安定判別の方法｜特性方程式の根とナイキストの安定判別を図解

フィードバック制御は、強くかけすぎると、出力が行き過ぎては戻りを繰り返して、おさまらなくなります。この持続的な上下の振動をハンチングと言います。どこまでなら安全かを調べるのが、安定判別です。この記事では、特性方程式と極の位置、ナイキストの安定判別を、図と例題で順に確認します。

結論から言うと、押さえるのは 2 点です。特性方程式の根（極）がすべて $s$ 平面の左半面にあれば安定。開ループが安定なとき、ベクトル軌跡を $\omega$ が増える向きにたどって、点 $(-1,\ j0)$ が進行方向の左側にあれば安定です。

• 安定判別とは
  • 目標値を変えたあと、出力が落ち着くかどうか
• 特性方程式と極の位置
  • 根がすべて左半面なら安定、1 つでも右半面なら不安定
• ナイキストの安定判別
  • $(-1,\ j0)$ との位置関係で判定。ハンチングと例題で確認

安定判別とは？安定と不安定の違い

安定とは、入力を加えたあと、時間がたてば出力が一定の値に落ち着くことです。不安定とは、出力が振動しながら大きくなり続けたり、一方向に離れ続けたりして、落ち着かないことです。図1は、目標値を変えたあとの出力の例です。

左の 2 つは、行き過ぎの大小は違っても、最後は目標値に落ち着くので安定です。右は、振れ幅が大きくなり続けるので不安定です。

安定のイメージは、鉢の底のビー玉です。ゆらしても、底に戻ります（図2）。逆に、伏せた鉢のてっぺんに置いたビー玉は、少しずれただけで転がり落ちて戻りません。これが不安定です。

フィードバック制御では、定常偏差 $1/(1+K)$ を小さくしたくて、ゲイン $K$ を上げたくなります（フィードバック制御と PID 制御）。しかし、多くの制御系では、$K$ を上げすぎると不安定になります。そこで、$K$ をどこまで上げられるかを、あらかじめ調べておく必要があります。

身近な不安定の例が、ハウリングです。マイクがスピーカーの音を拾い、それを増幅してまたスピーカーから出すと、ぐるっと一周した音が大きくなり続けて、キーンという音になります（図3）。一周のゲインが 1 以上で、位相も合う周波数があると起こる、フィードバックの不安定です。

1マイク2スピーカー3スタンド

1. マイク　スピーカーの音を拾う
2. スピーカー　拾った音を増幅して出す
3. スタンド　マイクを支える

特性方程式と極の位置で決まる安定条件

フィードバック系の閉ループ伝達関数は、前向きの $G(s)$ と帰還の $H(s)$ を使って $G/(1+GH)$ と書けます（ブロック線図と伝達関数）。この分母を 0 とおいた式を、特性方程式と呼びます。

$$1 + G(s)H(s) = 0$$

$G(s)H(s)$ は、フィードバックのループを 1 周したときの伝達関数で、開ループ伝達関数 $L(s)$ と呼びます。$L(s) = N(s)/D(s)$ と分数で書けるなら、$1 + L = 0$ の両辺に $D$ を掛けて、

$$D(s) + N(s) = 0$$

となり、$s$ の多項式の方程式になります。この方程式の根を、閉ループの極と言います。

極が $s = \sigma + j\omega$ のとき、応答には $e^{\sigma t}\cos(\omega t + \theta)$ の形の項が現れます。$e^{\sigma t}$ が時間とともに小さくなるか大きくなるかは、実部 $\sigma$ の符号で決まります（過渡現象の指数関数と同じです。複素数の扱いは電験の複素数の使い方で説明しています）。

• $\sigma < 0$（左半面）：減衰して 0 に近づく。安定
• $\sigma = 0$（虚軸上）：振幅が一定の振動が続く。安定限界
• $\sigma > 0$（右半面）：時間とともに大きくなる。不安定

図4は、極の位置と応答の形の対応です。極が複素数のときは、虚部があるので振動し、実部で振動が減衰するか増大するかが決まります。実数の極（A）は、振動せずに減衰します。

