てます。

PID の組合せと応答の比較

実際には、3 つの動作を組み合わせて使います。機体の傾きを目標に保つドローンのような制御でも、PID 制御の考え方が基本です（図9）。

1ローター2本体3カメラ

1. ローター　回転の速さを変えて姿勢を保つ
2. 本体　傾きや高さを測る機器が入る部分
3. カメラ　機体の下側に付いた撮影用の機器

名前	構成	特徴
P	比例のみ	簡単。オフセットが残る
PI	比例＋積分	オフセットを消せる。行き過ぎやすい
PD	比例＋微分	応答が速い。オフセットは残る
PID	3 つすべて	オフセットを消し、行き過ぎも抑えやすい

図10は、P・PI・PID の応答を、同じ制御対象で比べた数値計算の例です。目標値を 0 から 1 に変えています。

P 制御は、出力が 0.75 で止まり、0.25 のオフセットが残ります。PI 制御は、オフセットが 0 になりますが、いったん目標値を行き過ぎてから戻ります。PID 制御は、D 動作の先回りで行き過ぎが小さく、早く落ち着きます。数値は、この図の例のものです。

定常偏差の求め方（比例ゲイン K との関係）

定常偏差とは、時間がたって出力が落ち着いたあとに残る偏差です。目標値 $R(s)$、一巡伝達関数 $G(s)$ の単位フィードバック系では、偏差 $E(s)$ は次の式で表せます。この式は、ブロック線図の等価変換から出ます。

$$E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)}$$

目標値が単位ステップ入力のとき、落ち着いたあとの偏差（定常偏差 $e_{ss}$）は、$s = 0$ のときの一巡伝達関数 $G(0)$ を使って、次のようになります。

$$e_{ss} = \frac{1}{1 + G(0)}$$

一次遅れの制御対象を比例制御する場合は、$G(s) = K/(1 + Ts)$ なので、$G(0) = K$ です。

$$e_{ss} = \frac{1}{1 + K}$$

偏差の分だけ出力が届かないので、最終的な出力は $K/(1+K)$ です。比例ゲイン $K$ を大きくすると、偏差は小さくなります（図11、下の表）。

K	定常偏差	最終の出力
1	0.5	0.5
4	0.2	0.8
9	0.1	0.9

$K$ を大きくすると、偏差が小さくなるだけでなく、応答も速くなります。閉ループの時定数は $T/(1+K)$ になるからです。ただし、$K$ を大きくしすぎると、振動して不安定になることがあります。

一巡伝達関数に積分要素（$1/s$ の因子）が含まれていれば、$s \to 0$ で $G(s) \to \infty$ になるので、定常偏差は 0 です。I 動作を含む PI 制御や PID 制御で、オフセットが消えるのはこのためです。

例題と間違えやすいところ

解答と解説を見る

(a)、(c)、(d) が正しいです。

(a) は、制御量が電圧で目標値が一定なので、自動調整であり、定値制御です。正しい記述です。

(b) は、目標値が一定なので、定値制御です。プログラム制御は、目標値が決めた順に変わる制御なので、誤りです。

(c) は、目標値が不規則に動くので、追従制御です。正しい記述です。

(d) は、目標値が別の量（燃料の流量）に比例して決まるので、比率制御です。正しい記述です。

解答と解説を見る

誤っているのは (d) です。

微分動作は、偏差の変化の速さに反応します。偏差が一定なら、変化の速さは 0 なので、出力も 0 です。偏差が一定のまま残っていても、微分動作は打ち消しません。(a)、(b)、(c) は、前の節で確認した性質のとおりで、正しい記述です。

解答と解説を見る

(1) 単位ステップ入力の定常偏差は、$1/(1+G(0))$ です。

$$\begin{gathered} G(0) = K = 4 \\ e_{ss} = \frac{1}{1 + 4} = 0.2 \end{gathered}$$

出力の最終値は、$1 - 0.2 = 0.8$ です。$T$ は応答の速さに関係しますが、最終的な偏差には関係しません。

(2) 定常偏差が 5 ％以下の条件は、

$$\begin{gathered} \frac{1}{1+K} \le 0.05 \\ 1 + K \ge 20 \\ K \ge 19 \end{gathered}$$

なので、最小の整数値は $K = 19$ です。$K = 19$ のとき偏差はちょうど 0.05、$K = 18$ のとき約 0.053 で、条件を満たしません。

