ボード線図の書き方｜周波数応答のゲイン [dB] と位相、一次遅れの折れ点を図解

周波数応答とは、入れる正弦波の周波数を変えたとき、出力の大きさと遅れがどう変わるかのことです。その変わり方を、ゲイン [dB] と位相の 2 枚のグラフにしたものが、ボード線図です。この記事では、周波数伝達関数 $G(j\omega)$ の求め方から、要素ごとのボード線図の形、一次遅れの折れ点、ベクトル軌跡までを、図と例題で順に確認します。

結論から言うと、押さえるのは 3 点です。ゲインは $20\log_{10}|G|$ [dB]。積分要素は $-20\ \mathrm{dB/dec}$ で位相 $-90^{\circ}$。一次遅れの折れ点は $\omega = 1/T$ で、そこでゲインは約 $-3\ \mathrm{dB}$、位相は $-45^{\circ}$ です。

• 周波数応答とボード線図とは
  • 周波数を変えたときの、振幅の比（ゲイン）と位相のずれ
• 周波数伝達関数とゲイン [dB]
  • $s$ を $j\omega$ に置き換え、$g = 20\log_{10}|G|$ で [dB] にする
• 要素ごとのボード線図と折れ点
  • 比例・積分・微分は直線、一次遅れは $\omega = 1/T$ で折れる
• 直列結合とベクトル軌跡
  • ゲイン [dB] と位相は足し算。一次遅れの軌跡は半円
• 例題と間違えやすいところ
  • ゲインと位相の計算、グラフからの読み取り

周波数応答とボード線図とは？

安定な系に、角周波数 $\omega\ \mathrm{[rad/s]}$ の正弦波を入れ続けると、十分に時間がたったあとの出力は、同じ角周波数の正弦波になります（図1）。入力と出力で違うのは、振幅と、山のずれの 2 つだけです。

振幅の比がゲイン $|G(j\omega)|$、山のずれの角度が位相 $\varphi$ です。出力が遅れるときは、位相を負の角度で表します。

$\omega$ を変えると、ゲインと位相も変わります。そこで、横軸に $\omega$、縦軸にゲインと位相をとって描いたグラフが、ボード線図です。ゲインの縦軸は [dB]、位相の縦軸は [°]、横軸は $\omega$ の対数目盛りで、ゲインを描く上のグラフと、位相を描く下のグラフの 2 枚で 1 組になります。

実験では、入力と出力の波形を並べて、振幅の比とずれを読みます（図2）。

1緑の波2黄の波3格子4つまみ5ケーブル

1. 緑の波　山が先に来るほう
2. 黄の波　山が少し遅れるほう
3. 格子　振幅とずれを読む目盛り
4. つまみ　表示の範囲を調整する
5. ケーブル　測る信号をつなぐ

発振器で周波数を少しずつ変え、そのたびに振幅の比と遅れを記録してグラフにつなげば、ボード線図ができます（図3）。

1画面2つまみ3手

1. 画面　設定した値を表示する部分
2. つまみ　周波数などを変える
3. 手　つまみを回して設定する

周波数伝達関数とゲイン [dB] の求め方

伝達関数 $G(s)$ の $s$ を $j\omega$ に置き換えたものが、周波数伝達関数 $G(j\omega)$ です。複素数なので、大きさと偏角を求めれば、ゲインと位相が分かります。

$$\begin{gathered} |G(j\omega)| = (\text{大きさ}) \\ \varphi = \angle G(j\omega) = (\text{偏角}) \end{gathered}$$

たとえば一次遅れ $G(s) = 1/(1+Ts)$ なら、

$$\begin{gathered} G(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega T} \\ |G| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega T)^2}} \\ \varphi = -\arctan(\omega T) \end{gathered}$$

です。分母 $1 + j\omega T$ の大きさが $\sqrt{1+(\omega T)^2}$、偏角が $\arctan(\omega T)$ で、分母なので逆数と符号反転になります。複素数の大きさと偏角の求め方は、電験の複素数の使い方で説明しています。

ゲインは、そのまま使わず、デシベル [dB] に直して描きます。

$$g = 20\log_{10}|G|\ \mathrm{[dB]}$$

対数にするのは、倍率が何桁も変わる量を 1 枚のグラフに収め、直列結合を足し算で扱うためです。計算には $\log_{10}2 \fallingdotseq 0.301$ を使います。

$$\begin{gathered} 20\log_{10}10 = 20 \\ 20\log_{10}2 \fallingdotseq 20 \times 0.301 = 6.02 \\ 20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{2}} = -10\log_{10}2 \fallingdotseq -3.01 \\ 20\log_{10}0.1 = -20 \end{gathered}$$

