発振回路の発振条件と発振周波数｜コルピッツ・ハートレー・ウィーンブリッジを図解

前の記事トランジスタ増幅回路の解き方では、出力の一部を引き算して戻す負帰還で、増幅回路が安定することを確かめました。帰還の符号を逆にして、足し算で戻すと、入力がなくても出力が続きます。これが発振回路です。

ラジオの選局、時計の水晶、パソコンのクロックなど、一定の周波数の信号が必要なところに、発振回路があります。この記事では、発振条件、LC 発振回路（コルピッツ・ハートレー）、CR 発振回路（ウィーンブリッジ・移相形）、水晶発振回路、マルチバイブレータを、図と例題4問で確かめます。

• 発振回路とは
  • 増幅器と正帰還で、入力なしに交流を出し続ける
  • A_f ＝ A/(1−Aβ)。Aβ が 1 になると出力が残る
• 発振条件
  • 位相条件は一巡で 0°、振幅条件は |Aβ| ＝ 1
  • 立ち上がりは |Aβ| が 1 より大きい
• LC 発振回路
  • 3素子形は X1 ＋ X2 ＋ X3 ＝ 0、X1 と X2 が同符号
  • コルピッツは C の直列合成、ハートレーは L1 ＋ L2 ＋ 2M
• CR 発振回路と水晶発振回路
  • ウィーンブリッジは f ＝ 1/(2πCR)、増幅度 3 以上
  • 移相形は f ＝ 1/(2π√6 CR)、増幅度 29 以上。水晶は誘導性の範囲を使う
• マルチバイブレータ
  • 非安定は方形波を出し続ける。周期は約 1.4CR

発振回路とは

発振回路は、直流電源のエネルギーを、一定の周波数の交流に変えて出力する回路です。外から信号を入れなくても、回路が自分で交流を作り続けます。

発振回路は、増幅器と、出力の一部を入力に戻す帰還回路でできています。

図1で、増幅器の増幅度を $A$、帰還回路の帰還率を $\beta$ とします。負帰還と違って、戻した信号 $x_{\mathrm{f}} = \beta x_{\mathrm{o}}$ を入力に足し算します（正帰還）。

$$\begin{aligned} x_{\mathrm{o}} &= A\,(x_{\mathrm{i}} + \beta x_{\mathrm{o}}) \\ A_{\mathrm{f}} &= \frac{x_{\mathrm{o}}}{x_{\mathrm{i}}} \\ &= \frac{A}{1-A\beta} \end{aligned}$$

負帰還の式 $A/(1+A\beta)$ と、符号が違うだけです。$A\beta$ が 1 に近づくと、分母が 0 に近づいて $A_{\mathrm{f}}$ が限りなく大きくなります。入力 $x_{\mathrm{i}}$ が 0 でも、出力 $x_{\mathrm{o}}$ が 0 でない値を保てる、ということです。

機械式時計が、似たしくみです。

1てんぷ2ぜんまい3歯車

1. てんぷ
2. ぜんまい
3. 歯車

図2の時計では、てんぷという輪が往復運動をして、時間を刻みます。摩擦があるので、放っておくと往復運動は小さくなって止まります。そこで、ぜんまいに蓄えたエネルギーが、てんぷに少しずつ与えられて、損失を補います。

発振回路でも同じです。LC や CR の回路の振動は、抵抗があるので、放っておくと小さくなります。増幅器が、直流電源のエネルギーで、その損失を補い続けます。

時計	発振回路
ぜんまい	直流電源
てんぷ	LC などの回路
脱進機	増幅器と正帰還

発振条件

位相条件と振幅条件

図1の回路が、入力 $x_{\mathrm{i}} = 0$ のまま出力を出し続けるには、$x_{\mathrm{o}} = A\beta\,x_{\mathrm{o}}$ が成り立つ必要があります。$x_{\mathrm{o}} \neq 0$ なら、両辺を $x_{\mathrm{o}}$ で割って、次の式になります。

$$A\beta = 1$$

$A\beta$ は、増幅器と帰還回路を一巡したときの利得で、周波数によって大きさと位相が変わる複素数です。$A\beta = 1$ は、大きさが 1、位相が 0° の2つを、同時に満たすことを表します。

