同期電動機のV曲線と始動法｜界磁電流で力率が変わる理由と出力・トルクの計算を図解

前の記事の同期発電機と構造は同じで、電力の向きだけが逆になったものが同期電動機です。回転子は同期速度ちょうどで回り、負荷が変わっても速度は変わりません。そのうえ、界磁電流というつまみ1つで、力率を遅れから進みまで変えられます。

この記事では、同期速度と負荷角、始動法と制動巻線、界磁電流と力率の関係（V曲線）、同期調相機、出力とトルクの式、乱調を、図と例題で順に確認します。

• しくみ
  • 回転磁界に回転子の磁極が引かれ、同期速度 $N_s = 120f/p$ で回る。負荷で変わるのは速度でなく負荷角 $\delta$
• 始動
  • そのままでは始動できない。制動巻線・始動電動機・低周波で始動する
• 力率と V 曲線
  • 界磁電流を小さくすると遅れ、大きくすると進み。底は力率 1
  • 無負荷の同期電動機が同期調相機
• 出力とトルク
  • $P = 3VE\sin\delta/X_s$、$T = P/\omega$。$\delta = 90^\circ$ で最大、超えると脱調
• 例題
  • 同期速度とトルク、負荷角、$E = V - jX_sI$、V 曲線の読み取り

同期電動機とは？回転磁界に引かれて同期速度で回る

同期電動機とは、回転子が回転磁界と同じ速さ（同期速度）で回る交流電動機です。固定子には三相の電機子巻線、回転子には直流で励磁する磁極があり、構造は同期発電機と同じです。発電機は回転子を原動機で回して電力を取り出し、電動機は三相の電力を入れて回転子を回します。

固定子の三相巻線に三相交流を流すと、N 極と S 極が回る回転磁界ができます。回転子の磁極は、この磁極に引かれて同じ速さで回ります。負荷がかかると、回転子の磁極の軸は回転磁界の軸より角 $\delta$ だけ遅れます（図1）。この $\delta$ を負荷角といい、発電機とは遅れる側が逆です。

回転磁界の速さ、つまり同期速度 $N_s$ は、周波数 $f\ \mathrm{[Hz]}$ と極数 $p$ で決まります。

$$N_s = \frac{120f}{p}\ \mathrm{[min^{-1}]}$$

単位を $\mathrm{min^{-1}}$ として、よく使う極数と周波数の値を並べます。

極数	50 Hz	60 Hz
2	3000	3600
4	1500	1800
6	1000	1200

始動法と制動巻線｜自己始動できない理由

同期電動機は、そのままでは始動できません。回転磁界は、50 Hz・2 極なら 1 秒間に 50 回転と速く回ります。停止している回転子の磁極は、N 極に引かれたかと思うと、すぐ次に S 極にも引かれ、引く力と押す力が交互に入れ替わります。平均するとトルクは 0 で、回転子は動き出せません。

そこで、回転子を同期速度の近くまで別の方法で回してから、回転磁界に引き入れます。始動法は 3 つあります。

方法	回し方	備考
自己始動法	制動巻線でかご形のように始動	同期速度の近くで励磁
始動電動機法	別の電動機で回す	同期速度の近くまで加速
低周波始動法	低い周波数の電源から始める	周波数を上げて加速

自己始動法に使うのが制動巻線です。磁極の面に銅などの棒を埋め、両端を端絡環でつなぎます（図2）。かご形誘導電動機の回転子と同じ形です。

始動のときは、回転磁界が棒を切って電流が流れ、三相誘導電動機と同じ原理でトルクが生じて回転子が加速します。同期速度の近くまで上がったら、界磁巻線に直流を流します。すると回転子の磁極が回転磁界に引かれ、同期速度でそろって回ります（引き入れ）。同期速度で回っているあいだは、回転磁界が棒を切らないので、制動巻線にはほとんど電流が流れません。

回転子の磁極は、突極形では次の写真のように、鉄心に巻いたコイルへ直流を流して励磁します。

1銅の巻線2積層鉄心3軸4木のまくら

1. 銅の巻線　磁極に巻いたコイル
2. 積層鉄心　鋼板を重ねた部分
3. 軸　右に出ている
4. 木のまくら　作業台の上

制動巻線には、もう一つ大事な働きがあります。運転中に負荷が変わって回転子が揺れたとき、その揺れを抑える働きです（乱調、後述）。

界磁電流と力率の関係｜不足励磁と過励磁

同期電動機の1相分の等価回路は、同期発電機の逆向きの電流を考えたものです。電源の電圧 $\dot{V}$ から、同期リアクタンス $jX_s$ を通って、電流 $\dot{I}$ が回転子の誘導起電力 $\dot{E}$ に流れ込みます（図4）。電機子抵抗は小さいので無視します。

$$\dot{V} = \dot{E} + jX_s\dot{I}$$

$E$ の大きさは、界磁電流を増やすと大きくなります。電源電圧 $V$ と出力が決まっているとき、界磁電流を変えると $E$ が変わり、それにつれて電流 $I$ の大きさと位相が変わります。

