A-D変換の分解能と量子化誤差｜ビット数の計算と逐次比較形・二重積分形を図解

針の振れを目盛で読む計器は、指示電気計器の種類で確認しました。一方、数字で値を表示する計器は、測った電圧をいったん数に直してから表示します。その入口にある回路が、A-D変換器です。

この記事では、A-D変換の3つの手順（標本化・量子化・符号化）、分解能と量子化誤差の計算、逐次比較形と二重積分形の違い、逆向きのD-A変換を順に確認します。例題では、1 LSB やサンプリング周波数、二重積分形の入力電圧、R-2R ラダーの出力電圧を、手を動かして求めます。

• A-D変換とは
  • 連続したアナログ量を、0 と 1 の数（ディジタル量）に直す
  • ディジタル計器の入口にあたる
• 標本化・量子化・符号化
  • 標本化は時間を区切り、量子化は大きさを区切り、符号化は2進数にする
  • サンプリング周波数は、信号の最高周波数の2倍より大きくする
• 分解能と量子化誤差
  • n ビットなら $2^n$ 段階、1 LSB は $V_{\mathrm{FS}}/2^n$
  • 量子化誤差は、最大で $\pm\frac{1}{2}$ LSB
• 変換の方式
  • 逐次比較形は、上のけたから1ビットずつ決める
  • 二重積分形は、積分の時間で測る。雑音に強い
  • 並列比較形は、比較器を並べて一度に決める
• D-A変換
  • R-2R ラダーで、ビットの数を電圧に戻す

A-D変換とは

電圧や電流は、本来、連続して変わる量です。時間が少し進めば値も少し変わり、途中の値はいくらでも細かく取れます。このような量をアナログ量といいます。これに対して、0 と 1 の並びで表した、とびとびの値をディジタル量といいます。

アナログ量をディジタル量に直す回路がA-D変換器で、逆に、ディジタル量をアナログ量に戻す回路がD-A変換器です。ディジタル計器の中では、測りたい電圧が次の順に進みます。

入力回路は、分圧器や増幅器を使って、測りたい電圧を A-D変換器が扱える大きさに整えます。レンジの切り替えも、ここで行います。A-D変換器が数を決め、最後の回路が、その数を数字にして表示します。針の位置で値を読む指示電気計器と比べると、針の代わりに A-D変換器が値を決めている、と考えると分かりやすくなります。

ディジタルマルチメータは、この入力回路・A-D変換器・表示が、1つの本体にまとまった計器です。

1液晶表示部2ダイヤル3入力端子

1. 液晶表示部　数字で結果を表示
2. ダイヤル　測る量とレンジを選ぶ
3. 入力端子　リード線をつなぐ

アナログ式とディジタル式を、読み方で比べると次のとおりです。

比べる点	アナログ式	ディジタル式
値の形	連続して変わる	とびとびの値
読み方	針と目盛を読む	数字をそのまま読む
例	可動コイル形	ディジタルマルチメータ

標本化・量子化・符号化とサンプリング定理

A-D変換は、次の3つの手順で進みます。

手順	区切るもの	できるもの
標本化	時間	とびとびの時刻の値
量子化	大きさ	段階のどれか
符号化	なし	2進数

1. 標本化（サンプリング）：一定の時間ごとに、電圧の値を取り出します。取り出す回数が1秒あたり何回かを、サンプリング周波数 $f_s$ といいます。
2. 量子化：取り出した値を、あらかじめ決めた段階のうち、いちばん近いものに丸めます。
3. 符号化：段階の番号を、2進数で表します。2進数と10進数の変換は、論理回路とカルノー図で確かめられます。

図3は、3ビットの例です。電圧を 8 段階に分けて、10 回標本化しています。標本点の下に並んだ3けたの数が、符号化の結果です。

量子化された信号は、なめらかな波ではなく、階段のようにとびとびの値になります。段が細かいほど、元の波に近づきます。

データを取り込んで記録する装置では、一定の間隔で標本化した値を、数にして保存します。

1本体2配線3ネジ

1. 本体　信号を取り込む箱
2. 配線　測る信号をつなぐ
3. ネジ　ふたを留める

サンプリング定理とエイリアシング

標本化の間隔が粗すぎると、元の信号を取り戻せません。サンプリング定理（標本化定理）は、元に戻せる条件を、次の式で示します。

$$f_s > 2 f_{\max}$$

信号に含まれる最高周波数 $f_{\max}$ の2倍より大きいサンプリング周波数 $f_s$ で標本化すれば、元の信号を取り戻せます。

この条件を満たさないと、高い周波数の成分が、低い周波数の成分に化けて見えます。これをエイリアシング（折り返しひずみ）といいます。図6は、9 Hz の波を、1 秒に 10 回標本化した例です。標本点は、1 Hz のゆっくりした波の上にも同じように並ぶため、1 Hz の波に見えてしまいます。