条件	内容
位相条件	一巡して位相が 0°
振幅条件	一巡して大きさが 1

位相条件が満たされると、戻ってきた信号が、もとの信号と同じ向きに加わって、強め合います。位相がずれると打ち消し合い、振動は続きません。振幅条件は、一巡するたびに信号が小さくならないことを求めます。位相条件を満たす周波数が、発振周波数です。

発振の立ち上がりと一定振幅

電源を入れた瞬間の変化や、回路の雑音が、発振のきっかけになります。$|A\beta|$ を 1 より少し大きくしておくと、信号は一巡するたびに大きくなります。

図3のように、振幅が大きくなると、トランジスタが遮断や飽和に近づいて、増幅度 $A$ が下がります。$|A\beta|$ が 1 になったところでつり合い、振幅が一定の正弦波が続きます。

1山の高さ2中心線3格子の目盛り4つまみ

1. 山の高さ
2. 中心線
3. 格子の目盛り
4. つまみ

図4は、発振が安定したときの出力を、オシロスコープで見たイメージです。山の高さがそろった波形が、同じ周期でくり返されます。

解答と解説を見る

一巡の利得を求めます。

$$\begin{aligned} A\beta &= (-40) \times (-0.03) \\ &= 1.2 \end{aligned}$$

$1.2$ は正の実数で、位相は 0° です。位相条件を満たし、$|A\beta| = 1.2 > 1$ なので、振幅が育って発振が立ち上がります。

振幅が大きくなると、増幅度が下がって $|A\beta| = 1$ でつり合います。そのときの増幅度の大きさは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} |A| &= \frac{1}{|\beta|} \\ &= \frac{1}{0.03} \\ &\approx 33.3 \end{aligned}$$

$\beta = +0.03$ のときは、$A\beta = -1.2$ で、位相が 180° ずれます。位相条件を満たさないので、発振しません。負帰還になって、増幅度は次の値に下がります。

$$\begin{aligned} |A_{\mathrm{f}}| &= \frac{40}{1-(-1.2)} \\ &= \frac{40}{2.2} \\ &\approx 18.2 \end{aligned}$$

答えは、$\beta = -0.03$ では発振して、安定したときの $|A| \approx 33.3$ です。$\beta = +0.03$ では発振せず、増幅度は約 18.2 になります。

検算します。$\beta = -0.03$ のときは、$33.3 \times 0.03 \approx 1.0$ で、$|A\beta| = 1$ になります。$\beta = +0.03$ のときは、大きさ 40・帰還率 0.03 の負帰還として、$40/(1+40 \times 0.03) = 40/2.2 \approx 18.2$ と求めても、同じ値です。

LC 発振回路

LC 発振回路は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ の共振で、周波数を決める回路です。共振回路で確かめたとおり、共振周波数は $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ です。共振回路が選んだ周波数の信号を、トランジスタで増幅して正帰還し、損失を補い続けます。

1アンテナコイル2缶入りコイル3可変コンデンサ4スピーカー5電池ボックス

1. アンテナコイル
2. 缶入りコイル
3. 可変コンデンサ
4. スピーカー
5. 電池ボックス

図5のラジオの内部にも、銅線を巻いたコイルと、可変コンデンサが見えます。LC の値を変えると共振周波数が変わるので、ラジオでは、この組で受け取る周波数を選びます。

3素子形の考え方

LC 発振回路は、トランジスタの3つの端子の間に、リアクタンス $X_1$、$X_2$、$X_3$ を1個ずつつなぐ形にまとめられます。

図6の $X_1$ はベースとエミッタの間、$X_2$ はコレクタとエミッタの間、$X_3$ はコレクタとベースの間です。発振の条件は、次の2つです。

• $X_1 + X_2 + X_3 = 0$（3つのリアクタンスが一巡する回路が共振する）
• $X_1$ と $X_2$ が同符号で、$X_3$ が逆符号

位相条件の理由は、次のとおりです。エミッタ接地の増幅器は、出力を 180° 逆相にします。一方、$X_1$ と $X_2$ が同符号だと、接地を基準にした $X_1$ の電圧と $X_2$ の電圧が、逆向きになります。帰還の電圧 $v_{\mathrm{f}}$ と出力の電圧 $v_{\mathrm{o}}$ の比は、次のとおりです。

$$\frac{v_{\mathrm{f}}}{v_{\mathrm{o}}} = -\frac{X_1}{X_2}$$

負の実数（位相 180°）なので、増幅器の 180° と合わせて、一巡で 0° になります。$X_1$ と $X_2$ が同符号なら、$X_1 + X_2 + X_3 = 0$ から、$X_3$ は逆符号になります。