出力 $P = 3VI\cos\theta$ が同じなら、有効電流 $I\cos\theta$ は一定です。ベクトル図で $\dot{E} = \dot{V} - jX_s\dot{I}$ の縦の成分を見ると、次の式が成り立ちます。

$$\begin{aligned} P &= 3VI\cos\theta \\ E\sin\delta &= X_s I\cos\theta \end{aligned}$$

出力が同じなら $E\sin\delta$ は一定、つまり $\dot{E}$ の先端は同じ高さの水平線の上を動きます。この線の上で $E$ を短くしたり長くしたりした 3 つのベクトル図を、順に見ましょう。力率 1 になる界磁電流を基準にして、それより小さい状態を不足励磁、大きい状態を過励磁といいます。

不足励磁では $E$ が短く、電流 $\dot{I}$ は電圧 $\dot{V}$ より遅れます（図5）。磁束が足りないぶんを、電源から遅れ電流を取り込んで補っています。

界磁電流を力率 1 の値にすると、$\dot{I}$ は $\dot{V}$ と同じ向きになります（図6）。このとき電流の大きさは最小で、$E = \sqrt{V^2 + (X_sI)^2}$ です。

界磁電流をさらに大きくした過励磁では、$E$ が長くなり、電流 $\dot{I}$ は電圧 $\dot{V}$ より進みます（図7）。

3 つの図は、$V = 1$、$X_s = 1.5$、有効電流 $I\cos\theta = 0.5$ として、自分で計算して描いたものです。$E$ と $\delta$ の値は次のとおりです。

状態	E	δ
不足励磁	1.08	44°
力率 1	1.25	37°
過励磁	1.57	29°

V曲線と同期調相機

出力を一定にして、横軸に界磁電流 $I_f$、縦軸に電機子電流 $I$ をとると、V の字の曲線が描けます。これが同期電動機の V 曲線です（図8）。

図は $V = 1$、$X_s = 1$ とした単位法で、前の節の式から自分で計算した曲線です。実機の値ではなく、形を見るためのものです。次の点を読み取ります。

• 曲線の底は力率 1 の点で、電流が最小になる。底より左（界磁電流が小さい側）は遅れ力率、右は進み力率
• 出力が大きいほど曲線は上へ移る。力率 1 の底は、右（界磁電流が大きい側）へずれる。破線は各出力の底を結んだ線
• 出力が 0（橙）の曲線は、底で電流が 0 になる
• 曲線の左端は $\delta = 90^\circ$ で、これより界磁電流を小さくすると同期を外れる

出力が 0 の曲線に注目します。この状態の同期電動機は、有効電力を使わず、界磁電流を変えるだけで進み電流も遅れ電流も流せます。これを電力系統の無効電力の調整に使うものが、同期調相機です。

1羽根2胴3ベース4天井クレーン

1. 羽根　左端の冷却用
2. 胴　円筒形の回転機
3. ベース　赤い鋼製
4. 天井クレーン　据え付け用

同期調相機は、無負荷で運転する同期電動機です。構造は同期電動機と同じで、軸に負荷をつなぎません。過励磁にすると進み電流が流れてコンデンサのように働き、遅れ無効電力を供給します。不足励磁にすると遅れ電流が流れてリアクトルのように働きます。界磁電流で連続的に調整できるのが特徴です。調相設備の種類と使い分けは、調相設備の種類と電圧調整で確かめられます。

同期電動機の出力・トルクと乱調

出力の式

前の節の 2 式から $I\cos\theta$ を消すと、出力が負荷角 $\delta$ で表せます。形は同期発電機の出力の式と同じで、$\delta$ の向きだけが逆です。

$$\begin{aligned} P &= \frac{3VE\sin\delta}{X_s} \\ &= \frac{V_LE_L\sin\delta}{X_s} \end{aligned}$$

$V$・$E$ は 1 相あたり（相電圧）、$V_L$・$E_L$ は線間の値です。$P$ は三相の合計になります。

$P$ は $\sin\delta$ に比例するので、$\delta = 90^\circ$ で最大になります（図10）。円筒形ではこれが最大出力 $P_{\max} = 3VE/X_s$ です。

負荷が決まれば、グラフの水平線との交点で $\delta$ が決まります。交点は 2 つありますが、使えるのは $\delta$ が $90^\circ$ より小さい側です。この範囲では、負荷が増えると $\delta$ が大きくなって出力も増え、新しい値でつりあいます（安定）。$90^\circ$ を超えると、$\delta$ が大きくなるほど出力が減り、つりあえません（不安定）。負荷が最大出力を超えると、同期を外れて止まります。これを脱調といい、そのときの最大トルクを脱出トルクといいます。

