発電機も変圧器も、磁束を変えて電圧を取り出す装置です。前の記事の磁界の強さの求め方 では、電流が磁界をつくることを学びました。この逆に、コイルを貫く磁束が変わると、コイルに起電力が生じます。これが電磁誘導です。
この記事では、ファラデーの法則とレンツの法則、磁界の中を動く導体の起電力 e = B l v sin θ e = Blv\sin\theta e = B l v sin θ W = 1 2 L I 2 W = \frac{1}{2}LI^2 W = 2 1 L I 2
電磁誘導の全体像
電磁誘導
磁束が変化するとき、コイルに誘導起電力が生じる（ファラデーの法則）
向きは、磁束の変化を妨げる向き（レンツの法則）
動く導体の起電力
自己誘導
e ＝ −L ΔI/Δt。環状コイルの L ＝ μSN²/l。磁気エネルギー W ＝ LI²/2
相互誘導
e2 ＝ −M ΔI1/Δt。M ＝ k√(L1 L2)
直列接続は L ＝ L1 ＋ L2 ± 2M（和動は ＋、差動は −）
渦電流
導体の内部に流れる渦状の誘導電流。IH 調理器と鉄心の損失
例題
起電力・動く導体・自己インダクタンス・環状コイル・和動差動
電磁誘導とは
コイルに検流計（図では G）をつなぎ、磁石を近づけたり遠ざけたりすると、検流計の針が振れます。コイルを貫く磁束が変化するとき、コイルに起電力が生じ、回路が閉じていれば電流が流れます。この現象を電磁誘導、生じた起電力を誘導起電力、流れる電流を誘導電流といいます。1831年に、ファラデーが見つけました。
（a）近づける
S
N
コイル
G
針が一方へ振れる
（b）止めておく
S
N
コイル
G
針は振れない（0）
（c）遠ざける
S
N
コイル
G
針が逆へ振れる
磁束が変化している間だけ、起電力が生じる
図1 電磁誘導。コイルを貫く磁束が変化している間だけ、コイルに起電力が生じて検流計の針が振れる
図1 のように、磁石をコイルの近くに止めておくと、針は振れません。起電力が生じるのは、磁束が変化している間だけで、磁束の大きさそのものでは決まりません。磁石を近づけるときと遠ざけるときでは、起電力の向きが逆になります。
ファラデーの法則
N N N Δ t [ s ] \Delta t\,\mathrm{[s]} Δ t [ s ] Δ Φ [ W b ] \Delta\Phi\,\mathrm{[Wb]} ΔΦ [ Wb ]
e = − N Δ Φ Δ t [ V ] e = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\,\mathrm{[V]} e = − N Δ t ΔΦ [ V ] です。これをファラデーの法則（電磁誘導の法則）といいます。大きさは、磁束の変化の速さ Δ Φ / Δ t \Delta\Phi/\Delta t ΔΦ/Δ t N N N 1 [ W b / s ] = 1 [ V ] 1\,\mathrm{[Wb/s]} = 1\,\mathrm{[V]} 1 [ Wb/s ] = 1 [ V ]
1 ハブ 2 リード線 3 車軸のナット ハブ 内部に磁石とコイルが入っているリード線 起電力を灯りへ送る車軸のナット 車輪が回る中心を固定する図2 自転車のハブダイナモのイメージ。車輪が回ると、内部の磁石とコイルが相対的に動き、コイルを貫く磁束が変わって起電力が生じる（写真はイメージ） 起電力を大きくする方法は、次の3つです。
変えるもの 起電力 理由 磁石を速く動かす 大きくなる Δ Φ / Δ t \Delta\Phi/\Delta t ΔΦ/Δ t 巻数 N N N N N N 各巻に同じ起電力が生じ、足される 磁石を止める 0 Δ Φ = 0 \Delta\Phi = 0 ΔΦ = 0
ポイント
コイルを貫く磁束が変化するとき、誘導起電力 e = − N Δ Φ / Δ t [ V ] e = -N\,\Delta\Phi/\Delta t\,\mathrm{[V]} e = − N ΔΦ/Δ t [ V ]
レンツの法則と誘導起電力の向き
誘導起電力の向きは、レンツの法則で決まります。誘導電流がつくる磁束は、もとの磁束の変化を妨げる向きになる、という法則です。磁束が増えるときは、それを打ち消す向きに、減るときは、それを補う向きに、誘導電流が流れます。
（a）N 極を近づける
S
N
磁石の磁束 Φ が増える
打ち消す向きに電流が流れる
上側は N 極：磁石をはね返す
（b）N 極を遠ざける
S
N
磁石の磁束 Φ が減る
補う向きに電流が流れる
上側は S 極：磁石を引き戻す
⊙＝手前向き ⊗＝奥向き（コイルの電流）
図3 レンツの法則。誘導電流がつくる磁束は、磁石の磁束の変化を妨げる向きになる