回路	$X_1$・$X_2$	$X_3$
コルピッツ	コンデンサ	コイル
ハートレー	コイル	コンデンサ

コルピッツ発振回路

エミッタにつながる $X_1$・$X_2$ をコンデンサ $C_1$・$C_2$、$X_3$ をコイル $L$ にした回路が、コルピッツ発振回路です。

図7の $C_1$ の電圧が、帰還の電圧 $v_{\mathrm{f}}$、$C_2$ の電圧が出力の電圧 $v_{\mathrm{o}}$ です。発振周波数は、$X_1 + X_2 + X_3 = 0$ から求めます。

$$\begin{aligned} \omega L - \frac{1}{\omega C_1} - \frac{1}{\omega C_2} &= 0 \\ \omega^2 &= \frac{1}{L}\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) \end{aligned}$$

$C_1$ と $C_2$ の直列合成容量 $C_{\mathrm{s}}$ を使うと、共振周波数の式と同じ形になります。

$$\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C_{\mathrm{s}}}} \\ C_{\mathrm{s}} &= \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \end{aligned}$$

帰還率の大きさは、$|\beta| = |X_1/X_2| = C_2/C_1$ です。$|A\beta| \geq 1$ にするには、増幅器の増幅度を $|A| \geq C_1/C_2$ にする必要があります。

1コイル2青いコンデンサ3茶のコンデンサ4トランジスタ

1. コイル
2. 青いコンデンサ
3. 茶のコンデンサ
4. トランジスタ

図8のように、コイル1個、コンデンサ2個、トランジスタ1個があれば、コルピッツ発振回路の主な部品がそろいます。

解答と解説を見る

$C_1$ と $C_2$ の直列合成容量を求めます。

$$\begin{aligned} C_{\mathrm{s}} &= \frac{300 \times 150}{300+150} \\ &= 100\,\mathrm{[pF]} \end{aligned}$$

$100\,\mathrm{\mu H} = 10^{-4}\,\mathrm{H}$、$100\,\mathrm{pF} = 10^{-10}\,\mathrm{F}$ と直して、次のとおりです。

$$\begin{aligned} L C_{\mathrm{s}} &= 10^{-4} \times 10^{-10} \\ &= 10^{-14} \\ f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-14}}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 10^{-7}} \\ &\approx 1.59 \times 10^{6}\,\mathrm{[Hz]} \end{aligned}$$

必要な増幅度は、帰還率の逆数です。

$$\begin{aligned} |\beta| &= \frac{C_2}{C_1} \\ &= \frac{150}{300} \\ &= 0.5 \\ |A| &\geq \frac{1}{0.5} \\ &= 2 \end{aligned}$$

答えは、$f_0 \approx 1.59\,\mathrm{[MHz]}$、増幅度は 2 以上です。

検算します。$\omega = 1/\sqrt{10^{-14}} = 10^{7}\,\mathrm{[rad/s]}$ なので、$\omega L = 10^{7} \times 10^{-4} = 1000\,\mathrm{[\Omega]}$、$1/(\omega C_{\mathrm{s}}) = 1/(10^{7} \times 10^{-10}) = 1000\,\mathrm{[\Omega]}$ で、つり合っています。各容量のリアクタンスは、$X_1 = -333\,\mathrm{[\Omega]}$、$X_2 = -667\,\mathrm{[\Omega]}$、$X_3 = +1000\,\mathrm{[\Omega]}$ で、和が 0 です。

