倍率器と分流器の公式｜電圧計・電流計の測定範囲の拡大を図解

オームの法則と直列回路で学んだ分圧と、並列回路で学んだ分流を、そのまま計器に当てはめたのが倍率器と分流器です。

倍率器は、電圧計に直列につなぐ抵抗で、測れる電圧を $m$ 倍にします。その抵抗は $R_m = (m-1)\,r_v$（$r_v$ は電圧計の内部抵抗）です。分流器は、電流計に並列につなぐ抵抗で、測れる電流を $m$ 倍にします。その抵抗は $R_s = r_a/(m-1)$（$r_a$ は電流計の内部抵抗）です。この記事では、計器のつなぎ方から 2 つの公式の導き方、計器を 2 台つなぐときの電圧・電流の比、例題までを順に確認します。

• 倍率器と分流器とは
  • 電圧計に直列が倍率器、電流計に並列が分流器。どちらも測定範囲を $m$ 倍にする
• 電流計と電圧計のつなぎ方
  • 電流計は直列で内部抵抗が小さく、電圧計は並列で内部抵抗が大きいほどよい
• 倍率器の公式
  • $R_m = (m-1)\,r_v$。電圧は抵抗に比例して分かれる
• 分流器の公式
  • $R_s = r_a/(m-1)$。電流は抵抗に反比例して分かれる
• 電圧計・電流計を 2 台つなぐとき
  • 直列の電圧の比は内部抵抗の比、並列の電流の比は内部抵抗の逆比

倍率器と分流器とは

テスターなどの指針式の計器の多くは、可動コイル形です。磁石の磁界の中にあるコイルに電流が流れると、電流に比例して針が振れます。コイルに流せる電流には上限があるので、針が最大目盛まで振れる電流と電圧が決まっています。これが計器の測定範囲です。

電圧計も、中身は電流で針を振らせています。内部抵抗 $r_v$ の両端に電圧が加わり、その電圧に比例した電流が流れて針が振れます。

最大目盛を超える電圧や電流を測りたいときは、計器に外付けの抵抗を足して、測定範囲を $m$ 倍に広げます。

• 電圧計の測定範囲を広げる抵抗が、倍率器（電圧計に直列）
• 電流計の測定範囲を広げる抵抗が、分流器（電流計に並列）

考え方は図1のとおりです。測りたい電圧の全体が最大目盛の $m$ 倍なら、電圧計には 1 倍分だけ加え、残りの $(m-1)$ 倍分を倍率器に受け持たせます。電流も同じで、分流器が残りの $(m-1)$ 倍分を受け持ちます。

1計器2針3計器4盤

1. 計器　針の振れで読む
2. 針　測る値で振れる
3. 計器　同じ形が3個並ぶ
4. 盤　計器を取り付ける板

電流計と電圧計のつなぎ方

倍率器と分流器を考える前に、電流計と電圧計の基本のつなぎ方を確認します（図3）。

電流計は、測りたい電流が通る道に直列に入れます。回路を一度切って、そこへ電流計をはさむつなぎ方です。直列なら、回路の電流がそのまま電流計を通ります。

電圧計は、電圧を測りたい部分の両端に並列につなぎます。回路を切る必要はなく、2 点に当てるだけで測れます。

計器	つなぎ方	内部抵抗
電流計	回路に直列	できるだけ小さく
電圧計	測る部分に並列	できるだけ大きく

内部抵抗の望ましい大きさが逆になるのは、計器を入れても回路の状態をなるべく変えないためです。

電流計は、直列に入れると回路の抵抗が内部抵抗 $r_a$ の分だけ増えます。たとえば、電源 $6\,\mathrm{[V]}$、抵抗 $R = 20\,\Omega$ の回路の電流は $0.3\,\mathrm{[A]}$ です。ここに内部抵抗 $1\,\Omega$ の電流計を入れると、次のようになります（電源の内部抵抗は無視します）。

$$I = \frac{6}{20 + 1} \fallingdotseq 0.286\,\mathrm{[A]}$$

本来の $0.3\,\mathrm{[A]}$ より約 5% 小さく表示されます。$r_a$ が小さいほど、この誤差は小さくなります。

電圧計は、並列に入れると、測る部分の抵抗に電圧計の内部抵抗が並列に加わり、合成抵抗が小さくなります。その結果、測る部分の電圧が変わってしまいます。$r_v$ が測る抵抗よりずっと大きければ、この影響は小さくなります。