図4は、$|G|$ と [dB] の対応を数直線に並べたものです。

振幅比	g [dB]	見方
10	20	10 倍に増える
2	約 6	2 倍に増える
1	0	変わらない
$1/\sqrt{2}$	約 −3	電力は半分
0.1	−20	1/10 に減る

周波数によってゲインが違う身近な例が、スピーカーです（図5）。1 つの振動板で広い周波数を同じ大きさで出すのは難しいので、多くのスピーカーは、高い音用と低い音用の 2 つを組み合わせます。

1小さいユニット2木の箱3大きいユニット

1. 小さいユニット　高い音を受け持つ
2. 木の箱　2 つのユニットを収める
3. 大きいユニット　低い音を受け持つ

要素ごとのボード線図の形と折れ点

複雑な伝達関数も、基本要素の積に分けて、要素ごとのボード線図を足し合わせれば描けます。基本要素は、比例・積分・微分・一次遅れです。

比例・積分・微分要素のボード線図

それぞれの $G(j\omega)$ から、ゲイン $g$ と位相 $\varphi$ は次のように求まります。

• 比例要素：$G = K$ で、$g = 20\log_{10}K$（一定）、$\varphi = 0^{\circ}$
• 積分要素：$G = \dfrac{1}{j\omega T}$ で、$g = -20\log_{10}\omega T$、$\varphi = -90^{\circ}$
• 微分要素：$G = j\omega T$ で、$g = 20\log_{10}\omega T$、$\varphi = +90^{\circ}$

図6のように、比例要素のゲインは水平な線、積分要素と微分要素は直線です。$\omega$ が 10 倍になると、$\omega T$ も 10 倍になるので、積分は 20 dB 下がり、微分は 20 dB 上がります。この「10 倍あたりの変化」を dB/dec と書きます（dec は 10 倍の区間のこと）。

要素	ゲイン	位相
比例	水平	0°
積分	−20 dB/dec	−90°
微分	+20 dB/dec	+90°

積分要素と微分要素は、$\omega = 1/T$ で 0 dB を横切ります。PID 制御の積分動作と微分動作は、この積分要素・微分要素そのものです。PID 制御の性質は、フィードバック制御と PID 制御で説明しています。

一次遅れ要素のボード線図と折れ点

一次遅れ要素 $G(s) = 1/(1+Ts)$ の $T$ は、RC 回路の時定数と同じ意味の時定数です（過渡現象）。ステップ応答や伝達関数の基本は、ブロック線図と伝達関数で説明しました。ここでは、周波数を変えたときの形を見ます。

$$\begin{gathered} |G| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega T)^2}} \\ \varphi = -\arctan(\omega T) \end{gathered}$$

$\omega T$ の大きさで、3 つの場合に分けて考えます。

• $\omega \ll 1/T$ のとき、$|G| \fallingdotseq 1$ なので 0 dB、位相は約 $0^{\circ}$
• $\omega \gg 1/T$ のとき、$|G| \fallingdotseq 1/(\omega T)$ なので $-20\ \mathrm{dB/dec}$、位相は $-90^{\circ}$ に近づく
• $\omega = 1/T$ のとき、$|G| = 1/\sqrt{2}$ なので約 $-3\ \mathrm{dB}$、位相は $-45^{\circ}$

図7の 2 本の漸近線（0 dB の水平線と $-20\ \mathrm{dB/dec}$ の直線）は、$\omega = 1/T$ で交わります。この角周波数を折れ点周波数と呼びます。実際の曲線は、折れ点で漸近線より 3 dB 下を通ります。

ω	ゲイン	位相
1/T の 0.1 倍	約 −0.04 dB	−5.7°
1/T（折れ点）	約 −3 dB	−45°
1/T の 10 倍	約 −20 dB	−84.3°

直列結合とベクトル軌跡

直列結合はゲイン [dB] と位相を足す

2 つの要素を直列につなぐと、$G = G_1 G_2$ です。大きさは掛け算、偏角は足し算になるので、

$$\begin{gathered} |G| = |G_1||G_2| \\ g = g_1 + g_2 \\ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2 \end{gathered}$$

です。ゲインを [dB] で表すと、掛け算が足し算になります。ボード線図で対数を使う理由です。

例として、$G(j\omega) = \dfrac{K}{1 + j\omega T}$（$K = 10$、$T = 0.1\ \mathrm{[s]}$）を、比例要素 $K$ と一次遅れ要素の直列と考えます。$K = 10$ は $20\log_{10}10 = 20\ \mathrm{dB}$ で、位相は $0^{\circ}$ です。