トルク

回転子の角速度は $\omega = 2\pi N_s/60\ \mathrm{[rad/s]}$ です。トルクは出力を角速度で割って求めます。

$$\begin{aligned} \omega &= \frac{2\pi N_s}{60} \\ T &= \frac{P}{\omega} \end{aligned}$$

速度は $N_s$ で一定なので、トルクも出力と同じ形で $\sin\delta$ に比例します。

乱調（ハンチング）

負荷が急に変わると、回転子は慣性があるので、新しい $\delta$ でぴたりと止まらず、まわりを上下に揺れます。この揺れが続いたり大きくなったりする現象が乱調です（図11）。

図11は、揺れが収まっていく様子を、概形で描いたものです。制動巻線があると、回転子が揺れて回転磁界との間に速度差が生じたときに、棒に電流が流れて揺れを抑える力が働きます。そのため、揺れが早く収まります。

誘導電動機との比較と用途

同期電動機と三相誘導電動機は、どちらも回転磁界で回りますが、回転子の様子が違います。

項目	同期	誘導
速度	一定（$N_s$）	すべりぶん遅い
力率	調整できる	遅れ
始動	補助が必要	そのまま可
励磁	直流が必要	不要
構造	複雑	単純

速度が一定で、力率も調整できるので、同期電動機は大容量で、決まった速度で回し続ける機械に向きます。ポンプや送風機、圧縮機の駆動が例です。電動機は継手を介して相手の機械とつなぎます。

1端子箱2冷却フィン3継手カバー4ポンプ5共通ベース

1. 端子箱　電源をつなぐ
2. 冷却フィン　熱を逃がす
3. 継手カバー　軸をつなぐ部分
4. ポンプ　電動機が回す
5. 共通ベース　まとめて固定

電動機に電源をつなぐ入口が端子箱です。同期電動機では、固定子の三相の端子に加えて、回転子の界磁へ直流を送る励磁装置が別に要ります。

1ふた2ボルト3ケーブル4冷却フィン5端のカバー

1. ふた　板のふたでとめる
2. ボルト　6 本でとめる
3. ケーブル　黒い電線管状
4. 冷却フィン　左側
5. 端のカバー　右側

周波数を変えられる電源（インバータ）を使えば、同期速度が周波数に比例して変わるので、速度を調整できます。

同期電動機の例題

同期速度とトルク

解答と解説を見る

(1) 同期速度は次のとおりです。

$$\begin{aligned} N_s &= \frac{120f}{p} \\ &= \frac{120 \times 60}{8} \\ &= 900\ \mathrm{[min^{-1}]} \end{aligned}$$

(2) 角速度を求めてから、トルクを求めます。

$$\begin{aligned} \omega &= \frac{2\pi N_s}{60} \\ &= \frac{2\pi \times 900}{60} \\ &\approx 94.2\ \mathrm{[rad/s]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} T &= \frac{P}{\omega} \\ &= \frac{180 \times 10^3}{94.2} \\ &\approx 1910\ \mathrm{[N \cdot m]} \end{aligned}$$

(3) 周波数に比例して小さくなります。

$$N_s = \frac{120 \times 50}{8} = 750\ \mathrm{[min^{-1}]}$$

出力から負荷角を求める

解答と解説を見る

(1) 1 相の電圧は、線間電圧を $\sqrt{3}$ で割った値です。

$$V = \frac{6600}{\sqrt{3}} \approx 3810\ \mathrm{[V]}$$

$P = 3VE\sin\delta/X_s$ を $\sin\delta$ について解きます。

$$\begin{aligned} \sin\delta &= \frac{PX_s}{3VE} \\ &= \frac{1500 \times 10^3 \times 12}{3 \times 3810 \times 4200} \\ &\approx 0.375 \end{aligned}$$

$\delta \approx 22^{\circ}$ です。

(2) $\delta = 90^{\circ}$ のとき最大です。

$$\begin{aligned} P_{\max} &= \frac{3VE}{X_s} \\ &= \frac{3 \times 3810 \times 4200}{12} \\ &\approx 4.0 \times 10^6\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

最大出力は約 $4.0\,\mathrm{[MW]}$ です。線間の式 $P = V_LE_L\sin\delta/X_s$ でも、$E_L = \sqrt{3} \times 4200 \approx 7274\,\mathrm{[V]}$ として $P \approx 1.5\,\mathrm{[MW]}$ と確かめられます。