見かけの周波数は、$f_s$ の整数倍のうち、元の周波数 $f$ にいちばん近いものとの差で決まります。図6では、$|9 - 10| = 1\,\mathrm{Hz}$ です。対策として、A-D変換器の前に、ローパスフィルタ（アンチエイリアシングフィルタ）を入れ、$f_s/2$ より高い成分を、あらかじめ取り除きます。

解答と解説を見る

(1) サンプリング定理 $f_s > 2 f_{\max}$ より、

$$\begin{aligned} f_s &> 2 \times 4 \\ &= 8\,\mathrm{kHz} \end{aligned}$$

8 kHz より大きくします。

(2) 6 kHz は 8 kHz より小さく、条件を満たしません。4 kHz の波を、1 周期に 1.5 回（$6 \div 4$）しか標本化できないためです。4 kHz にいちばん近い 6 kHz の整数倍は 6 kHz で、差は、

$$|4 - 6| = 2\,\mathrm{kHz}$$

となり、2 kHz の信号に見えます。

分解能と量子化誤差の計算

分解能は、A-D変換器が見分けられる、電圧のいちばん小さな変化です。n ビットの A-D変換器は、$2^n$ 段階を区別できます。変換できる最大の電圧をフルスケール電圧 $V_{\mathrm{FS}}$ とすると、最下位ビット（LSB）1つぶんの電圧は、次の式です。

$$1\,\mathrm{LSB} = \frac{V_{\mathrm{FS}}}{2^n}$$

$V_{\mathrm{FS}} = 10\,\mathrm{V}$ のときの値は、次のとおりです。ビットが 2 つ増えるごとに、段階数は 4 倍になり、1 LSB は 4 分の 1 になります。

ビット数	段階数	1 LSB
8	256	39.1 mV
10	1024	9.77 mV
12	4096	2.44 mV
16	65536	0.153 mV

量子化誤差は最大 ±1/2 LSB

連続した電圧を段階に丸めるので、変換結果と実際の電圧の間には、差が出ます。これが量子化誤差です。いちばん近い段階に丸める（四捨五入形の）変換器では、誤差は最大でも 1/2 LSB で、$\pm\frac{1}{2}$ LSB の範囲に収まります。切り捨てる形の変換器では、0 から 1 LSB の範囲になります。

ビット数を増やすと、1 LSB が小さくなり、量子化誤差も小さくなります。

ディジタル計器の表示桁数

ディジタル計器の表示は、「3½桁」のように書きます。この「½桁」は、最上位のけたが、0 か 1 しか表示されないことを表します。3½桁の最大の表示は 1999 で、0 から 1999 までの 2000 通りを区別します。4½桁なら、最大は 19999 です。

2000 通りを区別するには、$2^{10} = 1024$ では足りず、$2^{11} = 2048$ の 11 ビットが必要です。

解答と解説を見る

(1) 式に当てはめます。

$$\begin{aligned} 1\,\mathrm{LSB} &= \frac{5}{2^{10}} \\ &= \frac{5}{1024} \\ &\fallingdotseq 4.88\,\mathrm{mV} \end{aligned}$$

(2) 最大は $\pm\frac{1}{2}$ LSB です。

$$\pm\frac{4.88}{2} \fallingdotseq \pm 2.44\,\mathrm{mV}$$

(3) 入力を 1 LSB で割って、いちばん近い整数にします。

$$\begin{aligned} D &= \frac{2.00}{5/1024} \\ &= 409.6 \\ &\to 410 \end{aligned}$$

(4) $5/2^n \le 0.001$ より、

$$2^n \ge 5000$$

$2^{12} = 4096$ では足りず、$2^{13} = 8192$ で足ります。13 ビット以上です。

A-D変換の方式と、逐次比較形・二重積分形

A-D変換器には、いくつかの方式があります。小さな IC にまとめられたものが、多く使われています。

1IC2端子3チップ部品4基板

1. IC　回路をまとめた部品
2. 端子　基板の配線へつなぐ
3. チップ部品　抵抗やコンデンサ
4. 基板　部品をつなぐ板

代表的な3つの方式を比べます。

方式	速さ	特徴
逐次比較形	中くらい	n 回の比較で決まる
二重積分形	遅め	雑音に強い
並列比較形	速い	比較器が $2^n - 1$ 個

逐次比較形

逐次比較形は、てんびんで重さを量るのとよく似ています。分銅を、重いものから順にのせ、重すぎたら外します。これを、軽い分銅まで繰り返せば、重さが決まります。

逐次比較形では、D-A変換器が作る基準の電圧と、入力電圧を、上のけた（MSB）から順に比べます。基準が入力より小さければそのビットを 1 に残し、大きければ 0 に戻します。n ビットなら、入力の大きさによらず、n 回の比較で結果が決まります。