図3 は、コイルの断面です。N 極を近づけると、コイルを貫く下向きの磁束が増えます。これを打ち消すため、コイルは上向きの磁束をつくる向きに電流を流し、コイルの上側が N 極になって、近づく磁石をはね返します。N 極を遠ざけると、下向きの磁束が減ります。これを補うため、コイルは下向きの磁束をつくる向きに電流を流し、コイルの上側が S 極になって、遠ざかる磁石を引き戻します。
磁石の操作 磁束の変化 コイルの上側 N 極を近づける 増える N 極（反発） N 極を遠ざける 減る S 極（引き合う）
どちらの場合も、磁石は動きを妨げる力を受けます。そのため、磁石を動かすには力が要り、この力がした機械的な仕事が、電気エネルギーに変わります。もし誘導電流が変化を助ける向きに流れるなら、エネルギーが無から生まれてしまいます。レンツの法則は、エネルギー保存の法則の表れです。ファラデーの法則の式のマイナスは、この向きの関係を表しています。
磁界の中を動く導体の起電力 e＝Blv sinθ
磁界の中で導体を動かしても、起電力が生じます。磁束密度 B [ T ] B\,\mathrm{[T]} B [ T ] l [ m ] l\,\mathrm{[m]} l [ m ] v [ m / s ] v\,\mathrm{[m/s]} v [ m/s ] Δ t \Delta t Δ t l v Δ t l\,v\Delta t l v Δ t Δ Φ = B l v Δ t \Delta\Phi = B\,l\,v\Delta t ΔΦ = B l v Δ t N = 1 N = 1 N = 1
Δ Φ = B ⋅ l v Δ t e = Δ Φ Δ t = B l v [ V ] \begin{aligned}
\Delta\Phi &= B \cdot l\,v\,\Delta t \\
e &= \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = Blv\,\mathrm{[V]}
\end{aligned} ΔΦ e = B ⋅ l v Δ t = Δ t ΔΦ = B l v [ V ] です。導体の速度が磁界とのあいだに角 θ \theta θ v sin θ v\sin\theta v sin θ
e = B l v sin θ [ V ] e = Blv\sin\theta\,\mathrm{[V]} e = B l v sin θ [ V ] になります。θ \theta θ
R
B
v
e
＋
−
F
長さ l
I
⊗＝磁界 B は紙面の奥向き 力 F は運動を妨げる向き
右手：親指＝速度 v 人差し指＝磁界 B 中指＝起電力 e
図4 磁界の中を動く導体の起電力 e＝Blv。右手は、親指が速度 v、人差し指が磁界 B、中指が起電力 e
向きは、フレミングの右手の法則で決めます。右手の親指・人差し指・中指を互いに直角に開き、親指を導体の動く向き（速度 v v v B B B e e e
指 右手（発電機） 左手（モーター） 親指 速度 v v v 力 F F F 人差し指 磁界 B B B 磁界 B B B 中指 起電力 e e e 電流 I I I
左手の法則は、前の記事の磁界の強さの求め方 で使いました。
導体にレールを通して抵抗 R R R I = e / R I = e/R I = e / R F = B I l F = BIl F = B I l F v = B I l ⋅ v = ( B l v ) I = e I Fv = BIl \cdot v = (Blv)\,I = eI F v = B I l ⋅ v = ( B l v ) I = e I 直流発電機の誘導起電力 で確かめられます。
ポイント
磁界の中を動く導体の起電力は e = B l v sin θ e = Blv\sin\theta e = B l v sin θ F = B I l F = BIl F = B I l
自己誘導とインダクタンス
コイルに流れる電流が変わると、コイル自身がつくる磁束も変わります。すると、そのコイル自身に起電力が生じます。これを自己誘導といいます。向きは、電流の変化を妨げる向きです。電流が Δ t \Delta t Δ t Δ I \Delta I Δ I
e = − L Δ I Δ t [ V ] e = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}\,\mathrm{[V]} e = − L Δ t Δ I [ V ] です。比例定数 L L L [ H ] \mathrm{[H]} [ H ]
スイッチを入れた直後
E
コイル L
i
e （i の増加を妨げる向き）
スイッチ
電流 i の変化
t
i
E/R
ゆっくり増える
電流の変化が速いほど、起電力 e は大きい
