直流発電機の誘導起電力｜起電力の式と重ね巻・波巻の違いを図解

直流発電機は、電機子を回して導体に磁束を横切らせ、起電力を取り出す機械です。この誘導起電力は $E = \dfrac{pZ\phi N}{60a}$ と表され、電験三種の機械では、式の記号を読むことと、重ね巻と波巻で並列回路数 $a$ を使い分けることが基本になります。この記事は直流機の入口として、導体1本の $e = B\ell v$ から全体の式までを一歩ずつ導き、比で解く例題まで確かめます。

• 直流発電機の誘導起電力とは
  • 発電機と電動機は同じ構造。回すと起電力が生まれる
• 導体1本の起電力
  • $e = B\ell v$
• 起電力の式
  • $E = pZ\phi N/(60a)$ の導き方と記号
• 重ね巻と波巻
  • 重ね巻 $a = p$、波巻 $a = 2$
• 比で解く
  • $E$ は $\phi$ と $N$ に比例する

直流発電機の誘導起電力とは

直流機は、電気を入れれば回り（電動機）、軸を回せば電気を出す（発電機）、1つの構造です。静止して電圧を変える変圧器の巻数比とは対照的に、回転して電気と力を変換するのが回転機で、直流機はその最初の単元です。構造は4つの部品でできています（図1、表）。

部品	はたらき	動くか
界磁	磁束 $\phi$ をつくる	止まっている
電機子	導体を巻いた回転子	回る
整流子	交流を直流にそろえる	回る
ブラシ	外の回路へ電流を渡す	止まっている

1界磁（磁石）2電機子3整流子4炭素ブラシ

1. 界磁（磁石）　磁束φをつくる。止まっている
2. 電機子　導体を巻いた鉄心。回転する
3. 整流子　銅の片が並び、ブラシと触れる
4. 炭素ブラシ　整流子に押し当てて電流を渡す

電機子が回ると、その導体が界磁の磁束を横切り、導体に電圧が生まれます。これが誘導起電力 $E$ です。電気を入れていなくても、軸を回せば端子に電圧が出ます。この電圧の大きさが何で決まるかを、次の節から式にしていきます。

導体1本の起電力 e = Bℓv

出発点は、磁束の中を動く導体1本です。磁束密度 $B$ [T] の磁束を、長さ $\ell$ [m] の導体が速さ $v$ [m/s] で直角に横切ると、導体に次の起電力が生まれます（図3）。

$$e = B\ell v\ \mathrm{[V]}$$

起電力の向きは、フレミングの右手の法則で決まります。右手の親指を運動の向き、人差し指を磁束の向きにすると、中指が起電力の向きです。導体が磁束と平行に動くときは、磁束を横切らないので起電力は0です。1本の導体の起電力 $e = Blv$ の考え方は、電磁誘導とファラデーの法則で図解しています。

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$e = B\ell v$ に代入します。

$$e = 0.9 \times 0.2 \times 12 = 2.16\ \mathrm{[V]}$$

答え：2.16 V

導体1本ではこの程度の小さな電圧です。実際の発電機では、多数の導体の電圧を足し合わせて、実用的な電圧にします。

起電力の式 E = pZφN/(60a) の導き方

全導体の電圧の足し方は、2段階です。

手順1：導体1本の平均の起電力を、$\phi$ と $N$ で表す。 導体は1回転のあいだに、全部の磁極の磁束を1回ずつ横切ります。1極の磁束が $\phi$ [Wb]、極数が $p$ なら、横切る磁束の合計は $p\phi$ です（図4）。回転速度 $N$ [min⁻¹] のとき、1回転にかかる時間は $60/N$ 秒なので、起電力は次のとおりです。

$$e = \dfrac{p\phi}{60/N} = \dfrac{p\phi N}{60}$$

手順2：導体を並列な道に分ける。 電機子の導体は、ブラシから見ると $a$ 本の道に分かれてつながっています。全導体数 $Z$ 本を等分すると、1本の道には $Z/a$ 本の導体が直列に並びます（図5）。直列の導体の電圧は足し算になるので、ブラシの間の電圧は、$e$ の $Z/a$ 倍です。道どうしは並列なので、電圧は道の数では増えず、電流が $a$ 本ぶんになります（キルヒホッフの法則の並列の電圧、直列回路の電圧の足し算と同じ考え方です）。

2つを合わせると、誘導起電力の式が得られます。

$$\begin{gathered} E = \dfrac{Z}{a} \times \dfrac{p\phi N}{60} \\[4pt] E = \dfrac{pZ\phi N}{60a}\ \mathrm{[V]} \end{gathered}$$

記号	意味	単位
$p$	極数	（個）
$Z$	電機子の全導体数	（本）
$a$	並列回路数	（本）
$\phi$	1極あたりの磁束	Wb
$N$	回転速度	min⁻¹

$p$、$Z$、$a$ は機械の構造で決まるので、$K_E = \dfrac{pZ}{60a}$ とまとめて、$E = K_E\,\phi N$ と書くこともあります。

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(1) 重ね巻なので $a = p = 4$ です。

$$\begin{aligned} E &= \dfrac{4 \times 500 \times 0.02 \times 1200}{60 \times 4} \\[4pt] &= \dfrac{48000}{240} = 200\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

