過渡現象とは｜RC回路・RL回路の時定数と電流の式をグラフで図解

コンデンサの合成容量ではコンデンサを、電磁誘導ではコイルを学びました。この 2 つの部品を含む回路は、スイッチを入れても、電流や電圧がすぐには一定になりません。

スイッチを入れた瞬間は、コンデンサを導線、コイルを切れた線とみなします。十分に時間がたつと、コンデンサは切れた線、コイルは導線になります。その間の変化の速さを決めるのが時定数 $\tau$ で、時間 $\tau$ で変化の約 63.2% が進みます。RC 回路では $\tau = RC$、RL 回路では $\tau = L/R$ です。この記事では、直後と十分後の見方、2 つの回路の式、グラフの読み取り、エネルギーまでを、例題で確認します。

• 過渡現象とは
  • スイッチ操作のあと、新しい定常状態に落ち着くまでの変化。コンデンサの電圧とコイルの電流は急に変わらない
• スイッチを入れた瞬間と十分時間がたった後
  • コンデンサは直後が導線、十分後が切れた線。コイルはその逆
• RC 回路の過渡現象
  • 時定数 τ＝RC。充電の電圧は E×(1－e の－t/τ 乗)で上がる
• RL 回路の過渡現象
  • 時定数 τ＝L/R。電流は同じ形で上がり、コイルの電圧は下がる
• 時定数の求め方とグラフの読み取り
  • 原点の接線が最終値と交わる点が τ。3τ で約 95%、5τ でほぼ終了

過渡現象とは

回路のスイッチを入れたり切ったりすると、電流や電圧は、新しい一定の値に落ち着くまで変化を続けます。この変化している間の状態を過渡状態、一定になったあとの状態を定常状態といい、過渡状態で起こる現象を過渡現象といいます（図2）。

抵抗だけの回路では、スイッチを入れた瞬間に電流が $E/R$ になり、過渡状態はありません。過渡状態が生じるのは、回路にコイルやコンデンサがあるときです。この 2 つはエネルギーをためる部品で、ためているエネルギーは一瞬では変えられないからです。

コンデンサに蓄えられるエネルギーは $\frac{1}{2}Cv_C^2$、コイルに蓄えられるエネルギーは $\frac{1}{2}Li^2$ です。エネルギーが急に変わらないので、コンデンサの電圧 $v_C$ とコイルの電流 $i$ も、スイッチを入れた瞬間の前後で急には変わりません。

この記事では、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列にした RC 回路と、抵抗 $R$ とコイル $L$ を直列にした RL 回路を、直流電源 $E$ で扱います。電源の内部抵抗やコイルの巻線抵抗は 0 とし、スイッチを入れる前は、コンデンサは充電されておらず、コイルに電流は流れていないものとします。

スイッチを入れた瞬間と十分時間がたった後

過渡現象の問題は、スイッチを入れた直後と、十分に時間がたった後の 2 つの状態を押さえると、式を使わずに解ける場合があります。部品を次のように置き換えます（図3）。

コンデンサは、未充電なら直後の電圧が $v_C = 0$ で、電圧が 0 の部品は導線と同じです。充電が終わった十分後は電流が流れなくなる（$i = 0$）ので、切れた線と同じです。

コイルは、直前に電流が 0 なら直後も $i = 0$ で、電流が 0 の部品は切れた線と同じです。十分後は電流が一定になって磁束が変化せず、誘導起電力が 0 になる（$v_L = 0$）ので、導線と同じです。

これを使うと、直後と十分後の電流と電圧が、次の表のとおり求められます。

量	直後（$t = 0$）	十分後（$t \to \infty$）
RC 回路の電流 $i$	$E/R$	$0$
コンデンサの電圧 $v_C$	$0$	$E$
RL 回路の電流 $i$	$0$	$E/R$
コイルの電圧 $v_L$	$E$	$0$

