三相交流回路の計算｜Y結線・Δ結線の線間電圧・相電流と三相電力

送電線や工場の電動機の配線は、電線が3本で1組です。三相交流は、位相が 120° ずつずれた3つの交流を使うことで、少ない電線で多くの電力を送れ、電動機も滑らかに回せます。この記事では、Y 結線と Δ 結線の関係から、一相分の等価回路、三相電力までを順に確認します。

• 三相交流とは
  • 位相が 120° ずつずれた3つの電圧で、和は常に 0
  • 平衡（3相が同じ）なら、1相分を調べれば全体がわかる
• Y 結線と Δ 結線
  • Y 結線は、線間電圧 ＝ √3 × 相電圧、線電流 ＝ 相電流
  • Δ 結線は、線間電圧 ＝ 相電圧、線電流 ＝ √3 × 相電流
• 一相分の等価回路
  • Δ を Y に直し、相電圧 ＝ 線間電圧 ÷ √3 で1相分を解く
  • Δ から Y へ直すと、インピーダンスは 1÷3
• 三相電力
  • P ＝ √3 × 線間電圧 × 線電流 × cosθ
  • 3相の合計の電力は、時間によらず一定

三相交流回路とは

図1は、電柱の上の写真です。腕金に白いがいしが3個並び、電線が3本、柱上変圧器につながっています。街なかの配電線は、このように3本で1組になっているのがふつうです。この3本で送る交流が三相交流です。

1がいし2電線3柱上変圧器

1. がいし　電線を腕金から絶縁して支える
2. 電線　変圧器からの3本で、三相の1組
3. 柱上変圧器　電圧を下げて需要家へ送る

三相交流は、大きさと周波数が同じで、位相が 120° ずつずれた3つの交流電圧です。a 相を基準にすると、次のように表せます。

$$\begin{aligned} v_a &= \sqrt{2}\,V\sin\omega t \\ v_b &= \sqrt{2}\,V\sin(\omega t - 120^\circ) \\ v_c &= \sqrt{2}\,V\sin(\omega t - 240^\circ) \end{aligned}$$

図2のように、a 相、b 相、c 相の順に山がきます。どの瞬間も、3つの電圧を足すと 0 です。

$$v_a + v_b + v_c = 0$$

たとえば $\omega t = 90^\circ$ では、a 相が最大値 $\sqrt{2}V$、b 相と c 相はどちらも $-\sqrt{2}V/2$ で、合計は 0 になります。

大きさが等しく 120° ずつずれた電源を対称三相交流、3つのインピーダンスが等しい負荷を平衡負荷といいます。この記事では、特に断りがなければ、対称な電源と平衡負荷を考えます。

電線が3本で足りる理由

3つの電圧の和が 0 なので、平衡負荷では3つの電流の和も 0 です。ある瞬間に a 相から出た電流は、b 相と c 相から戻ります。3本の線が互いに行きと帰りを兼ねるので、戻り専用の線は要りません。

同じ電圧、同じ電力、同じ線路損失、力率 1 で比べると、三相3線式の電線の総量は、単相2線式の 3/4 で済みます。電線は3本になりますが、同じ電力を送るときの電流が単相の $1/\sqrt{3}$ になり、1本あたりを細くできるからです。

Y 結線の線間電圧と線電流

三相回路には、電圧や電流を表す言葉が2通りあります。相は負荷の1つ分（1つのインピーダンス）、線は電線です。

用語	意味
相電圧 $V_p$	負荷1相分にかかる電圧
線間電圧 $V_\ell$	線と線の間の電圧
相電流 $I_p$	負荷1相分に流れる電流
線電流 $I_\ell$	電線に流れる電流

Y 結線は、3つのインピーダンスの一端を1点（中性点）に集め、もう一端を端子 a、b、c につなぐ結線です。形が星（スター）に似ているので、スター結線ともいいます。図3のとおり、電線に流れる電流はそのまま負荷1相分を流れるので、線電流と相電流は等しくなります。

線間電圧は、相電圧の差です。a 相の相電圧を基準 $\dot{V}_a = V_p\angle 0^\circ$ とすると、b 相は 120° 遅れた

$$\dot{V}_b = V_p\left(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

です。端子 a と b の間の線間電圧 $\dot{V}_{ab}$ は、

$$\begin{aligned} \dot{V}_{ab} &= \dot{V}_a - \dot{V}_b \\ &= V_p\left(\frac{3}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= \sqrt{3}\,V_p\angle 30^\circ \end{aligned}$$