2 次式で確かめてみます。

• $s^2 + 2s + 5 = 0$ の根は $-1 \pm j2$：実部が負なので安定
• $s^2 + 4 = 0$ の根は $\pm j2$：実部が 0 で、振幅一定の振動が続く（安定限界）
• $s^2 - 2s + 5 = 0$ の根は $1 \pm j2$：実部が正なので不安定

ナイキストの安定判別

ナイキストの安定判別は、開ループ伝達関数 $L(j\omega)$ の周波数応答から、閉ループの安定を調べます（周波数応答の見方はボード線図の書き方で説明しています）。

特性方程式 $1 + L = 0$ は、$L = -1$ と同じです。つまり、$L(j\omega)$ が複素平面の点 $(-1,\ j0)$ に当たるとき、ちょうど虚軸上に極が出る（安定限界）ことになります。そこで、ベクトル軌跡と点 $(-1,\ j0)$ の位置関係を見ます。

開ループが安定な場合の簡易な見方は、次のとおりです。$\omega$ を $0$ から $\infty$ まで変えてベクトル軌跡を描き、軌跡を $\omega$ が増える向きにたどったとき、点 $(-1,\ j0)$ が進行方向の左側にあれば安定、右側にあれば不安定です。

図5は、$L(s) = K/(1+s)^3$ の例です。$K = 4$ の軌跡は、負の実軸を $-0.5$ で横切り、$(-1,\ j0)$ は進行方向の左側にあるので安定です。$K = 16$ は $-2$ で横切り、$(-1,\ j0)$ が右側にあるので不安定です。

ゲインを上げすぎて不安定になる状態が、ハンチングです。制御盤のメーターの指針が、行き過ぎては戻る動きを止めずに振れ続けます（図6）。

1メーター2指針3赤ボタン

1. メーター　制御量の値を指針で示す
2. 指針　振れ続けると不安定
3. 赤ボタン　機器の操作に使う

例題

解答と解説を見る

誤っているのは (2) です。

根が 1 つでも右半面にあれば、ほかの根がすべて左半面でも不安定です。

(1) は安定条件そのものです。(3) は、実部が 0 の根が、減衰も増大もしない振動を表すことを言っています。(4) はナイキストの安定判別の見方のとおりです。

よくある質問

特性方程式の根が虚軸上にあると、どうなりますか。

安定でも不安定でもない、安定限界です。応答は減衰も増大もせず、同じ振幅の振動が続きます。ゲインを少しでも上げると、根が右半面に動いて不安定になります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

閉ループ系が安定である条件は、極の位置でどう表されますか？

特性方程式の根（極）が、すべて $s$ 平面の左半面（実部が負）にあることです。

特性方程式とは何で、開ループ伝達関数 $L$ とはどんな関係ですか？

閉ループ伝達関数の分母を 0 とおいた $1 + L(s) = 0$ です。$L = N/D$ なら $D + N = 0$ です。

特性方程式の根が虚軸上にあると、どうなりますか？

減衰も増大もしない、振幅が一定の振動が続きます。安定限界です。

ナイキストの安定判別では、何をどう見て判定しますか？

開ループのベクトル軌跡を $\omega$ が増える向きにたどったとき、点 $(-1,\ j0)$ が進行方向の左側にあれば安定、右側にあれば不安定です（開ループが安定な場合）。

ハンチングとは何ですか？

ゲインを上げすぎて不安定になり、行き過ぎては戻る動きを止めずに振れ続ける状態です。

まとめ

• 安定とは、入力を加えたあと、出力が落ち着くこと。特性方程式 $1 + G(s)H(s) = 0$ の根がすべて左半面なら安定、虚軸上は安定限界、1 つでも右半面なら不安定
• ナイキストの安定判別は、開ループのベクトル軌跡を $\omega$ が増える向きにたどったとき、点 $(-1,\ j0)$ が進行方向の左側にあれば安定、右側にあれば不安定（開ループが安定な場合）

ボード線図やベクトル軌跡の描き方は、ボード線図の書き方で確認できます。PID 制御の動作や定常偏差は、フィードバック制御と PID 制御で確認できます。