(2) 波巻なので $a = 2$ です。分母だけが 60 × 2 = 120 になります。

$$E = \dfrac{48000}{120} = 400\ \mathrm{[V]}$$

答え：(1) 200 V、(2) 400 V

重ね巻と波巻の違いと並列回路数 a

電機子の巻き方には重ね巻と波巻があります。電験三種では、1周のコイルを重ねて進める基本の巻き方（単重巻）で、並列回路数 $a$ を次のように覚えます。

巻き方	並列回路数 $a$	向く用途
重ね巻	$a = p$	大電流・低電圧
波巻	$a = 2$	小電流・高電圧

重ね巻は、隣り合う磁極の下へコイルを順に重ねてつなぐので、極と同じ数の道ができます。波巻は、同じ極（N 極どうし）の下を波のように一周してつなぐので、極数に関係なく道は2本です。同じ導体の数でも、波巻のほうが1本の道に並ぶ導体が多くなり、起電力は大きく、電流は小さくなります（図6）。

2極機では $p = 2$ なので、重ね巻も $a = 2$ で、波巻と同じになります。極数が増えるほど、重ね巻の $a$ は大きくなります。

実物の電機子では、鉄心のみぞに導体が収まり、整流子の片につながっています（図7、図8）。コイルのどの端をどの整流子片につなぐかで、重ね巻か波巻かが決まります。

1電機子鉄心2コイル端3整流子

1. 電機子鉄心　薄い鋼板を重ねた鉄心
2. コイル端　導体が整流子へ向かう
3. 整流子　コイルの端がつながる

1整流子片2炭素ブラシ3ブラシホルダー

1. 整流子片　銅の片。片の間は絶縁
2. 炭素ブラシ　整流子に押し当てる
3. ブラシホルダー　ブラシをばねで支える

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波巻なので $a = 2$ です。式を $Z$ について解きます。

$$Z = \dfrac{60aE}{p\phi N}$$

代入します。

$$\begin{aligned} Z &= \dfrac{60 \times 2 \times 240}{6 \times 0.03 \times 1000} \\[4pt] &= \dfrac{28800}{180} = 160\ [\text{本}] \end{aligned}$$

答え：160 本

起電力は磁束と回転速度に比例する（比で解く）

式の $p$、$Z$、$a$ は構造で決まる定数なので、同じ機械なら $E \propto \phi N$ です。回転速度 $N$ を2倍にすれば $E$ も2倍、磁束 $\phi$ を0.8倍にすれば $E$ も0.8倍です（図9）。

数値が足りない問題は、変化の前後の比で解けます。式を2回書き、割り算で定数を消します。

$$\dfrac{E_2}{E_1} = \dfrac{\phi_2 N_2}{\phi_1 N_1}$$

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磁束の比は 0.9、回転速度の比は $1200/1500 = 0.8$ です。

$$\begin{aligned} E_2 &= 220 \times 0.9 \times 0.8 \\[4pt] &= 158.4\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

答え：約 158 V（158.4 V）

ここまでは、電機子に電流が流れていない（無負荷）状態で、磁束 $\phi$ を一定とみなして考えてきました。実際に電流が流れると、電機子の電流がつくる磁界が $\phi$ を変えます。次の記事の主題です。

よくある質問

直流発電機の誘導起電力は、何で決まりますか。

磁束 $\phi$ と回転速度 $N$ に比例し、機械の構造（極数 $p$、全導体数 $Z$、並列回路数 $a$）で決まる定数 $pZ/(60a)$ がかかります。出力の電圧を変えたいときは、界磁電流で $\phi$ を、原動機で $N$ を変えます。

重ね巻と波巻は、どちらの起電力が大きいですか。

$p$、$Z$、$\phi$、$N$ が同じなら、道の数 $a$ の小さい波巻のほうが大きくなります。4極なら、波巻は重ね巻の2倍です（例題2）。ただし2極機では $a$ が同じなので差がありません。

回転速度は rad/s で代入してもよいですか。

この式の $N$ は min⁻¹ です。角速度 $\omega$ [rad/s] が与えられたら、$N = 60\omega/(2\pi)$ に直すか、$E = \dfrac{pZ\phi\omega}{2\pi a}$ の形を使います。

電動機のときも、同じ式が使えますか。

使えます。電動機でも電機子が回れば導体が磁束を横切るので、同じ大きさの起電力が生じます。電動機ではこれが電源の電圧に逆らう向きになるため、逆起電力と呼びます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

磁束を横切る導体1本に生じる起電力の式は？

$e = B\ell v$ です。磁束と平行に動くときは0です。

誘導起電力の式を、記号の意味も添えて書くと？

$E = pZ\phi N/(60a)$。$p$ は極数、$Z$ は全導体数、$a$ は並列回路数、$\phi$ は1極の磁束 [Wb]、$N$ は min⁻¹ です。

1本の道には導体が何本直列に並びますか？

$Z/a$ 本です。道どうしは並列で、電圧は足されません。

重ね巻と波巻の並列回路数は？

重ね巻は $a = p$、波巻は $a = 2$ です。

磁束が0.8倍、回転速度が1.5倍になると、起電力は何倍ですか？

$0.8 \times 1.5 = 1.2$ 倍です。

$p$ に代入するのは極数と極対数のどちらですか？

極数です（4極なら 4）。

まとめ

• 直流機は、発電機と電動機が同じ構造。部品は界磁・電機子・整流子・ブラシ
• 導体1本の起電力は $e = B\ell v$。1回転で $p\phi$ を横切るので $e = p\phi N/60$
• 全導体 $Z$ 本を $a$ 本の並列な道に分けるので、$E = \dfrac{pZ\phi N}{60a}$
• 重ね巻は $a = p$、波巻は $a = 2$。$N$ の単位は min⁻¹、$p$ は極数
• 同じ機械では $E \propto \phi N$。数値が足りない問題は比で解く

起電力の式は、直流機のすべての計算の土台です。次は、電流が流れたときに磁束が変わる電機子反作用を取り上げます。回転する機械と変圧器の考え方の違いを確かめたいときは、変圧器の巻数比にも戻ってみましょう。同じ式を電動機に当てはめた回転速度の求め方は、直流電動機の速度制御で扱います。