になります。複素数の計算は、電験の複素数の使い方で確かめられます。図4のように、$\dot{V}_{ab}$ は $\dot{V}_a$ と $-\dot{V}_b$ を足した平行四辺形の長い対角線です。

Y 結線の関係をまとめると、次のとおりです。

$$\begin{aligned} V_\ell &= \sqrt{3}\,V_p \\ I_\ell &= I_p \end{aligned}$$

線間電圧は相電圧の $\sqrt{3}$ 倍で、位相は相電圧より $30^\circ$ 進みます。たとえば線間電圧が $200\,\mathrm{[V]}$ なら、相電圧は $200/\sqrt{3} \fallingdotseq 115\,\mathrm{[V]}$ です。

中性点に電流は流れるか

平衡負荷では、3つの相電流は大きさが等しく $120^\circ$ ずつずれているので、合計は 0 です。電源の中性点と負荷の中性点を線でつないでも、その線には電流が流れません。負荷が不平衡だと、合計が 0 にならず、中性線に電流が流れます。

Δ 結線の線電流と相電流

Δ 結線は、3つのインピーダンスを三角形（デルタ）につなぎ、頂点を端子 a、b、c にする結線です。三相電動機の端子箱には、図5のように端子が6個並ぶものがあります。端子どうしを板でつなぐ位置を変えると、同じ電動機を Y 結線にも Δ 結線にもできます。

1端子2つなぎ板3ケーブル

1. 端子　電動機のコイルの端につながる
2. つなぎ板　端子どうしを結ぶ
3. ケーブル　電源から3本で届く

図6のとおり、Δ 結線では各インピーダンスが2本の線の間につながります。そのため、相電圧は線間電圧と同じです。一方、端子 a から入る線電流は、2つの相電流に分かれます。

キルヒホッフの電流則を端子 a に当てると、$\dot{I}_a = \dot{I}_{ab} - \dot{I}_{ca}$ です。$\dot{I}_{ab} = I_p\angle 0^\circ$、$\dot{I}_{ca} = I_p\angle 120^\circ = I_p\left(-\dfrac{1}{2} + j\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ とすると、

$$\begin{aligned} \dot{I}_a &= \dot{I}_{ab} - \dot{I}_{ca} \\ &= I_p\left(\frac{3}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= \sqrt{3}\,I_p\angle(-30^\circ) \end{aligned}$$

です。図7のフェーザ図でも、$\dot{I}_a$ は平行四辺形の長い対角線になります。

Δ 結線の関係をまとめると、次のとおりです。

$$\begin{aligned} V_\ell &= V_p \\ I_\ell &= \sqrt{3}\,I_p \end{aligned}$$

線電流は相電流の $\sqrt{3}$ 倍で、位相は相電流より $30^\circ$ 遅れます。

Y 結線と Δ 結線の比較

2つの結線の関係を並べると、次のとおりです。

項目	Y 結線	Δ 結線
線間電圧	$V_\ell = \sqrt{3}\,V_p$	$V_\ell = V_p$
線電流	$I_\ell = I_p$	$I_\ell = \sqrt{3}\,I_p$
位相	$V_\ell$ が $30^\circ$ 進む	$I_\ell$ が $30^\circ$ 遅れる
中性点	ある	ない

覚え方は、「$\sqrt{3}$ 倍になるのは、Y では電圧、Δ では電流」です。位相が進むか遅れるかは、迷ったらフェーザ図を描き、引き算の向きから決めます。

三相変圧器のコイルも、Y 結線と Δ 結線のどちらかでつなぎます。図8は、鉄心に巻いたコイルが3つ並ぶ三相変圧器です。コイルのつなぎ方による違いは、変圧器の結線で確かめられます。

1コイル2鉄心3端子

1. コイル　1つが1相分
2. 鉄心　磁束の通り道
3. 端子　電線をつなぐ部分

一相分の等価回路で解く手順

平衡三相回路では、3つの相が同じ大きさで 120° ずつずれているだけです。そのため、1相分だけ計算し、残りの相は位相をずらして考えれば足ります。図9のように、電源も負荷も Y 結線とみなし、中性点どうしを（想像上の線で）結んだ単相回路にします。