図5 自己誘導。電流が変わるとき、コイルは変化を妨げる向きに起電力 e を生じる
図5 の回路で、スイッチを入れると、電流は増えようとします。コイルは、その増加を妨げる向きに起電力を生じるので、電流はすぐには E / R E/R E / R E / R E/R E / R
N N N I I I Φ [ W b ] \Phi\,\mathrm{[Wb]} Φ [ Wb ] N Φ N\Phi N Φ I I I N Φ = L I N\Phi = LI N Φ = L I e = − N Δ Φ / Δ t e = -N\,\Delta\Phi/\Delta t e = − N ΔΦ/Δ t
L = N Φ I [ H ] L = \frac{N\Phi}{I}\,\mathrm{[H]} L = I N Φ [ H ] 環状コイルの自己インダクタンス
断面積 S [ m 2 ] S\,\mathrm{[m^2]} S [ m 2 ] l [ m ] l\,\mathrm{[m]} l [ m ] μ [ H / m ] \mu\,\mathrm{[H/m]} μ [ H/m ] N N N I I I H = N I / l H = NI/l H = N I / l Φ = B S = μ H S \Phi = BS = \mu HS Φ = B S = μ H S
Φ = μ S N I l L = N Φ I = μ S N 2 l [ H ] \begin{aligned}
\Phi &= \frac{\mu SNI}{l} \\
L &= \frac{N\Phi}{I} = \frac{\mu SN^2}{l}\,\mathrm{[H]}
\end{aligned} Φ L = l μ S N I = I N Φ = l μ S N 2 [ H ] L L L L L L
変えるもの L L L 理由 巻数 N N N 4倍 N 2 N^2 N 2 断面積 S S S 2倍 S S S 磁路の長さ l l l 1 / 2 1/2 1/2 l l l 透磁率 μ \mu μ 2倍 μ \mu μ
鉄心を入れると μ \mu μ L L L
1 コイル 2 鉄心の上辺 3 積層の側面 コイル 銅線を巻いた部分鉄心の上辺 磁束の通り道積層の側面 薄い鋼板を重ねている図6 鉄心にコイルを巻いたもの。鉄心の透磁率が大きいので、空心のコイルよりインダクタンス L が大きくなる（写真はイメージ） 磁気エネルギー
コイルに電流 I I I I I I
W = 1 2 L I 2 [ J ] W = \frac{1}{2}LI^2\,\mathrm{[J]} W = 2 1 L I 2 [ J ] コンデンサのエネルギー 1 2 C V 2 \frac{1}{2}CV^2 2 1 C V 2 L L L Δ I / Δ t \Delta I/\Delta t Δ I /Δ t e = L Δ I / Δ t e = L\,\Delta I/\Delta t e = L Δ I /Δ t
ポイント
自己誘導の起電力は e = − L Δ I / Δ t e = -L\,\Delta I/\Delta t e = − L Δ I /Δ t L = N Φ / I [ H ] L = N\Phi/I\,\mathrm{[H]} L = N Φ/ I [ H ] L = μ S N 2 / l L = \mu SN^2/l L = μ S N 2 / l N 2 N^2 N 2 W = 1 2 L I 2 [ J ] W = \frac{1}{2}LI^2\,\mathrm{[J]} W = 2 1 L I 2 [ J ]
相互誘導と結合係数
2つのコイルを近づけ、片方の電流を変えると、もう片方のコイルに起電力が生じます。これを相互誘導といいます。1次コイルの電流が Δ t \Delta t Δ t Δ I 1 \Delta I_1 Δ I 1
e 2 = − M Δ I 1 Δ t [ V ] e_2 = -M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}\,\mathrm{[V]} e 2 = − M Δ t Δ I 1 [ V ] です。比例定数 M M M [ H ] \mathrm{[H]} [ H ] 変圧器の巻数比と電圧・電流の関係 で確かめられます。
磁束 Φ
E
スイッチ
G
1次コイル 巻数 N1
2次コイル 巻数 N2
1次の電流が変わると、2次に起電力 e2 が生じる
図7 相互誘導。1 次コイルの電流が変わると、2 次コイルに起電力が生じる
身近な例が、ワイヤレス充電です。充電台の中のコイルに流れる交流が、変化する磁束をつくり、スマートフォンの中のコイルに起電力を生じさせます。配線でつながなくても、電力を送れます。