たとえば RC 回路の直後は、コンデンサが導線と同じなので、電源の電圧 $E$ がすべて抵抗 $R$ に加わり、$i = E/R$ です。十分後は、コンデンサが切れた線と同じなので、電流が 0 になり、抵抗の電圧も 0 です。電源の電圧 $E$ がすべてコンデンサに加わります。

実物のコンデンサは、基板の上に円筒形のものが並んでいることがあります（図4）。

1本体2上面3足4基板

1. 本体　中身は見えない
2. 上面　十字の溝
3. 足　基板にはんだ付け
4. 基板　部品の土台

RC 回路の過渡現象

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列につないだ回路です（図5）。スイッチを入れると、電源からコンデンサに電荷が流れ込み、コンデンサが充電されます。

充電

充電の途中では、電源の電圧 $E$ が、抵抗の電圧 $Ri$ とコンデンサの電圧 $v_C$ に分かれます（$E = Ri + v_C$）。直後は $v_C = 0$ なので、電流は最大の $E/R$ です。充電が進んで $v_C$ が上がるほど、$Ri$ は小さくなり、電流は減ります。この関係を解くと、次の式が得られます。

$$\begin{aligned} v_C &= E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \\ i &= \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau} \\ \tau &= RC \end{aligned}$$

$e$ は自然対数の底（約 2.718）です。$\tau$ を時定数といい、単位は $\mathrm{[s]}$ です。$R$ を $\mathrm{[\Omega]}$、$C$ を $\mathrm{[F]}$ で入れると、$RC$ が秒になります。

電圧は 0 から $E$ へ上がり、電流は $E/R$ から 0 へ下がります（図6）。$t = \tau$ では、$v_C$ は $E$ の約 63.2%、$i$ は初めの約 36.8% です。足すと 100% になるのは、$E = Ri + v_C$ だからです。

放電

充電したコンデンサを、電源をはずして抵抗につなぐと、ためた電荷が抵抗を通って流れ出します（図5 の下）。電圧も電流も、同じ形で減っていきます。

$$\begin{aligned} v_C &= E\,e^{-t/\tau} \\ i &= \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau} \end{aligned}$$

$E$ は、放電を始めるときのコンデンサの電圧です。時定数は充電と同じ $\tau = RC$ で、電流の向きは充電のときと逆になります。

充電のエネルギー

充電が終わるまでに、電源は電荷 $Q = CE$ を送り出します。電源が供給するエネルギーは、$QE = CE^2$ です。そのうちコンデンサに蓄えられるのは半分の $\frac{1}{2}CE^2$ で、残りの半分は抵抗で熱になります（図7）。

この割合は、抵抗 $R$ の値によりません。$R$ が大きくても小さくても、変わるのは充電にかかる時間だけです。

解答と解説を見る

(1) 単位を $\mathrm{[\Omega]}$、$\mathrm{[F]}$ にそろえます。

$$\begin{aligned} \tau &= RC \\ &= 2 \times 10^{3} \times 100 \times 10^{-6} \\ &= 0.2\,\mathrm{[s]} \end{aligned}$$

(2) 直後は $v_C = 0$ で、コンデンサは導線と同じです。

$$\begin{aligned} i &= \frac{E}{R} \\ &= \frac{100}{2 \times 10^{3}} \\ &= 0.05\,\mathrm{[A]} \\ &= 50\,\mathrm{[mA]} \end{aligned}$$

(3) $t = 0.4\,\mathrm{[s]}$ は $2\tau$ です。

$$\begin{aligned} v_C &= E\left(1 - e^{-2}\right) \\ &\fallingdotseq 100 \times (1 - 0.135) \\ &\fallingdotseq 86.5\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

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(1)

$$\begin{aligned} \tau &= RC \\ &= 10 \times 10^{3} \times 200 \times 10^{-6} \\ &= 2\,\mathrm{[s]} \end{aligned}$$

(2) 十分後のコンデンサの電圧は $E$ です。

$$\begin{aligned} W_C &= \frac{1}{2}CE^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-6} \times 50^2 \\ &= 0.25\,\mathrm{[J]} \end{aligned}$$