倍率器の公式（電圧計の測定範囲を広げる）

最大目盛 $V$、内部抵抗 $r_v$ の電圧計で、$m V$ までの電圧を測る場合を考えます。電圧計の最大目盛は $V$ なので、全体の電圧 $mV$ のうち、電圧計の分は $V$ で、残りの $(m-1)V$ を直列の倍率器 $R_m$ に受け持たせます（図5）。

直列なので、電圧計と倍率器には同じ電流が流れます。電流が共通なら、電圧の比は抵抗の比に等しくなります。

$$r_v : R_m = V : (m-1)V$$

右辺は $1 : (m-1)$ なので、倍率器の抵抗は次のとおりです。

$$R_m = (m-1)\,r_v$$

電流から確かめることもできます。電圧計に最大目盛の電圧が加わるときの電流は $I = V/r_v$ です。倍率器の電圧 $(m-1)V$ を、この電流で割ります。

$$\begin{aligned} R_m &= \frac{(m-1)V}{I} \\ &= \frac{(m-1)V}{V/r_v} \\ &= (m-1)\,r_v \end{aligned}$$

逆に、倍率器 $R_m$ をつないだときの倍率は、次の式で求めます。電圧計の指示の $m$ 倍が、加わっている電圧です。

$$m = 1 + \frac{R_m}{r_v}$$

分流器の公式（電流計の測定範囲を広げる）

最大目盛 $I_a$、内部抵抗 $r_a$ の電流計で、$m I_a$ までの電流を測る場合を考えます。全体の電流 $mI_a$ のうち、電流計に流す分は $I_a$ で、残りの $(m-1)I_a$ を並列の分流器 $R_s$ に流します（図6）。

並列なので、電流計と分流器の両端の電圧は共通です。電圧が共通なら、電流の比は抵抗の逆比になります。電圧が等しいという式を立てます。

$$r_a I_a = R_s\,(m-1)I_a$$

両辺を $(m-1)I_a$ で割ると、分流器の抵抗が求まります。

$$R_s = \frac{r_a}{m-1}$$

逆に、分流器 $R_s$ をつないだときの倍率は、次の式で求めます。電流計の指示の $m$ 倍が、流れている電流です。

$$m = 1 + \frac{r_a}{R_s}$$

1端子2端子3金属の板

1. 端子　電流の出入り口
2. 端子　もう一方の出入り口
3. 金属の板　電流が通る抵抗の部分

倍率器と分流器の対応表

2 つの公式は、倍率 $m$ で並べると違いがはっきりします。

倍率 $m$	倍率器 $R_m$	分流器 $R_s$
2	$r_v$	$r_a$
5	$4\,r_v$	$r_a/4$
10	$9\,r_v$	$r_a/9$
100	$99\,r_v$	$r_a/99$

倍率器は大きな抵抗、分流器は小さな抵抗になります。電圧を直列で分けるときは、受け持つ電圧が大きいほど抵抗を大きく、電流を並列で分けるときは、受け持つ電流が大きいほど抵抗を小さくするからです。

倍率器や分流器をつけた後の、計器全体の内部抵抗も確かめておきます。電圧計と倍率器は直列なので、内部抵抗は足し算です。

$$r_v + (m-1)\,r_v = m\,r_v$$

電流計と分流器は並列なので、合成抵抗 $r$ の逆数は、逆数の和です。

$$\begin{aligned} \frac{1}{r} &= \frac{1}{r_a} + \frac{m-1}{r_a} \\ &= \frac{m}{r_a} \end{aligned}$$