1 充電台 2 スマートフォン 3 すき間 充電台 コイルに交流を流すスマートフォン コイルに起電力が生じるすき間 配線でつながなくても電力が届く図8 ワイヤレス充電のイメージ。充電台のコイルの電流が変わると、スマートフォン内のコイルに起電力が生じる（写真はイメージ） 結合係数
2つのコイルの自己インダクタンスを L 1 L_1 L 1 L 2 L_2 L 2 M M M
M = k L 1 L 2 [ H ] M = k\sqrt{L_1 L_2}\,\mathrm{[H]} M = k L 1 L 2 [ H ] と書けます。k k k 0 ≤ k ≤ 1 0 \le k \le 1 0 ≤ k ≤ 1 k = 1 k = 1 k = 1 M = L 1 L 2 M = \sqrt{L_1L_2} M = L 1 L 2 N 1 N_1 N 1 N 2 N_2 N 2 L 1 = μ S N 1 2 / l L_1 = \mu SN_1^2/l L 1 = μ S N 1 2 / l L 2 = μ S N 2 2 / l L_2 = \mu SN_2^2/l L 2 = μ S N 2 2 / l M = μ S N 1 N 2 / l M = \mu SN_1N_2/l M = μ S N 1 N 2 / l M 2 = L 1 L 2 M^2 = L_1L_2 M 2 = L 1 L 2
直列接続（和動・差動）
2つのコイルを直列につなぐと、2つのコイルの磁束が、強め合うか弱め合うかで、合成インダクタンスが変わります。
（a）和動接続
電流 I
L1
L2
磁束
強め合う
L ＝ L1 ＋ L2 ＋ 2M
（b）差動接続
電流 I
L1
L2
磁束
弱め合う
L ＝ L1 ＋ L2 − 2M
●＝電流が入ると、磁束が同じ向きにできる端
図9 コイルの直列接続。磁束が強め合う和動は L＝L1＋L2＋2M、弱め合う差動は L＝L1＋L2−2M
図9 の黒丸は、電流が入ると磁束が同じ向きにできる端を表します。電流が両方のコイルに黒丸の端から入るのが和動接続で、磁束が強め合います。片方のコイルに黒丸と反対の端から入るのが差動接続で、磁束が弱め合います。
電流 I I I L 1 L_1 L 1 M M M
e = − ( L 1 + M ) Δ I Δ t − ( L 2 + M ) Δ I Δ t = − ( L 1 + L 2 + 2 M ) Δ I Δ t \begin{aligned}
e &= -(L_1 + M)\frac{\Delta I}{\Delta t} \\
&\quad -(L_2 + M)\frac{\Delta I}{\Delta t} \\
&= -(L_1 + L_2 + 2M)\frac{\Delta I}{\Delta t}
\end{aligned} e = − ( L 1 + M ) Δ t Δ I − ( L 2 + M ) Δ t Δ I = − ( L 1 + L 2 + 2 M ) Δ t Δ I 差動接続では、相互誘導の向きが逆になり、M M M
接続 磁束 合成 L L L 和動接続 強め合う L 1 + L 2 + 2 M L_1 + L_2 + 2M L 1 + L 2 + 2 M 差動接続 弱め合う L 1 + L 2 − 2 M L_1 + L_2 - 2M L 1 + L 2 − 2 M
和動の値 L + L_+ L + L − L_- L − M = ( L + − L − ) / 4 M = (L_+ - L_-)/4 M = ( L + − L − ) /4
ポイント
相互誘導の起電力は e 2 = − M Δ I 1 / Δ t e_2 = -M\,\Delta I_1/\Delta t e 2 = − M Δ I 1 /Δ t M = k L 1 L 2 M = k\sqrt{L_1L_2} M = k L 1 L 2 0 ≤ k ≤ 1 0 \le k \le 1 0 ≤ k ≤ 1 L = L 1 + L 2 ± 2 M L = L_1 + L_2 \pm 2M L = L 1 + L 2 ± 2 M + 2 M +2M + 2 M − 2 M -2M − 2 M
渦電流と電磁誘導の利用
板や塊の形の導体の中で磁束が変化すると、導体の内部に、渦を巻くような誘導電流が流れます。これを渦電流といいます。導体には抵抗があるので、渦電流はジュール熱を出します。
この熱を使うのが、IH 調理器です。天板の下のコイルに高周波の電流を流して、変化する磁束を鍋の底に通すと、鍋の底に渦電流が流れ、鍋自身が発熱します。
図10 IH 調理器のイメージ。天板の下のコイルがつくる磁束の変化で、鍋の底に渦電流が流れて発熱する（写真はイメージ） 一方、変圧器やモーターの鉄心の中では、渦電流の熱は損失（渦電流損）になります。鉄心を、薄い鋼板を絶縁して重ねた積層鉄心にすると、渦電流の通り道が細かく分かれて小さくなり、損失が減ります。損失と効率の関係は、変圧器の損失と効率 で確かめられます。