図8のように、合成のゲインは、一次遅れのゲインに 20 dB を足した形です。低い周波数では 20 dB、折れ点 $\omega = 1/T = 10\ \mathrm{rad/s}$ から $-20\ \mathrm{dB/dec}$ で下がり、漸近線では $\omega = K/T = 100\ \mathrm{rad/s}$ で 0 dB を横切ります。位相は $K$ の影響を受けないので、一次遅れの位相のままです。

ベクトル軌跡は一次遅れなら半円

$G(j\omega)$ を、$\omega$ を $0$ から $\infty$ まで変えながら複素平面に描いた曲線を、ベクトル軌跡（ナイキスト線図とも呼びます）と言います。原点からの距離がゲイン、実軸との角度が位相です。

一次遅れ $K/(1 + j\omega T)$ を $x + jy$ と書くと、

$$\begin{gathered} x = \frac{K}{1 + (\omega T)^2} \\ y = \frac{-K\omega T}{1 + (\omega T)^2} \end{gathered}$$

で、$\omega$ を消すと次の式になります。

$$\begin{gathered} \left(x - \frac{K}{2}\right)^2 + y^2 \\ = \left(\frac{K}{2}\right)^2 \end{gathered}$$

中心 $(K/2,\ 0)$、半径 $K/2$ の円の、下半分（$y \le 0$）です（図9）。

$\omega = 0$ で $G = K$、$\omega = 1/T$ で $G = K(1-j)/2$（位相 $-45^{\circ}$）、$\omega \to \infty$ で原点に近づきます。ボード線図とベクトル軌跡は、同じ $G(j\omega)$ の別の表し方です。フィードバック系が安定かどうかは、ベクトル軌跡を使って調べられます（安定判別で説明します）。

二次遅れ要素と共振

二次遅れ要素は、$\omega_n$ を固有角周波数、$\zeta$ を減衰係数として、次の形で表します。

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

$\zeta$ が小さいと、$\omega_n$ の近くでゲインが山のように盛り上がります（共振）。高い周波数では $-40\ \mathrm{dB/dec}$ で下がり、位相は $-180^{\circ}$ に近づきます。機械の部品に周波数を変えながら振動を加えると、ある周波数で揺れが大きくなるのも、共振の例です（図10）。

例題と間違えやすいところ

解答と解説を見る

(1) $\omega = 1$ のとき、

$$\begin{aligned} |G| &= \frac{10}{\sqrt{1 + 1^2}} \\ g &= 20 - 20\log_{10}\sqrt{2} \\ &\fallingdotseq 20 - 3.01 \\ &= 17.0\ \mathrm{[dB]} \end{aligned}$$

位相は $\varphi = -\arctan 1 = -45^{\circ}$ です。

(2) $\omega = 10$ のとき、

$$\begin{aligned} |G| &= \frac{10}{\sqrt{101}} \\ g &= 20 - 10\log_{10}101 \\ &\fallingdotseq 20 - 20.04 \\ &= -0.04\ \mathrm{[dB]} \end{aligned}$$

位相は $\varphi = -\arctan 10 = -84.3^{\circ}$ です。$\omega$ が大きいほど、位相は $-90^{\circ}$ に近づきます。

解答と解説を見る

$G(j\omega) = \dfrac{1}{j0.2\omega} = \dfrac{-j5}{\omega}$ なので、$|G| = \dfrac{5}{\omega}$ です。

(1) 0 dB は $|G| = 1$ のときなので、

$$\begin{gathered} \frac{5}{\omega} = 1 \\ \omega = 5\ \mathrm{[rad/s]} \end{gathered}$$

です。$\omega = 1/T = 1/0.2 = 5$ に当たります。

(2) $\omega = 0.5$ のとき $|G| = 10$ で、$g = 20\ \mathrm{[dB]}$ です。$\omega = 50$ のとき $|G| = 0.1$ で、$g = -20\ \mathrm{[dB]}$ です。位相は、どちらも $-90^{\circ}$ です。$\omega$ が 100 倍（2 dec）になって、ゲインは 40 dB 下がっています。

図11は、一次遅れ要素 $G(s) = K/(1 + Ts)$ のゲイン線図です。

解答と解説を見る

(1) 低い周波数のゲインは約 12 dB です。

$$\begin{gathered} 20\log_{10}K = 12 \\ \log_{10}K = 0.6 \end{gathered}$$

$\log_{10}4 = 2 \times 0.301 = 0.602$ なので、$K \fallingdotseq 4$ です。

(2) 折れ点では、ゲインが低い周波数の値より 3 dB 下がります。$12 - 3 = 9\ \mathrm{dB}$ になるのは、図で $\omega = 20\ \mathrm{[rad/s]}$ のところです。

$$T = \frac{1}{20} = 0.05\ \mathrm{[s]}$$

(3) 200 は折れ点 20 の 10 倍です。折れ点から先は $-20\ \mathrm{dB/dec}$ なので、

$$12 - 20 = -8\ \mathrm{[dB]}$$

です。

解答と解説を見る

$G$ は、比例 $20$、積分 $1/s$、一次遅れ $1/(1+0.1s)$ の直列です。$\omega = 10$ では、一次遅れの $\omega T = 10 \times 0.1 = 1$ で、ちょうど折れ点です。