(3) $s \to 0$ で、$G(s) \to K/s \to \infty$ になるので、$1/(1+G(s))$ は 0 に近づき、$e_{ss} = 0$ です。積分要素（$1/s$）を含むので、定常偏差は 0 になります。

図12は、ある部屋の室温を、設定 25 ℃のオンオフ制御で保ったときの記録です。

解答と解説を見る

(1) 室温が下がって 23 ℃になると ON になり、上がって 27 ℃になると OFF になります。グラフの最低値と最高値を読みます。

(2) ON の温度と OFF の温度の差なので、$27 - 23 = 4\ [{}^{\circ}\mathrm{C}]$ です。

(3) 山が約 10 分、約 30 分、約 51 分にあるので、周期は約 20 分です。

(4) すき間を狭めると、周期は短くなり、切り替えの回数は増えます。図7の上段（すき間 2 ℃）は、周期が約 10 分で、図12より半分ほどになっています。そのかわり、温度の振れは小さくなります。

間違えやすいところを整理します。

よくある質問

フィードバック制御とフィードフォワード制御の違いは何ですか。

フィードバック制御は、制御量（結果）を測って目標値と比べ、ずれを直します。フィードフォワード制御は、外乱（原因）を先に測り、影響が出る前に補正します。前者は測らない外乱にも対応できますが、偏差が出てからしか動けません。後者は速く動けますが、測っていない外乱は直せません。

PID 制御の P・I・D は何の略ですか。

Proportional（比例）、Integral（積分）、Derivative（微分）の頭文字です。偏差の大きさ、偏差の積み上げ、偏差の変化の速さに、それぞれ対応します。

比例制御だけで、なぜ定常偏差が残るのですか。

偏差が 0 になると、比例動作の操作量も 0 になるためです。出力を保つのに操作量が必要な制御対象では、小さな偏差を残して、操作量とつり合って止まります。積分動作を加えると、偏差が 0 になるまで操作量が増え続けるので、定常偏差を 0 にできます。

比例ゲイン K を大きくすれば、定常偏差は 0 になりますか。

比例ゲインを大きくしても、定常偏差は小さくなるだけで、0 にはなりません。単位ステップ入力では $1/(1+K)$ だからです。さらに、大きくしすぎると振動して不安定になることがあります。偏差を 0 にしたいときは、積分要素を入れます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

フィードバック制御とフィードフォワード制御は、何を測るかでどう違いますか？

フィードバック制御は制御量（結果）を測って戻し、フィードフォワード制御は外乱（原因）を先に測って補正します。

追値制御に含まれる 3 つの制御は何ですか？

追従制御、プログラム制御、比率制御です。目標値が一定の制御は、定値制御です。

制御量による分類で、サーボ機構・プロセス制御・自動調整は、それぞれ何を制御しますか？

サーボ機構は位置・方位・姿勢、プロセス制御は温度・圧力・流量・液位、自動調整は電圧・周波数・回転速度です。

P・I・D の各動作は、偏差のどんな量に反応しますか？

P は偏差の大きさ、I は偏差の積み上げ、D は偏差の変化の速さです。

比例制御だけで偏差が残るのはなぜですか？どの動作で消せますか？

偏差が 0 になると操作量も 0 になるためです。積分動作で消せます。

単位ステップ入力で、一巡伝達関数 $K/(1+Ts)$ の定常偏差はいくつですか？

$1/(1+K)$ です。積分要素を含む場合は 0 になります。

まとめ

• フィードバック制御は、制御量を測って目標値と比べ、偏差を小さくする制御。フィードフォワード制御は、外乱を先に測って補正する
• 目標値による分類は、定値制御と追値制御（追従・プログラム・比率）。制御量による分類は、サーボ機構・プロセス制御・自動調整
• オンオフ制御は、偏差の符号で ON と OFF を切り替える。制御量は設定値のまわりで上下をくり返す
• PID 制御は、P（偏差の大きさ）・I（積み上げ）・D（変化の速さ）を足し合わせる。P だけだとオフセットが残り、I で消せる
• 単位ステップ入力の定常偏差は、$G(s) = K/(1+Ts)$ なら $1/(1+K)$。積分要素を含めば 0

次は、周波数応答とボード線図で、入れる信号の周波数を変えたときの出力の変化を調べましょう。そのあと、安定判別で、フィードバックをかけすぎて振動する条件を確かめます。