ハートレー発振回路

エミッタにつながる $X_1$・$X_2$ をコイル $L_1$・$L_2$、$X_3$ をコンデンサ $C$ にした回路が、ハートレー発振回路です。

図9の $L_1$ と $L_2$ は、1つのコイルを途中で引き出したように、磁気結合しています。結合の強さは、相互インダクタンス $M\,\mathrm{[H]}$ で表します。2つのコイルを流れる電流の向きが同じで、磁束が強め合う（和動接続）ときは、合成のインダクタンスが $L_1 + L_2 + 2M$ になります。発振周波数は、この合成インダクタンスから求めます。

$$\begin{aligned} L &= L_1 + L_2 + 2M \\ f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}} \end{aligned}$$

磁束が逆向きに打ち消し合う（差動接続）なら $L_1 + L_2 - 2M$ です。ハートレー発振回路の問題では、和動接続の $L_1 + L_2 + 2M$ を使います。

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合成インダクタンスを求めます。

$$\begin{aligned} L &= 30 + 50 + 2 \times 10 \\ &= 100\,\mathrm{[\mu H]} \end{aligned}$$

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ を $C$ について解きます。

$$\begin{aligned} C &= \frac{1}{(2\pi f_0)^2 L} \\ &= \frac{1}{(2\pi \times 10^{6})^2 \times 10^{-4}} \\ &\approx 2.53 \times 10^{-10}\,\mathrm{[F]} \end{aligned}$$

$10^{-10}\,\mathrm{F} = 100\,\mathrm{pF}$ なので、約 253 [pF] です。

検算します。$C = 253\,\mathrm{[pF]}$ を入れると、$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{10^{-4} \times 253 \times 10^{-12}}) \approx 1.0006\,\mathrm{[MHz]}$ で、1 MHz に合います。$M$ を忘れて $L = 80\,\mathrm{[\mu H]}$ で計算すると、同じ $C$ で約 $1.12\,\mathrm{[MHz]}$ になり、約 12% ずれます。

CR 発振回路と水晶発振回路

低い周波数で LC 発振回路を作ると、コイルが大きくなります。そこで、コイルを使わず、コンデンサ $C$ と抵抗 $R$ で周波数を決めるのが、CR 発振回路です。

ウィーンブリッジ発振回路

オペアンプで作る CR 発振回路が、ウィーンブリッジ発振回路です。

図10では、非反転入力へ、$R$ と $C$ の直列回路、接地へ $R$ と $C$ の並列回路を通る正帰還がかかります。反転入力には、$R_{\mathrm{f}}$ と $R_{\mathrm{g}}$ の負帰還がかかり、増幅度を決めます。オペアンプの非反転増幅回路の増幅度は、$A = 1 + R_{\mathrm{f}}/R_{\mathrm{g}}$ です。

正帰還回路の帰還率 $\beta$ は、直列部分と並列部分のインピーダンスの分圧から、次のように求まります。

$$\beta = \frac{1}{3 + j\left(\omega CR - \dfrac{1}{\omega CR}\right)}$$

$\omega CR = 1$ のとき、虚数の項が 0 になり、$\beta = 1/3$（位相 0°）の実数になります。これが位相条件を満たす周波数です。

$$\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi CR} \\ \beta &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$

$|A\beta| \geq 1$ にするには、増幅度が 3 以上です。$1 + R_{\mathrm{f}}/R_{\mathrm{g}} \geq 3$ から、$R_{\mathrm{f}} \geq 2R_{\mathrm{g}}$ になります。

移相形発振回路

反転増幅器と、CR を3段つないだ回路で作るのが、移相形発振回路です。

図11の反転増幅器は、位相を 180° 反転します。$C$ を直列、$R$ を接地側にした CR の1段は、位相を最大でも 90° 未満しか進めません。3段つなぐと、ある周波数で合計が 180° になり、一巡して 360°（0°）が実現します。

方式	周波数	増幅度
ウィーンブリッジ	$\dfrac{1}{2\pi CR}$	3 以上
移相形	$\dfrac{1}{2\pi\sqrt{6}\,CR}$	29 以上

移相形では、そのときの帰還率が $\beta = -1/29$ なので、増幅度は 29 以上が必要です。$C$ と $R$ を入れ替えた（$R$ を直列、$C$ を接地側にした）形では、周波数が $f_0 = \sqrt{6}/(2\pi CR)$ になります。