(3) 電源が送り出した電荷は $Q = CE$ です。

$$\begin{aligned} W_E &= QE = CE^2 \\ &= 200 \times 10^{-6} \times 50^2 \\ &= 0.5\,\mathrm{[J]} \end{aligned}$$

(4) 供給したエネルギーから、蓄えられた分を引きます。

$$\begin{aligned} W_R &= 0.5 - 0.25 \\ &= 0.25\,\mathrm{[J]} \end{aligned}$$

抵抗の値を変えても、$W_C$、$W_E$、$W_R$ は変わりません。

RL 回路の過渡現象

抵抗 $R$ とコイル $L$ を直列につないだ回路です（図8）。スイッチを入れると、コイルは電流の増加をさまたげる向きに起電力を生じるので、電流はゆるやかに増えます。

電源の電圧 $E$ は、抵抗の電圧 $Ri$ とコイルの電圧 $v_L$ に分かれます（$E = Ri + v_L$）。直後は $i = 0$ なので $Ri = 0$ で、電源の電圧がすべてコイルに加わります（$v_L = E$）。電流が増えるほど $Ri$ が大きくなり、$v_L$ は小さくなります。この関係を解くと、次の式が得られます。

$$\begin{aligned} i &= \frac{E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \\ v_L &= E\,e^{-t/\tau} \\ \tau &= \frac{L}{R} \end{aligned}$$

$L$ を $\mathrm{[H]}$、$R$ を $\mathrm{[\Omega]}$ で入れると、$L/R$ が秒になります。電流は 0 から最終値 $E/R$ へ上がり、コイルの電圧は $E$ から 0 へ下がります（図9）。形は RC 回路と同じで、$t = \tau$ では、$i$ は最終値の約 63.2%、$v_L$ は $E$ の約 36.8% です。

電流が流れているコイルは、$\frac{1}{2}Li^2$ のエネルギーを蓄えています。十分後の電流 $I = E/R$ では、$\frac{1}{2}LI^2$ です。

コイルは、銅線を輪状の芯に巻いたものなど、さまざまな形で回路に取り付けられます（図10）。

1銅線2芯3足

1. 銅線　輪に巻いた導線
2. 芯　灰色の輪
3. 足　基板にはんだ付け

電源をはずして、コイルと抵抗だけの閉回路にした場合（図8 の下）、コイルの電流は急には 0 になりません。初めの電流を $I_0$ とすると、$i = I_0\,e^{-t/\tau}$ で減り、蓄えたエネルギー $\frac{1}{2}LI_0^2$ は、すべて抵抗で熱になります。

流れていた電流を急に切ると、コイルは電流を保とうとして、大きな電圧を生じます。送配電の設備のように大きな電流を扱う場所では、遮断のときに生じる電圧（開閉サージ）が問題になることがあります（図11）。

RC 回路と RL 回路は、次のように対応します。

比べるもの	RC 回路	RL 回路
時定数 $\tau$	$RC$	$L/R$
0 から上がる量	$v_C$	$i$
下がる量	$i$	$v_L$
急に変わらない量	$v_C$	$i$

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(1)

$$\begin{aligned} \tau &= \frac{L}{R} \\ &= \frac{0.5}{20} \\ &= 0.025\,\mathrm{[s]} \\ &= 25\,\mathrm{[ms]} \end{aligned}$$

(2) 十分後はコイルが導線と同じです。

$$\begin{aligned} I &= \frac{E}{R} \\ &= \frac{100}{20} \\ &= 5\,\mathrm{[A]} \end{aligned}$$

(3) $t = \tau$ では、$e^{-1} \fallingdotseq 0.368$ です。

$$\begin{aligned} i &= 5\left(1 - e^{-1}\right) \\ &\fallingdotseq 5 \times 0.632 \\ &\fallingdotseq 3.16\,\mathrm{[A]} \\ v_L &= E\,e^{-1} \\ &\fallingdotseq 100 \times 0.368 \\ &\fallingdotseq 36.8\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