電磁誘導の利用をまとめると、次の表になります。
利用 原理 磁束を変えるもの 発電機・ハブダイナモ 動く導体や磁石の電磁誘導 磁石や導体の運動 変圧器・ワイヤレス充電 相互誘導 交流の電流 IH 調理器 鍋の底の渦電流 高周波の電流
電磁誘導の例題（起電力・インダクタンス）
計算に入る前に、問われ方と使う式を表にまとめます。
問われること 使う式 注意 誘導起電力 e = N Δ Φ / Δ t e = N\,\Delta\Phi/\Delta t e = N ΔΦ/Δ t Δ t \Delta t Δ t 動く導体の起電力 e = B l v sin θ e = Blv\sin\theta e = B l v sin θ θ \theta θ v v v B B B 自己インダクタンス L = N Φ / I L = N\Phi/I L = N Φ/ I W = 1 2 L I 2 W = \frac{1}{2}LI^2 W = 2 1 L I 2 エネルギーは 1 2 \frac{1}{2} 2 1 環状コイルの L L L L = μ S N 2 / l L = \mu SN^2/l L = μ S N 2 / l N 2 N^2 N 2 相互・和動差動 M = k L 1 L 2 M = k\sqrt{L_1L_2} M = k L 1 L 2 L 1 + L 2 ± 2 M L_1 + L_2 \pm 2M L 1 + L 2 ± 2 M 差動は − 2 M -2M − 2 M
以下、起電力は大きさだけを求めます。
ファラデーの法則の計算
例題1
巻数 200 200 200 0.1 [ s ] 0.1\,\mathrm{[s]} 0.1 [ s ] 4 × 10 − 3 [ W b ] 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{[Wb]} 4 × 1 0 − 3 [ Wb ] 0.4 [ s ] 0.4\,\mathrm{[s]} 0.4 [ s ]
解答と解説を見る (1) e = N Δ Φ / Δ t e = N\,\Delta\Phi/\Delta t e = N ΔΦ/Δ t
e = N Δ Φ Δ t = 200 × 4 × 10 − 3 0.1 = 8 [ V ] \begin{aligned}
e &= N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \\
&= 200 \times \frac{4 \times 10^{-3}}{0.1} \\
&= 8\,\mathrm{[V]}
\end{aligned} e = N Δ t ΔΦ = 200 × 0.1 4 × 1 0 − 3 = 8 [ V ] (2) 時間が4倍なので、起電力は 1 / 4 1/4 1/4
e = 200 × 4 × 10 − 3 0.4 = 2 [ V ] \begin{aligned}
e &= 200 \times \frac{4 \times 10^{-3}}{0.4} \\
&= 2\,\mathrm{[V]}
\end{aligned} e = 200 × 0.4 4 × 1 0 − 3 = 2 [ V ] 動く導体の起電力
例題2
磁束密度 0.5 [ T ] 0.5\,\mathrm{[T]} 0.5 [ T ] 0.4 [ m ] 0.4\,\mathrm{[m]} 0.4 [ m ] 5 [ m / s ] 5\,\mathrm{[m/s]} 5 [ m/s ] 2 [ Ω ] 2\,\mathrm{[\Omega]} 2 [ Ω ] 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
解答と解説を見る (1) 速度が磁界と垂直なので、sin θ = 1 \sin\theta = 1 sin θ = 1
e = B l v = 0.5 × 0.4 × 5 = 1 [ V ] \begin{aligned}
e &= Blv \\
&= 0.5 \times 0.4 \times 5 \\
&= 1\,\mathrm{[V]}
\end{aligned} e = B l v = 0.5 × 0.4 × 5 = 1 [ V ] (2) 電流は、オームの法則で求めます。
I = e R = 1 2 = 0.5 [ A ] \begin{aligned}
I &= \frac{e}{R} \\
&= \frac{1}{2} = 0.5\,\mathrm{[A]}