つまり $r = r_a/m$ です。倍率器をつけると電圧計全体の内部抵抗は $m$ 倍に、分流器をつけると電流計全体の内部抵抗は $1/m$ になります。測定範囲を広げても、電圧計は大きいほうへ、電流計は小さいほうへ、望ましい向きに変わります。

電圧計・電流計を 2 台つなぐとき

内部抵抗の違う電圧計を 2 台直列にしたり、電流計を 2 台並列にしたりする問題もあります。考え方は、オームの法則と直列回路の分圧と、並列回路の分流そのものです。計器は、内部抵抗の値をもつ抵抗として扱います。

電圧計の直列

内部抵抗 $r_1$、$r_2$ の電圧計を直列にして、電圧 $V$ を加えます（図8）。流れる電流は共通なので、各電圧計の電圧は内部抵抗に比例します。

$$\begin{aligned} V_1 : V_2 &= r_1 : r_2 \\ V_1 &= \frac{r_1}{r_1 + r_2}\,V \\ V_2 &= \frac{r_2}{r_1 + r_2}\,V \end{aligned}$$

電流計の並列

内部抵抗 $r_1$、$r_2$ の電流計を並列にして、電流 $I$ を流します（図9）。両端の電圧が共通なので、各電流計の電流は内部抵抗に反比例します。

$$\begin{aligned} I_1 : I_2 &= r_2 : r_1 \\ I_1 &= \frac{r_2}{r_1 + r_2}\,I \\ I_2 &= \frac{r_1}{r_1 + r_2}\,I \end{aligned}$$

1電源2計器3計器4リード線

1. 電源　直流の電圧を加える
2. 計器　針の振れで値を読む
3. 計器　もう1台の計器
4. リード線　赤と黒で回路をつなぐ

倍率器と分流器の例題

解答と解説を見る

倍率は、次のとおりです。

$$m = \frac{120}{20} = 6$$

倍率器の抵抗を求めます。

$$\begin{aligned} R_m &= (m-1)\,r_v \\ &= (6-1) \times 5 \\ &= 25\,\mathrm{[k\Omega]} \end{aligned}$$

検算します。電圧計に最大目盛で流れる電流は $20/5 = 4\,\mathrm{[mA]}$ です。倍率器が受け持つ電圧は $120 - 20 = 100\,\mathrm{[V]}$ なので、$100/4 = 25\,\mathrm{[k\Omega]}$ で一致します。

解答と解説を見る

倍率は、次のとおりです。

$$m = \frac{150}{15} = 10$$

分流器の抵抗を求めます。

$$\begin{aligned} R_s &= \frac{r_a}{m-1} \\ &= \frac{0.9}{10-1} \\ &= 0.1\,\Omega \end{aligned}$$

検算します。電流計の両端の電圧は $0.9 \times 15 = 13.5\,\mathrm{[mV]}$ です。分流器には $150 - 15 = 135\,\mathrm{[mA]}$ が流れるので、$13.5/135 = 0.1\,\Omega$ で一致します。

解答と解説を見る

(1) $m = 1 + R_m/r_v$ を使います。

$$\begin{aligned} m &= 1 + \frac{14}{2} \\ &= 8 \end{aligned}$$

(2) 電圧計の指示の $m$ 倍が、加えられている電圧です。

$$\begin{aligned} V &= 6.5 \times 8 \\ &= 52\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

検算します。電流は $6.5/2 = 3.25\,\mathrm{[mA]}$ で、全体の抵抗は $2 + 14 = 16\,\mathrm{[k\Omega]}$ です。$16 \times 3.25 = 52\,\mathrm{[V]}$ で一致します。

つぎは、内部抵抗の違う電圧計を直列にする問題です。

解答と解説を見る

(1) 直列なので、電流は共通です。

$$I = \frac{72}{12 + 4} = 4.5\,\mathrm{[mA]}$$

各電圧計の指示は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} V_A &= 12 \times 4.5 \\ &= 54\,\mathrm{[V]} \\ V_B &= 4 \times 4.5 \\ &= 18\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