確かめると、$Ri + v_L = 20 \times 3.16 + 36.8 = 100\,\mathrm{[V]}$ で、$E$ に一致します。

(4)

$$\begin{aligned} W_L &= \frac{1}{2}LI^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.5 \times 5^2 \\ &= 6.25\,\mathrm{[J]} \end{aligned}$$

時定数の求め方とグラフの読み取り

時定数 $\tau$ は、変化の速さを表す時間です。$\tau$ が大きいほど変化はゆっくりで、小さいほど早く落ち着きます。RC 回路では $R$ か $C$ が大きいほど、RL 回路では $L$ が大きいほど、または $R$ が小さいほど、$\tau$ は大きくなります。

経過時間と、最終値に近づく割合は次のとおりです。上がる量は最終値に対する割合、下がる量は初めの値に対する割合です。

経過時間	上がる量	下がる量
$1\tau$	63.2%	36.8%
$2\tau$	86.5%	13.5%
$3\tau$	95.0%	5.0%
$4\tau$	98.2%	1.8%
$5\tau$	99.3%	0.7%

$5\tau$ たつと、変化の 99% 以上が済むので、実用上は定常状態とみなせます。

曲線から $\tau$ を読むには、$t = 0$ での接線を使います（図12）。接線は、上がる量では最終値の線と、下がる量では横軸と、$t = \tau$ で交わります。変化の勢いが最初のまま続けば、$\tau$ で終わる、という意味です。

充電中の電圧の変化は、オシロスコープで曲線として観察できます（図13）。

1曲線2方眼3つまみ4端子

1. 曲線　電圧の変化
2. 方眼　目盛りの線
3. つまみ　画面の調整
4. 端子　測定する線をつなぐ

抵抗が複数あるときの時定数

抵抗が複数あるときは、コンデンサ（コイル）から見た抵抗 $R_0$ を求めて、$\tau = CR_0$（RL 回路では $\tau = L/R_0$）とします。$R_0$ は、電源を短絡し、コンデンサ（コイル）を取りはずした端子から見た合成抵抗です。テブナンの定理で求める内部抵抗と同じ考え方です。

十分後のコンデンサの電圧は、テブナンの定理の開放電圧になります。直後と十分後の置き換えと、$R_0$ の 2 つがあれば、複数の抵抗がある回路も解けます（図14）。

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(1) 直後は、コンデンサが導線と同じです。$R_2$ は短絡されるので、電流は $R_1$ だけを通ります。

$$\begin{aligned} i &= \frac{24}{6 \times 10^{3}} \\ &= 4\,\mathrm{[mA]} \end{aligned}$$

(2) 十分後は、コンデンサが切れた線と同じです。$R_1$ と $R_2$ の直列に電流が流れます。

$$\begin{aligned} i &= \frac{24}{18 \times 10^{3}} \\ &\fallingdotseq 1.33\,\mathrm{[mA]} \end{aligned}$$

コンデンサの電圧は、$R_2$ の電圧に等しくなります。

$$\begin{aligned} v_C &= R_2 i \\ &= 12 \times 10^{3} \times \frac{4}{3} \times 10^{-3} \\ &= 16\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

(3) コンデンサから見ると、電源を短絡して $R_1$ と $R_2$ が並列です。

$$\begin{aligned} R_0 &= \frac{6 \times 12}{6 + 12} \\ &= 4\,\mathrm{[k\Omega]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} \tau &= CR_0 \\ &= 100 \times 10^{-6} \times 4 \times 10^{3} \\ &= 0.4\,\mathrm{[s]} \end{aligned}$$

(4) 電圧は、$0$ から最終値 $16\,\mathrm{[V]}$ へ上がります。

$$\begin{aligned} v_C &= 16\left(1 - e^{-1}\right) \\ &\fallingdotseq 16 \times 0.632 \\ &\fallingdotseq 10.1\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