\end{aligned} I = R e = 2 1 = 0.5 [ A ] 必要な力は、電流が受ける電磁力 B I l BIl B I l
F = B I l = 0.5 × 0.5 × 0.4 = 0.1 [ N ] \begin{aligned}
F &= BIl \\
&= 0.5 \times 0.5 \times 0.4 \\
&= 0.1\,\mathrm{[N]}
\end{aligned} F = B I l = 0.5 × 0.5 × 0.4 = 0.1 [ N ] 確かめると、外力の仕事率 F v = 0.1 × 5 = 0.5 [ W ] Fv = 0.1 \times 5 = 0.5\,\mathrm{[W]} F v = 0.1 × 5 = 0.5 [ W ] e I = 1 × 0.5 = 0.5 [ W ] eI = 1 \times 0.5 = 0.5\,\mathrm{[W]} e I = 1 × 0.5 = 0.5 [ W ]
(3) sin 30 ∘ = 0.5 \sin 30^\circ = 0.5 sin 3 0 ∘ = 0.5
e = B l v sin 30 ∘ = 1 × 0.5 = 0.5 [ V ] \begin{aligned}
e &= Blv\sin 30^\circ \\
&= 1 \times 0.5 \\
&= 0.5\,\mathrm{[V]}
\end{aligned} e = B l v sin 3 0 ∘ = 1 × 0.5 = 0.5 [ V ] 自己インダクタンスと磁気エネルギー
例題3
巻数 500 500 500 2 [ A ] 2\,\mathrm{[A]} 2 [ A ] 4 × 10 − 3 [ W b ] 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{[Wb]} 4 × 1 0 − 3 [ Wb ] L L L 2 [ A ] 2\,\mathrm{[A]} 2 [ A ] 0.1 [ s ] 0.1\,\mathrm{[s]} 0.1 [ s ] 2 [ A ] 2\,\mathrm{[A]} 2 [ A ]
解答と解説を見る (1) L = N Φ / I L = N\Phi/I L = N Φ/ I
L = N Φ I = 500 × 4 × 10 − 3 2 = 1 [ H ] \begin{aligned}
L &= \frac{N\Phi}{I} \\
&= \frac{500 \times 4 \times 10^{-3}}{2} \\
&= 1\,\mathrm{[H]}
\end{aligned} L = I N Φ = 2 500 × 4 × 1 0 − 3 = 1 [ H ] (2) 電流の変化は Δ I = 2 [ A ] \Delta I = 2\,\mathrm{[A]} Δ I = 2 [ A ]
e = L Δ I Δ t = 1 × 2 0.1 = 20 [ V ] \begin{aligned}
e &= L\frac{\Delta I}{\Delta t} \\
&= 1 \times \frac{2}{0.1} \\
&= 20\,\mathrm{[V]}
\end{aligned} e = L Δ t Δ I = 1 × 0.1 2 = 20 [ V ] (3) 磁気エネルギーは、次のとおりです。
W = 1 2 L I 2 = 1 2 × 1 × 2 2 = 2 [ J ] \begin{aligned}
W &= \frac{1}{2}LI^2 \\
&= \frac{1}{2} \times 1 \times 2^2 \\
&= 2\,\mathrm{[J]}
\end{aligned} W = 2 1 L I 2 = 2 1 × 1 × 2 2 = 2 [ J ] 環状コイルの L の計算
例題4
平均磁路長 0.5 [ m ] 0.5\,\mathrm{[m]} 0.5 [ m ] 4 [ c m 2 ] 4\,\mathrm{[cm^2]} 4 [ c m 2 ] 500 500 500 500 500 500 L L L μ 0 = 4 π × 10 − 7 [ H / m ] \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{[H/m]} μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 [ H/m ]
解答と解説を見る S = 4 × 10 − 4 [ m 2 ] S = 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{[m^2]} S = 4 × 1 0 − 4 [ m 2 ] μ = 500 μ 0 = 2 π × 10 − 4 [ H / m ] \mu = 500\mu_0 = 2\pi \times 10^{-4}\,\mathrm{[H/m]} μ = 500 μ 0 = 2 π × 1 0 − 4 [ H/m ] μ S \mu S μ S