図9は、フルスケール 16 V の 4 ビットで、入力が 11.4 V のときです。1 LSB は 1 V になります。

1. 8 V は 11.4 V より小さいので、b3 は 1 に残します。
2. 8 + 4 = 12 V は 11.4 V より大きいので、b2 は 0 に戻します。
3. 8 + 2 = 10 V は小さいので、b1 は 1 に残します。
4. 10 + 1 = 11 V は小さいので、b0 は 1 に残します。

結果は $(1011)_2 = 11$ で、11 V を表します。残りの 0.4 V が、量子化誤差です。

二重積分形

二重積分形は、積分回路を2回使います。積分回路は、オペアンプで作る回路で、入力を時間で積み重ねた電圧を出力します。

図10のように、まず、入力電圧 $V_x$ を、一定の時間 $T_1$ だけ積分します。次に、逆の向きの基準電圧 $V_r$ をつないで、積分器の出力が 0 に戻るまでの時間 $T_2$ を測ります。戻る傾きは、基準電圧で決まって一定です。入力が大きいほど、たくさん積分されているので、戻るのに時間がかかります。

積分回路の定数を R と C とすると、$T_1$ の終わりの出力の大きさは $\dfrac{V_x T_1}{RC}$ で、$T_2$ の間に減る量は $\dfrac{V_r T_2}{RC}$ です。この2つが等しいので、

$$\begin{aligned} \frac{V_x T_1}{RC} &= \frac{V_r T_2}{RC} \\ V_x &= V_r \frac{T_2}{T_1} \end{aligned}$$

となり、R と C が消えます。部品の値のばらつきの影響を受けません。時間は、クロックのパルスを数えて測ります。

また、$T_1$ を、商用周波数の周期の整数倍にすれば、その周波数の雑音は、積分の間に平均されて 0 になります。50 Hz の周期は 20 ms、60 Hz の周期は約 16.7 ms で、$T_1 = 100\,\mathrm{ms}$ なら、50 Hz の 5 周期と 60 Hz の 6 周期にあたります。

解答と解説を見る

(1) $V_x = V_r \dfrac{T_2}{T_1}$ より、

$$\begin{aligned} V_x &= 2.00 \times \frac{62.5}{100} \\ &= 1.25\,\mathrm{V} \end{aligned}$$

(2) 10 kHz の周期は 0.1 ms です。

$$\begin{aligned} T_1 &= \frac{100}{0.1} = 1000 \\ T_2 &= \frac{62.5}{0.1} = 625 \end{aligned}$$

$T_1$ は 1000 カウント、$T_2$ は 625 カウントです。カウントの比 $625/1000$ に $V_r$ を掛けても、1.25 V になります。

並列比較形とΔ-Σ形

並列比較形（フラッシュ形）は、基準電圧を等間隔に分けて、$2^n - 1$ 個の比較器で、入力と一度に比べる方式です。8 ビットなら 255 個の比較器が必要で、ビット数が増えると回路が大きくなりますが、変換は速くなります。

Δ-Σ形は、入力を、粗い 1 ビットの変換で高速に標本化し、フィルタで平均して、高い分解能を得る方式です。

D-A変換とR-2Rラダー

D-A変換は、A-D変換と逆に、2進数の数 D を、電圧に直します。基準電圧を $V_{\mathrm{ref}}$、ビット数を n とすると、出力電圧は、次の式です。

$$V_{\mathrm{out}} = V_{\mathrm{ref}} \times \frac{D}{2^n}$$

D が 1 増えるごとに、出力は 1 LSB ぶん、$V_{\mathrm{ref}}/2^n$ だけ増えます。

この変換をする回路の1つが、R-2R ラダーです。図11のように、R と 2R の2種類の抵抗だけを、はしごの形につなぎます。各ビットのスイッチを、1 のときは $V_{\mathrm{ref}}$ 側、0 のときは 0 V 側に倒します。

どの節点から見ても、右側の合成抵抗が 2R になる形なので、1つ左へ進むごとに、電圧の寄与が半分になります。上のけたほど出力への寄与が大きく、3ビットなら、b2、b1、b0 が、$V_{\mathrm{ref}}$ の 1/2、1/4、1/8 ずつを受け持ちます。この考え方は、テブナンの定理で右側を等価電源に置き換えていくと、確かめられます。

$$V_{\mathrm{out}} = V_{\mathrm{ref}} \left( \frac{b_2}{2} + \frac{b_1}{4} + \frac{b_0}{8} \right)$$