解く手順は次のとおりです。

1. 負荷が Δ 結線なら、Y 結線に直す（各相のインピーダンスを 1/3 にする）
2. 線間電圧 $V_\ell$ から、相電圧 $V_p = V_\ell/\sqrt{3}$ を求める
3. 1相分の電流 $I = V_p/Z$ を求める
4. Y 結線では線電流 $I_\ell$ が相電流 $I$ に等しい
5. 電力は、1相分を3倍する

式でまとめると、

$$I_\ell = \frac{V_p}{Z} = \frac{V_\ell}{\sqrt{3}\,Z}$$

です。Δ 結線の負荷が1つだけなら、Y に直さず、$I_p = V_\ell/Z$、$I_\ell = \sqrt{3}\,I_p$ と解いても同じ結果になります。線路のインピーダンスを含む計算にも、この一相分の考え方を使います。三相3線式の電圧降下の式も、一相分の等価回路から出てきます。

Δ 負荷を Y に直す

並列につながった Δ 負荷と Y 負荷をまとめて解くときは、Δ を Y に直します。一般の Δ-Y 変換は、

$$\dot{Z}_a = \frac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ca}}$$

です。3辺が等しい Δ 負荷（$\dot{Z}_\Delta$）なら、

$$\begin{aligned} \dot{Z}_Y &= \frac{\dot{Z}_\Delta^2}{3\dot{Z}_\Delta} \\ &= \frac{\dot{Z}_\Delta}{3} \end{aligned}$$

となり、各相のインピーダンスが 1/3 の Y 負荷に置き換わります。図10のとおりです。

換算しても線電流が変わらないことは、次のように確かめられます。Δ のままなら、$I_p = V_\ell/Z_\Delta$、$I_\ell = \sqrt{3}\,I_p$ です。Y に直すと、$I_\ell = (V_\ell/\sqrt{3})/(Z_\Delta/3)$ です。

$$\begin{aligned} I_\ell &= \sqrt{3}\,\frac{V_\ell}{Z_\Delta} \\ I_\ell &= \frac{V_\ell/\sqrt{3}}{Z_\Delta/3} = \sqrt{3}\,\frac{V_\ell}{Z_\Delta} \end{aligned}$$

どちらも同じ値になります。

三相電力の求め方

三相電力は、1相分の電力を3倍すれば求まります。1相分の電力は、相電圧 $V_p$、相電流 $I_p$、それらの位相差 $\theta$ で決まります。

$$P = 3V_pI_p\cos\theta$$

この $\theta$ は、負荷1相分のインピーダンスの偏角です。これを線間電圧 $V_\ell$ と線電流 $I_\ell$ で書き直します。Y 結線は $V_p = V_\ell/\sqrt{3}$、$I_p = I_\ell$ なので、

$$\begin{aligned} P &= 3 \cdot \frac{V_\ell}{\sqrt{3}} \cdot I_\ell\cos\theta \\ &= \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\cos\theta \end{aligned}$$

です。Δ 結線は $V_p = V_\ell$、$I_p = I_\ell/\sqrt{3}$ なので、

$$\begin{aligned} P &= 3V_\ell \cdot \frac{I_\ell}{\sqrt{3}}\cos\theta \\ &= \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\cos\theta \end{aligned}$$

となり、どちらの結線でも同じ式になります。無効電力と皮相電力も同様に、

$$\begin{aligned} P &= \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\cos\theta\ \mathrm{[W]} \\ Q &= \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\sin\theta\ \mathrm{[var]} \\ S &= \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\ \mathrm{[V\cdot A]} \end{aligned}$$

です。意味は有効電力・無効電力・皮相電力の記事のとおりで、$S^2 = P^2 + Q^2$、力率は $\cos\theta = P/S$ です。負荷1相分の抵抗 $R$ とリアクタンス $X$ がわかっているときは、相電流 $I_p$ を使って $P = 3I_p^2R$、$Q = 3I_p^2X$ でも求まります。

三相電力には、もう1つ大切な性質があります。図11は、抵抗負荷の各相の瞬時電力です。1相の電力は、単相と同じように1周期に2回脈動します。しかし3つの波は位相がずれていて、足すと常に $3VI$ で一定になります。電動機の回転が滑らかなのは、このことも理由のひとつです。