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$CR$ を計算します。

$$\begin{aligned} CR &= 0.01 \times 10^{-6} \times 16 \times 10^{3} \\ &= 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{[s]} \end{aligned}$$

発振周波数は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi \times 1.6 \times 10^{-4}} \\ &\approx 994.7\,\mathrm{[Hz]} \\ &\approx 1\,\mathrm{[kHz]} \end{aligned}$$

増幅度は 3 以上が必要なので、$R_{\mathrm{f}}$ を求めます。

$$\begin{aligned} 1 + \frac{R_{\mathrm{f}}}{R_{\mathrm{g}}} &\geq 3 \\ R_{\mathrm{f}} &\geq 2 \times 10 \\ &= 20\,\mathrm{[k\Omega]} \end{aligned}$$

答えは、$f_0 \approx 1\,\mathrm{[kHz]}$、$R_{\mathrm{f}}$ は $20\,\mathrm{[k\Omega]}$ 以上です。実際の回路では、$20\,\mathrm{[k\Omega]}$ より少し大きくして、発振を立ち上げます。

検算します。$\omega = 2\pi \times 994.7 \approx 6250\,\mathrm{[rad/s]}$ で、$\omega CR = 6250 \times 1.6 \times 10^{-4} = 1.0$ です。周波数が半分のときは、$\omega CR = 0.5$ で、$\beta = 1/(3 - 1.5j)$ となり、大きさは約 $0.30$、位相は約 $+27°$ です。位相条件を満たすのは、$f_0$ だけだと分かります。

水晶発振回路

発振周波数を、さらに安定させたいときは、水晶振動子を使います。水晶の薄片に電圧を加えると、圧電効果で機械的に振動します。この振動の周波数が、薄片の大きさで、ごく正確に決まります。

図12は、水晶振動子のリアクタンスです。直列共振周波数 $f_{\mathrm{s}}$ より低い側と、並列共振周波数 $f_{\mathrm{p}}$ より高い側では、容量性（コンデンサのはたらき）です。$f_{\mathrm{s}}$ と $f_{\mathrm{p}}$ の間のごく狭い範囲だけが、誘導性（コイルのはたらき）です。

この誘導性の範囲を、コルピッツ発振回路のコイル $L$ の代わりに使います。水晶の誘導性は、周波数がわずかに変わるだけで大きく変わるので、周波数は $f_{\mathrm{s}}$ と $f_{\mathrm{p}}$ の間のごく狭い範囲に決まります。回路のほかの部品が少しばらついても、発振周波数はほとんど動きません。このため、時計や、パソコンのクロックのように、正確な周波数がほしいところに使われます。

マルチバイブレータ

LC や CR の発振回路は、ほぼ正弦波を出します。これに対して、方形波（矩形波）を出す発振回路が、マルチバイブレータです。2個のトランジスタが、コンデンサを通して互いに結ばれ、一方がオンのとき他方がオフになる状態を、交互に入れ替えます。

種類	動作
非安定	方形波を出し続ける
単安定	トリガで一定時間だけ反転
双安定	トリガごとに状態が切り替わる

双安定マルチバイブレータは、フリップフロップのことです。ここでは、発振回路として使う非安定マルチバイブレータを見ます。

図13の回路では、$Q_1$ がオンのとき $Q_2$ はオフで、コンデンサ $C$ が、$R_{\mathrm{B}}$ を通って充電されます。ベース電圧が 0 を超えて $Q_2$ がオンになると、今度は $Q_1$ がオフになります。この入れ替わりが、くり返されます。

図14が、出力の波形です。左右対称な回路（$C_1 = C_2 = C$、$R_{\mathrm{B1}} = R_{\mathrm{B2}} = R_{\mathrm{B}}$）で、$V_{\mathrm{BE}} \approx 0$、$V_{\mathrm{CE(sat)}} \approx 0$ と近似すると、高い時間と低い時間は等しくなり、周期 $T$ は次の値になります。

$$T \approx 1.4\,CR_{\mathrm{B}}$$

たとえば、$C = 0.01\,\mathrm{[\mu F]}$、$R_{\mathrm{B}} = 100\,\mathrm{[k\Omega]}$ なら、$CR_{\mathrm{B}} = 1\,\mathrm{[ms]}$ で、周期は約 $1.4\,\mathrm{[ms]}$、周波数は約 $720\,\mathrm{[Hz]}$ です。