図11は $b_2 b_1 b_0 = (101)_2$ なので、$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$ より、$V_{\mathrm{out}} = 0.625\,V_{\mathrm{ref}}$ です。D の式 $D/2^3 = 5/8$ とも一致します。

4 ビットで $V_{\mathrm{ref}} = 10\,\mathrm{V}$ のときの、出力の例です。

2進数	10進数	出力
$(0001)_2$	1	0.625 V
$(1000)_2$	8	5 V
$(1010)_2$	10	6.25 V
$(1111)_2$	15	9.375 V

解答と解説を見る

(1) $(1010)_2 = 8 + 2 = 10$ です。

$$\begin{aligned} V_{\mathrm{out}} &= 10 \times \frac{10}{2^4} \\ &= 10 \times \frac{10}{16} \\ &= 6.25\,\mathrm{V} \end{aligned}$$

(2) D が 1 増えるごとの電圧です。

$$\frac{10}{2^4} = 0.625\,\mathrm{V}$$

よくある質問

サンプリング周波数は、信号の最高周波数のちょうど2倍でよい？

ちょうど2倍では足りません。サンプリング定理は、2倍より大きいことを求めます。たとえば、$f_s = 2f$ で標本化すると、標本点が波のちょうど 0 の位置に重なる場合があり、値がすべて 0 になって、波が見えなくなります。実際には、2倍より十分に大きくとり、ローパスフィルタで高い成分も除きます。

分解能と確度は、どう違う？

分解能は、見分けられる最小の変化で、1 LSB の大きさで決まります。確度は、測った値が真の値にどれだけ近いかです。ビット数を増やして分解能を上げても、基準電圧や回路の誤差が大きければ、確度は上がりません。表示の桁数が多いことと、値が正確なことは、別の話です。ディジタル計器の確度の表し方は、測定の誤差の計算で扱います。

二重積分形は、なぜ雑音に強い？

入力を、一定の時間 $T_1$ のあいだ積分するからです。$T_1$ を商用周波数の周期の整数倍にすると、その周波数の雑音は、積分の間に正と負が打ち消し合って 0 になります。変換の時間は長めですが、精度が必要な計器に向きます。

ビットを1つ増やすと、分解能はどうなる？

段階数が 2 倍になり、1 LSB は 1/2 になります。たとえば、$V_{\mathrm{FS}} = 5\,\mathrm{V}$ で、10 ビットの 4.88 mV から、11 ビットの 2.44 mV になります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

A-D変換の3つの手順は、何ですか。

標本化（時間を区切る）、量子化（大きさを区切る）、符号化（2進数にする）です。

n ビットの A-D変換器の段階数と、1 LSB は？

段階数は $2^n$ で、1 LSB は $V_{\mathrm{FS}}/2^n$ です。

量子化誤差は、最大でどれだけですか。

四捨五入形なら、$\pm\frac{1}{2}$ LSB です。

サンプリング定理を、式で書くと？

$f_s > 2 f_{\max}$ です。満たさないと、低い周波数に見えます（エイリアシング）。

二重積分形の入力電圧は、どんな式で求めますか。

$V_x = V_r T_2 / T_1$ です。R と C は式に出てきません。

D-A変換の出力電圧は、どんな式ですか。

$V_{\mathrm{out}} = V_{\mathrm{ref}} \times D/2^n$ です。

まとめ

• A-D変換は、連続したアナログ量を、標本化（時間）・量子化（大きさ）・符号化（2進数）の順に、ディジタル量へ直す。ディジタル計器の入口にあたる
• サンプリング周波数は、$f_s > 2 f_{\max}$ にする。満たさないと、エイリアシングで別の周波数に見える
• n ビットなら $2^n$ 段階で、1 LSB は $V_{\mathrm{FS}}/2^n$。量子化誤差は、四捨五入形で最大 $\pm\frac{1}{2}$ LSB
• 逐次比較形は、上のけたから n 回の比較で決める。二重積分形は $V_x = V_r T_2/T_1$ で、雑音に強い。並列比較形は、速いが比較器が $2^n - 1$ 個いる
• D-A変換の出力は $V_{\mathrm{ref}} \times D/2^n$。R-2R ラダーで作れる

電圧を測る前の段階、つまり、温度・ひずみ・光といった物理量を電気信号に変える部品は、計測に使うセンサで、種類ごとに整理します。