合計は $54 + 18 = 72\,\mathrm{[V]}$ で、加えた電圧と一致します。

(2) 最大目盛で流せる電流を、それぞれ求めます。

$$\begin{aligned} I_A &= \frac{60}{12} = 5\,\mathrm{[mA]} \\ I_B &= \frac{60}{4} = 15\,\mathrm{[mA]} \end{aligned}$$

直列では電流が共通で、小さいほうの $5\,\mathrm{[mA]}$ が限界です。そのときの電圧は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} V &= 5 \times (12 + 4) \\ &= 80\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

このとき A は $60\,\mathrm{[V]}$、B は $20\,\mathrm{[V]}$ です。

よくある質問

倍率器の抵抗は、なぜ m 倍ではなく (m−1) 倍？

電圧計は、全体の電圧のうち $1/m$ を受け持ち、残りの $(m-1)/m$ を倍率器が受け持つからです。直列では電圧が抵抗に比例するので、電圧計と倍率器の抵抗の比は $1 : (m-1)$ になります。電圧計自身の内部抵抗 $r_v$ も、全体の $m r_v$ の一部として数えられています。

電流計と電圧計を、逆につないだらどうなる？

電流計を電圧計の位置（並列）につなぐと、内部抵抗が小さいので大きな電流が流れ、計器や回路を壊すおそれがあります。電圧計を電流計の位置（直列）につなぐと、内部抵抗が大きいので回路の電流がほとんど流れなくなり、正しい値が測れません。

倍率器をつけた電圧計の指示は、どう読む？

計器自身の目盛を読んで、倍率 $m$ をかけます。たとえば例題 3 では、指示 $6.5\,\mathrm{[V]}$ に $m = 8$ をかけて、$52\,\mathrm{[V]}$ です。分流器をつけた電流計も同じで、指示に $m$ をかけます。

分流器の抵抗が小さいのはなぜ？

大部分の電流を分流器に流すためです。並列では電流が抵抗に反比例して分かれるので、$(m-1)$ 倍の電流を流す分流器の抵抗は、電流計の $1/(m-1)$ になります。分流器をつけると、電流計全体の内部抵抗は $r_a/m$ と小さくなり、回路に入れたときの誤差も小さくなります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

電流計は回路にどうつなぐ？ 内部抵抗はどうあるのがよい？

回路に直列につなぎ、内部抵抗はできるだけ小さいほうがよいです。

電圧計は回路にどうつなぐ？ 内部抵抗はどうあるのがよい？

測る部分に並列につなぎ、内部抵抗はできるだけ大きいほうがよいです。

倍率器とは何？ 測定範囲を $m$ 倍にする抵抗は？

電圧計に直列につなぐ抵抗で、$R_m = (m-1)\,r_v$ です。

分流器とは何？ 測定範囲を $m$ 倍にする抵抗は？

電流計に並列につなぐ抵抗で、$R_s = r_a/(m-1)$ です。

電圧計を 2 台直列にしたとき、指示の比は？

電流が共通なので、内部抵抗の比です（$V_1 : V_2 = r_1 : r_2$）。

電流計を 2 台並列にしたとき、電流の比は？

電圧が共通なので、内部抵抗の逆比です（$I_1 : I_2 = r_2 : r_1$）。

まとめ

• 電流計は回路に直列で内部抵抗が小さいほどよく、電圧計は測る部分に並列で内部抵抗が大きいほどよい
• 倍率器は電圧計に直列の抵抗で、$m$ 倍にするには $R_m = (m-1)\,r_v$。電圧は抵抗に比例して分かれる
• 分流器は電流計に並列の抵抗で、$m$ 倍にするには $R_s = r_a/(m-1)$。電流は抵抗に反比例して分かれる
• 係数は $m$ ではなく $m-1$。つけた後の内部抵抗は、電圧計が $m\,r_v$、電流計が $r_a/m$
• 電圧計 2 台の直列は $V_1 : V_2 = r_1 : r_2$、電流計 2 台の並列は $I_1 : I_2 = r_2 : r_1$

分圧の考え方で迷ったらオームの法則と直列回路を、分流の考え方で迷ったら並列回路を、見直しましょう。