三相の電力は、図12のような分電盤から、3本1組の電線で工場の電動機などに送られます。

1銅のバー2遮断器3ケーブル

1. 銅のバー　電流が流れる導体
2. 遮断器　過電流で回路を切る
3. ケーブル　3本1組で負荷へ送る

三相交流回路の例題

問題で求めるものによって、使う関係を選びます。

場面	使う関係
Y 結線	$V_p = V_\ell/\sqrt{3}$、$I_\ell = I_p$
Δ 結線	$V_p = V_\ell$、$I_p = I_\ell/\sqrt{3}$
電力	$P = \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\cos\theta$

解答と解説を見る

1相分のインピーダンスの大きさは、

$$Z = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\,\mathrm{[\Omega]}$$

です。相電圧は、

$$V_p = \frac{200}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 115\,\mathrm{[V]}$$

なので、線電流は相電流と等しく、

$$I_\ell = \frac{V_p}{Z} \fallingdotseq 11.5\,\mathrm{[A]}$$

です。$I_\ell^2 = 400/3$ を使うと、

$$\begin{aligned} P &= 3I_\ell^2R \\ &= 3 \times \frac{400}{3} \times 6 \\ &= 2400\,\mathrm{[W]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} Q &= 3I_\ell^2X_L \\ &= 3 \times \frac{400}{3} \times 8 \\ &= 3200\,\mathrm{[var]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} S &= \sqrt{P^2 + Q^2} \\ &= 4000\,\mathrm{[V\cdot A]} \end{aligned}$$

です。

検算すると、力率は $\cos\theta = 6/10 = 0.6$ で、$\sqrt{3} \times 200 \times 11.547 \times 0.6 = 2400\,\mathrm{[W]}$ となり、一致します。

解答と解説を見る

インピーダンスの大きさは、

$$Z = \sqrt{24^2 + 18^2} = 30\,\mathrm{[\Omega]}$$

です。Δ 結線では相電圧が線間電圧と同じなので、

$$\begin{aligned} I_p &= \frac{200}{30} \\ &\fallingdotseq 6.67\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

線電流は、

$$\begin{aligned} I_\ell &= \sqrt{3}\,I_p \\ &\fallingdotseq 11.5\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

です。力率は $\cos\theta = 24/30 = 0.8$ で、

$$\begin{aligned} P &= 3I_p^2R \\ &= 3 \times \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times 24 \\ &= 3200\,\mathrm{[W]} \end{aligned}$$

です。

検算すると、$\sqrt{3} \times 200 \times 11.547 \times 0.8 = 3200\,\mathrm{[W]}$ で、一致します。

解答と解説を見る

Δ 負荷を Y に直すと、各相は

$$\frac{30}{3} = 10\,\mathrm{[\Omega]}$$

です。各相に $10\,\Omega$ が2つ並列になるので、合成抵抗は $5\,\Omega$ です。相電圧は $200/\sqrt{3}$ なので、

$$\begin{aligned} I_\ell &= \frac{200/\sqrt{3}}{5} \\ &= \frac{40}{\sqrt{3}} \\ &\fallingdotseq 23.1\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

消費電力は、

$$\begin{aligned} P &= 3I_\ell^2R \\ &= 3 \times \frac{1600}{3} \times 5 \\ &= 8000\,\mathrm{[W]} \end{aligned}$$

です。

検算すると、Y 側は $3 \times (400/3) \times 10 = 4000\,\mathrm{[W]}$、Δ 側は $3 \times (20/3)^2 \times 30 = 4000\,\mathrm{[W]}$ で、合計 $8000\,\mathrm{[W]}$ となり、一致します。

解答と解説を見る

Y 結線では、抵抗1個にかかる電圧は $200/\sqrt{3}$ です。

$$\begin{aligned} I_\ell &= \frac{200/\sqrt{3}}{20} \\ &\fallingdotseq 5.77\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} P &= 3I_\ell^2R \\ &= 3 \times \frac{100}{3} \times 20 \\ &= 2000\,\mathrm{[W]} \end{aligned}$$