要素	g [dB]	位相
比例 20	26.0	0°
積分	−20	−90°
一次遅れ	−3.0	−45°
合計	3.0	−135°

比例の $20\log_{10}20 = 20(1 + 0.301) = 26.0$ です。積分の $|G| = 1/10$ は $-20\ \mathrm{dB}$ です。直列なので、$g$ も $\varphi$ も足し合わせます。

$$g = 26.0 - 20 - 3.0 = 3.0\ \mathrm{[dB]}$$

です。位相は $0 - 90 - 45 = -135^{\circ}$ です。

よくある質問

ボード線図とは何ですか。

周波数伝達関数 $G(j\omega)$ を、横軸を $\omega$（対数目盛り）、縦軸をゲイン [dB] と位相 [°] にして描いた 2 枚のグラフです。上がゲイン線図、下が位相線図です。周波数を変えたときの、振幅の比と位相のずれを一目で読めます。

ゲインが 0 dB とは、どういう意味ですか。

$|G| = 1$ のことで、入力と出力の振幅が同じです。正の dB は出力のほうが大きく、負の dB は小さくなります。ゲイン線図が 0 dB の線を横切る周波数は、あとで安定を調べるときの目印になります。

折れ点周波数は、どう求めますか。

一次遅れ $1/(1 + Ts)$ なら $\omega = 1/T\ \mathrm{[rad/s]}$ です。周波数 [Hz] に直すなら、$f = \omega/(2\pi)$ なので $1/(2\pi T)$ です。グラフから読むときは、低い周波数のゲインより 3 dB 下がる周波数を探します。

ボード線図とベクトル軌跡は、何が違いますか。

同じ $G(j\omega)$ を、別の形で描いたものです。ボード線図は、ゲインと位相を別々のグラフに描き、直列結合を足し算で扱えます。ベクトル軌跡は、複素平面に 1 本の曲線として描き、$\omega$ ごとのゲインと位相を同時に見られます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

周波数応答では、入力と出力の間で何が変わり、何が変わりませんか？

変わるのは振幅（ゲイン）と位相（山のずれ）で、周波数は変わりません。

ゲイン [dB] はどんな式で求め、$|G| = 10,\ 2,\ 1/\sqrt{2}$ では何 dB ですか？

$g = 20\log_{10}|G|$ です。それぞれ 20 dB、約 6 dB、約 $-3$ dB です。

積分要素と微分要素の、ゲインの傾きと位相は何ですか？

積分は $-20\ \mathrm{dB/dec}$ で $-90^{\circ}$、微分は $+20\ \mathrm{dB/dec}$ で $+90^{\circ}$ です。

一次遅れ $1/(1 + j\omega T)$ の折れ点周波数と、そこでのゲイン・位相は何ですか？

$\omega = 1/T$ で、約 $-3\ \mathrm{dB}$、$-45^{\circ}$ です。高い周波数では $-20\ \mathrm{dB/dec}$、位相は $-90^{\circ}$ に近づきます。

直列結合 $G_1 G_2$ のゲイン [dB] と位相は、どうなりますか？

どちらも足し算で、$g = g_1 + g_2$、$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ です。

一次遅れ要素のベクトル軌跡は、どんな形ですか？

$\omega = 0$ の $K$ から原点へ向かう、下半分の半円です。

まとめ

• 周波数応答は、正弦波の周波数を変えたときの、振幅の比（ゲイン）と位相のずれ。ゲインと位相を、$\omega$ の対数目盛りで 2 枚のグラフに描いたものがボード線図
• 周波数伝達関数は、$G(s)$ の $s$ を $j\omega$ に置き換えたもの。ゲインは $g = 20\log_{10}|G|$ [dB]。$|G| = 1$ が 0 dB、10 倍で 20 dB、2 倍で約 6 dB
• 積分は $-20\ \mathrm{dB/dec}$ で $-90^{\circ}$、微分は $+20\ \mathrm{dB/dec}$ で $+90^{\circ}$。一次遅れは折れ点 $\omega = 1/T$ で、約 $-3\ \mathrm{dB}$、$-45^{\circ}$
• 直列結合は、ゲイン [dB] も位相も足し算。一次遅れのベクトル軌跡は、下半分の半円

次は、安定判別で、ベクトル軌跡を使ってフィードバック系が安定かどうかを調べましょう。PID 制御の動作や定常偏差は、フィードバック制御と PID 制御で確認できます。