電流から誘導起電力を求める

解答と解説を見る

(1) $\dot{V}$ を基準（$2000 + j0$）にします。進み力率 $0.8$ なので、電流は次のとおりです。

$$\dot{I} = 100(0.8 + j0.6) = 80 + j60\ \mathrm{[A]}$$

$\dot{E} = \dot{V} - jX_s\dot{I}$ に代入します。

$$\begin{aligned} \dot{E} &= 2000 - j10(80 + j60) \\ &= 2000 - (-600 + j800) \\ &= 2600 - j800\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$$$|\dot{E}| = \sqrt{2600^2 + 800^2} \approx 2720\ \mathrm{[V]}$$

(2) $\dot{E}$ は $\dot{V}$ より遅れています。

$$\delta = \tan^{-1}\frac{800}{2600} \approx 17.1^{\circ}$$

(3) 力率から求めます。

$$\begin{aligned} P &= 3VI\cos\theta \\ &= 3 \times 2000 \times 100 \times 0.8 \\ &= 480\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

$3VE\sin\delta/X_s$ に代入しても $480\,\mathrm{[kW]}$ で一致します。進み力率なので、$E$ は $V$ より大きくなっています。

V曲線の読み取り

解答と解説を見る

正しいのは ア と ウ です。

記号	正誤	理由
ア	正	力率 1 で電流が最小
イ	誤	小さい側は遅れ
ウ	正	有効電流が増える
エ	誤	大きい側へ移る

エは、力率 1 のときの $E = \sqrt{V^2 + (X_sI)^2}$ が、有効電流 $I$ の増加とともに大きくなるので、底は界磁電流の大きい側へ移ります。

よくある質問

同期電動機は、なぜ自己始動できない？

停止している回転子に、速く回る回転磁界が近づくと、N 極に引かれた直後に S 極にも引かれ、力の向きが交互に入れ替わります。平均するとトルクが 0 になり、回転子が動き出せません。そのため、制動巻線で誘導電動機のように始動するなど、同期速度の近くまで別の方法で回してから、引き入れます。

V曲線の左側と右側は、何が違う？

左側は界磁電流が小さい不足励磁で、電流は電圧より遅れ（遅れ力率）ます。右側は界磁電流が大きい過励磁で、電流は電圧より進み（進み力率）ます。底は力率 1 で、電流が最小です。

負荷を増やすと、同期電動機の速度は下がる？

下がりません。速度は $N_s = 120f/p$ のままで、負荷が増えると負荷角 $\delta$ が大きくなります。負荷が最大出力（脱出トルク）を超えると、同期を外れて（脱調）止まります。誘導電動機が負荷の増加でわずかに遅くなる（すべりが増す）のとは、この点が違います。

同期電動機と同期調相機は、何が違う？

構造は同じです。同期調相機は無負荷で運転し、有効電力は使わずに、界磁電流で進み・遅れの無効電力を調整するために使う設備です。同期電動機は、軸に負荷をつないで動力を取り出します。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

同期速度の式と、負荷が変わったときの速度は？

$N_s = 120f/p$ です。負荷が変わっても速度は $N_s$ のままで、変わるのは負荷角 $\delta$ です。

同期電動機が自己始動できない理由と、始動法は？

停止中は引く力と押す力が交互に入れ替わり、平均が 0 になるためです。始動法は、自己始動法（制動巻線）・始動電動機法・低周波始動法です。

界磁電流を小さくすると、力率はどうなりますか。

不足励磁で、電流は電圧より遅れます。力率 1 の値を超えて大きくする（過励磁）と、進みになります。

V 曲線の底は何を表しますか。

力率 1 の点で、電流が最小です。出力が大きいほど曲線は上へ、底は界磁電流の大きい側へ移ります。

同期調相機とは何ですか。

無負荷で運転する同期電動機です。界磁電流で、進み・遅れの無効電力を連続的に調整します。

出力の式と、脱調する負荷角は？

$P = 3VE\sin\delta/X_s$ です。円筒形は $\delta = 90^\circ$ で最大になり、超えると脱調します。

まとめ

• 同期電動機は、回転子が回転磁界と同じ速さ $N_s = 120f/p$ で回る。速度は負荷で変わらず、変わるのは負荷角 $\delta$
• そのままでは始動できないので、制動巻線（自己始動法）・始動電動機法・低周波始動法を使う。始動中の界磁巻線は抵抗で閉じておく
• 出力が同じなら、界磁電流を小さくすると遅れ、大きくすると進み。V 曲線の底が力率 1 で、出力が大きいほど曲線は上へ移る。無負荷で運転する同期電動機が、同期調相機
• 出力は $P = 3VE\sin\delta/X_s$、トルクは $T = P/\omega$（$\omega = 2\pi N_s/60$）。円筒形は $\delta = 90^\circ$ で最大、超えると脱調。制動巻線は乱調も抑える

同期機の基本は同期発電機を、無効電力の調整のしくみは調相設備の種類と電圧調整を、見直しましょう。