Δ 結線では、抵抗1個に $200\,\mathrm{[V]}$ がかかります。

$$\begin{aligned} I_p &= \frac{200}{20} = 10\,\mathrm{[A]} \\ I_\ell &= \sqrt{3} \times 10 \\ &\fallingdotseq 17.3\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} P &= 3I_p^2R \\ &= 3 \times 10^2 \times 20 \\ &= 6000\,\mathrm{[W]} \end{aligned}$$

つまり、同じ抵抗でも Δ 結線のほうが、線電流も消費電力も 3 倍になります。

検算すると、$\sqrt{3} \times 200 \times 5.77 \fallingdotseq 2000\,\mathrm{[W]}$、$\sqrt{3} \times 200 \times 17.3 \fallingdotseq 6000\,\mathrm{[W]}$ で、一致します。

よくある質問

線間電圧と相電圧は、どちらを使えばよいですか。

電源の電圧は、断りがなければ線間電圧です。相電圧が必要なときは、Y 結線なら $V_\ell/\sqrt{3}$、Δ 結線なら線間電圧と同じ値です。1相分の計算に入る前に、問題の電圧がどちらなのかを確かめてください。

三相電力の式に $\sqrt{3}$ が付くのはなぜですか。

$P = 3V_pI_p\cos\theta$ を、線間電圧と線電流で書き直すためです。Y 結線では電圧が $1/\sqrt{3}$、Δ 結線では電流が $1/\sqrt{3}$ になるので、$3 \times (1/\sqrt{3}) = \sqrt{3}$ が残ります。

同じ負荷なら、Y 結線と Δ 結線のどちらの電力が大きいですか。

Δ 結線のほうが大きく、Y 結線の3倍です。Δ 結線では負荷にかかる電圧が $\sqrt{3}$ 倍になり、電流も $\sqrt{3}$ 倍になるので、電力は $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ 倍です。この性質を使い、電動機の始動電流を抑えるために、始動のときだけ Y 結線にする方法（Y-Δ 始動）もあります。

中性線は必要ですか。

平衡負荷なら、中性線の電流は 0 なので要りません。負荷が不平衡だと中性線に電流が流れます。そのため、三相4線式のように中性線を引く配線もあります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

三相交流の3つの電圧は、位相が何度ずつずれていて、足すとどうなりますか？

$120^\circ$ ずつずれていて、どの瞬間も足すと 0 になります。

Y 結線の線間電圧、線電流、位相の関係は？

$V_\ell = \sqrt{3}\,V_p$（相電圧より $30^\circ$ 進む）、$I_\ell = I_p$ です。

Δ 結線の線間電圧、線電流、位相の関係は？

$V_\ell = V_p$、$I_\ell = \sqrt{3}\,I_p$（相電流より $30^\circ$ 遅れる）です。

3辺が等しい Δ 負荷を Y に直すと、インピーダンスはどうなりますか？

$1/3$ になります（$\dot{Z}_Y = \dot{Z}_\Delta/3$）。

三相電力の式と、$\theta$ の意味は？

$P = \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\cos\theta$ で、$\theta$ は相電圧と相電流の位相差です。

同じ抵抗3個を、同じ線間電圧につなぐと、Δ 結線の消費電力は Y 結線の何倍ですか？

3倍です。

まとめ

• 三相交流は、位相が $120^\circ$ ずつずれた3つの交流で、和は常に 0。平衡なら1相分を調べれば全体がわかる
• Y 結線は $V_\ell = \sqrt{3}\,V_p$（$30^\circ$ 進む）、$I_\ell = I_p$。Δ 結線は $V_\ell = V_p$、$I_\ell = \sqrt{3}\,I_p$（$30^\circ$ 遅れる）
• 一相分の等価回路は、Δ を Y に直し（3辺が等しければインピーダンスが $1/3$）、$V_p = V_\ell/\sqrt{3}$ で解く
• 三相電力は $P = \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\cos\theta\ \mathrm{[W]}$、$Q = \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\sin\theta\ \mathrm{[var]}$、$S = \sqrt{3}\,V_\ell I_\ell\ \mathrm{[V\cdot A]}$。$\theta$ は相電圧と相電流の位相差
• 同じ抵抗・同じ線間電圧では、Δ 結線の消費電力は Y 結線の3倍

電力の意味は有効電力・無効電力・皮相電力、Δ と Y の換算の一般式は Δ-Y 変換の記事で確かめましょう。