μ S = 2 π × 10 − 4 × 4 × 10 − 4 = 8 π × 10 − 8 \begin{aligned}
\mu S &= 2\pi \times 10^{-4} \times 4 \times 10^{-4} \\
&= 8\pi \times 10^{-8}
\end{aligned} μ S = 2 π × 1 0 − 4 × 4 × 1 0 − 4 = 8 π × 1 0 − 8 L = μ S N 2 l = 8 π × 10 − 8 × 500 2 0.5 = 4 π × 10 − 2 ≈ 0.126 [ H ] \begin{aligned}
L &= \frac{\mu SN^2}{l} \\
&= \frac{8\pi \times 10^{-8} \times 500^2}{0.5} \\
&= 4\pi \times 10^{-2} \\
&\approx 0.126\,\mathrm{[H]}
\end{aligned} L = l μ S N 2 = 0.5 8 π × 1 0 − 8 × 50 0 2 = 4 π × 1 0 − 2 ≈ 0.126 [ H ] 確かめると、前の記事の例題5の鉄心で、0.5 [ A ] 0.5\,\mathrm{[A]} 0.5 [ A ] Φ ≈ 1.26 × 10 − 4 [ W b ] \Phi \approx 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{[Wb]} Φ ≈ 1.26 × 1 0 − 4 [ Wb ] L = N Φ / I = 500 × 1.26 × 10 − 4 / 0.5 ≈ 0.126 [ H ] L = N\Phi/I = 500 \times 1.26 \times 10^{-4}/0.5 \approx 0.126\,\mathrm{[H]} L = N Φ/ I = 500 × 1.26 × 1 0 − 4 /0.5 ≈ 0.126 [ H ]
相互インダクタンスと和動・差動
例題5
自己インダクタンスが 0.8 [ H ] 0.8\,\mathrm{[H]} 0.8 [ H ] 0.2 [ H ] 0.2\,\mathrm{[H]} 0.2 [ H ] 0.5 0.5 0.5 M M M 0.1 [ s ] 0.1\,\mathrm{[s]} 0.1 [ s ] 5 [ A ] 5\,\mathrm{[A]} 5 [ A ]
解答と解説を見る (1) M = k L 1 L 2 M = k\sqrt{L_1L_2} M = k L 1 L 2
M = 0.5 × 0.8 × 0.2 = 0.5 × 0.4 = 0.2 [ H ] \begin{aligned}
M &= 0.5 \times \sqrt{0.8 \times 0.2} \\
&= 0.5 \times 0.4 \\
&= 0.2\,\mathrm{[H]}
\end{aligned} M = 0.5 × 0.8 × 0.2 = 0.5 × 0.4 = 0.2 [ H ] (2) 和動は + 2 M +2M + 2 M − 2 M -2M − 2 M
L + = 0.8 + 0.2 + 2 × 0.2 = 1.4 [ H ] L − = 0.8 + 0.2 − 2 × 0.2 = 0.6 [ H ] \begin{aligned}
L_+ &= 0.8 + 0.2 + 2 \times 0.2 \\
&= 1.4\,\mathrm{[H]} \\
L_- &= 0.8 + 0.2 - 2 \times 0.2 \\
&= 0.6\,\mathrm{[H]}
\end{aligned} L + L − = 0.8 + 0.2 + 2 × 0.2 = 1.4 [ H ] = 0.8 + 0.2 − 2 × 0.2 = 0.6 [ H ] (3) e 2 = M Δ I 1 / Δ t e_2 = M\,\Delta I_1/\Delta t e 2 = M Δ I 1 /Δ t
e 2 = M Δ I 1 Δ t = 0.2 × 5 0.1 = 10 [ V ] \begin{aligned}
e_2 &= M\frac{\Delta I_1}{\Delta t} \\
&= 0.2 \times \frac{5}{0.1} \\
&= 10\,\mathrm{[V]}
\end{aligned} e 2 = M Δ t Δ I 1 = 0.2 × 0.1 5 = 10 [ V ] 注意