よくある質問

時定数とは？ 何を表している？

変化の速さを表す時間で、単位は $\mathrm{[s]}$ です。時間 $\tau$ がたつと、最終値までの変化の約 63.2% が進みます。RC 回路では $\tau = RC$、RL 回路では $\tau = L/R$ です。同じ $\tau$ でも、上がる量は最終値の 63.2% に、下がる量は初めの値の 36.8% になります。

直後のコンデンサが導線と同じなのはなぜ？

コンデンサの電圧 $v_C$ は急に変わらないので、未充電なら直後も $v_C = 0$ のままだからです。電圧が 0 の部品は、導線と同じ働きをします。そのため、直後の RC 回路には、抵抗だけの回路と同じ $i = E/R$ の電流が流れます。

「十分時間がたった後」とは、どのくらい？

式の上では $t \to \infty$ ですが、実用上は $\tau$ の 5 倍ほどです。$5\tau$ で変化の約 99.3% が済みます。問題では「十分に時間がたった」と書かれていたら、直流ではコンデンサは切れた線、コイルは導線として解きます。

RC 回路と RL 回路で、R と時定数の関係が逆なのはなぜ？

RC 回路は、$R$ が大きいと電流が絞られ、コンデンサへの充電に時間がかかるので、$\tau = RC$ は $R$ に比例します。RL 回路は、$R$ が大きいと最終の電流 $E/R$ が小さくなり、コイルに蓄える電流が少なくてすむので、早く落ち着きます。そのため $\tau = L/R$ は $R$ に反比例します。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

過渡状態と定常状態とは？

変化している間の状態が過渡状態、一定になったあとの状態が定常状態です。急に変わらない量は、コンデンサの電圧 $v_C$ とコイルの電流 $i$ です。

スイッチを入れた直後と十分後で、コンデンサとコイルは何と同じ？

コンデンサは直後が導線、十分後が切れた線です。コイルは直後が切れた線、十分後が導線です。

RC 回路の時定数と、充電のコンデンサ電圧の式は？ 充電で抵抗の熱になる割合は？

$\tau = RC$ で、$v_C = E(1 - e^{-t/\tau})$ です。供給エネルギー $CE^2$ の半分が、抵抗で熱になります。

RL 回路の時定数と、電流の式は？

$\tau = L/R$ で、$i = \dfrac{E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ です。コイルの電圧は $v_L = E\,e^{-t/\tau}$ で下がります。

時間 $\tau$ と $5\tau$ で、変化は何% 進む？

$\tau$ で 63.2%、$5\tau$ で 99.3% です。グラフでは、原点の接線が最終値と交わる位置が $\tau$ です。

抵抗が複数あるときの時定数の求め方は？

電源を短絡して、コンデンサ（コイル）から見た合成抵抗 $R_0$ を求め、$\tau = CR_0$（$\tau = L/R_0$）とします。

まとめ

• 過渡現象は、スイッチ操作のあと定常状態に落ち着くまでの変化。コンデンサの電圧とコイルの電流は急に変わらない
• 直後はコンデンサが導線、コイルが切れた線。十分後はコンデンサが切れた線、コイルが導線
• RC 回路は $\tau = RC$。充電は $v_C = E(1 - e^{-t/\tau})$、放電は $v_C = E\,e^{-t/\tau}$。充電では電源のエネルギー $CE^2$ の半分が抵抗で熱になる
• RL 回路は $\tau = L/R$。電流は $i = \dfrac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$ で上がり、コイルの電圧は $v_L = E\,e^{-t/\tau}$ で下がる
• 時間 $\tau$ で 63.2%、$3\tau$ で 95.0%、$5\tau$ で 99.3% 進む。原点の接線が最終値と交わる位置が $\tau$。抵抗が複数のときは、電源を短絡した $R_0$ で求める

コンデンサの基本はコンデンサの合成容量、コイルの基本は電磁誘導で確認できます。次は、電圧や電流を測る指示電気計器の種類を整理します。