よくある間違いは3つです。(1) Δ t \Delta t Δ t L L L N 2 N^2 N 2 ± 2 M \pm 2M ± 2 M + 2 M +2M + 2 M
よくある質問
磁束が大きいほど、起電力も大きくなる？
大きくなりません。起電力を決めるのは、磁束の変化の速さ Δ Φ / Δ t \Delta\Phi/\Delta t ΔΦ/Δ t
ファラデーの法則のマイナスは、何を表している？
起電力の向きです。誘導起電力は、磁束の変化を妨げる向きに生じます。これがレンツの法則で、式の中ではマイナスの符号が表します。大きさだけを求める計算では、符号を省いて e = N Δ Φ / Δ t e = N\,\Delta\Phi/\Delta t e = N ΔΦ/Δ t
フレミングの右手と左手は、どう使い分ける？
導体を動かして起電力を得る（発電機）ときは右手、電流を流して力を得る（モーター）ときは左手です。右手は、親指が速度、中指が起電力。左手は、親指が力、中指が電流です。人差し指は、どちらも磁界を表します。
和動と差動は、どう見分ける？
2つのコイルの磁束が強め合うのが和動、弱め合うのが差動です。合成インダクタンスは、和動で L 1 + L 2 + 2 M L_1 + L_2 + 2M L 1 + L 2 + 2 M L 1 + L 2 − 2 M L_1 + L_2 - 2M L 1 + L 2 − 2 M L L L M ≤ L 1 L 2 M \le \sqrt{L_1L_2} M ≤ L 1 L 2 L 1 + L 2 − 2 M ≥ ( L 1 − L 2 ) 2 ≥ 0 L_1 + L_2 - 2M \ge (\sqrt{L_1} - \sqrt{L_2})^2 \ge 0 L 1 + L 2 − 2 M ≥ ( L 1 − L 2 ) 2 ≥ 0
思い出してみよう
答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。
ファラデーの法則は、どんな式？ e = − N Δ Φ / Δ t e = -N\,\Delta\Phi/\Delta t e = − N ΔΦ/Δ t
レンツの法則とは？ 誘導電流が、磁束の変化を妨げる向きに流れる法則です。増えるときは打ち消し、減るときは補います。
磁界の中を動く導体の起電力と、向きの決め方は？ e = B l v sin θ e = Blv\sin\theta e = B l v sin θ
自己インダクタンスと磁気エネルギーの式は？ e = − L Δ I / Δ t e = -L\,\Delta I/\Delta t e = − L Δ I /Δ t L = N Φ / I L = N\Phi/I L = N Φ/ I W = 1 2 L I 2 W = \frac{1}{2}LI^2 W = 2 1 L I 2
環状コイルの自己インダクタンスは、何に比例する？ L = μ S N 2 / l L = \mu SN^2/l L = μ S N 2 / l N 2 N^2 N 2 S S S μ \mu μ l l l
2つのコイルの直列接続の合成インダクタンスは？ L = L 1 + L 2 ± 2 M L = L_1 + L_2 \pm 2M L = L 1 + L 2 ± 2 M + 2 M +2M + 2 M − 2 M -2M − 2 M M = k L 1 L 2 M = k\sqrt{L_1L_2} M = k L 1 L 2
まとめ
コイルを貫く磁束が変化すると、誘導起電力 e = − N Δ Φ / Δ t e = -N\,\Delta\Phi/\Delta t e = − N ΔΦ/Δ t
磁界の中を動く導体の起電力は e = B l v sin θ e = Blv\sin\theta e = B l v sin θ
自己誘導は e = − L Δ I / Δ t e = -L\,\Delta I/\Delta t e = − L Δ I /Δ t L = μ S N 2 / l L = \mu SN^2/l L = μ S N 2 / l W = 1 2 L I 2 W = \frac{1}{2}LI^2 W = 2 1 L I 2 M = k L 1 L 2 M = k\sqrt{L_1L_2} M = k L 1 L 2 L 1 + L 2 ± 2 M L_1 + L_2 \pm 2M L 1 + L 2 ± 2 M
導体の中には渦電流が流れ、IH 調理器では熱に使い、鉄心では積層にして損失を減らす
相互誘導を使う装置の代表は変圧器です。次は変圧器の巻数比と電圧・電流の関係 へ進みましょう。電流がつくる磁界は、磁界の強さの求め方 で復習できます。
機械を図解で読む図解でわかる 電験三種 機械 1