よくある質問

発振回路は、入力がないのに、なぜ出力が出るの？

電源を入れた瞬間の変化や、回路の雑音が、きっかけになるからです。$|A\beta|$ が 1 より大きければ、一巡するたびに信号が大きくなり、やがて安定した振幅になります。

コルピッツとハートレーは、どう見分けるの？

エミッタにつながる2つの素子を見ます。コンデンサ2個とコイル1個ならコルピッツ、コイル2個（磁気結合）とコンデンサ1個ならハートレーです。周波数の式は、コルピッツが $C_1$ と $C_2$ の直列合成、ハートレーが $L_1 + L_2 + 2M$ です。

水晶発振回路は、なぜ周波数が安定なの？

水晶が誘導性になる範囲が、$f_{\mathrm{s}}$ と $f_{\mathrm{p}}$ の間のごく狭い範囲だからです。ほかの部品が少しばらついても、発振周波数は水晶の値の近くに決まります。

正弦波の発振回路とマルチバイブレータは、何が違うの？

正弦波の発振回路は、LC や CR で、位相条件を満たす周波数を決めます。マルチバイブレータは、コンデンサの充放電で、2つの状態を交互に切り替えて、方形波を出します。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

発振条件は？

一巡の利得が $A\beta = 1$ です。位相が 0°、大きさが 1 で、立ち上がりのときは $|A\beta| > 1$ にします。

LC 発振回路の3素子形の条件は？

$X_1 + X_2 + X_3 = 0$ で、$X_1$ と $X_2$ が同符号、$X_3$ が逆符号です。

コルピッツとハートレーの発振周波数は？

コルピッツは $C_{\mathrm{s}} = C_1C_2/(C_1+C_2)$ を使った $1/(2\pi\sqrt{LC_{\mathrm{s}}})$、ハートレーは $L = L_1+L_2+2M$ の $1/(2\pi\sqrt{LC})$ です。

ウィーンブリッジ発振回路の周波数と必要な増幅度は？

$f_0 = 1/(2\pi CR)$ で、増幅度は 3 以上（$R_{\mathrm{f}} \geq 2R_{\mathrm{g}}$）です。

移相形発振回路の周波数と必要な増幅度は？

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{6}\,CR)$ で、増幅度は 29 以上です。

水晶とマルチバイブレータは？

水晶は $f_{\mathrm{s}}$ と $f_{\mathrm{p}}$ の間の誘導性の範囲を使います。非安定マルチバイブレータは方形波で、周期は約 $1.4\,CR_{\mathrm{B}}$ です。

まとめ

• 発振回路は、増幅器と正帰還でできていて、増幅度は $A/(1-A\beta)$。発振条件は、一巡して位相が 0°、大きさが $|A\beta| = 1$（立ち上がりは 1 より大きい）
• LC 発振回路の3素子形は、$X_1 + X_2 + X_3 = 0$ で、$X_1$ と $X_2$ が同符号。コルピッツは $C_1$・$C_2$ の直列合成、ハートレーは $L_1 + L_2 + 2M$ で周波数を求める
• CR 発振回路は、ウィーンブリッジが $f_0 = 1/(2\pi CR)$（増幅度 3 以上）、移相形が $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{6}\,CR)$（増幅度 29 以上）
• 水晶発振回路は、$f_{\mathrm{s}}$ と $f_{\mathrm{p}}$ の間の誘導性の範囲を使って、周波数を安定させる
• 非安定マルチバイブレータは方形波を出し、周期は約 $1.4\,CR_{\mathrm{B}}$。双安定はフリップフロップ

発振回路は、増幅の式と共振の式を組み合わせたものです。トランジスタ増幅回路で増幅度と帰還の式を、共振回路で共振周波数の式を読み返すと、この記事の式がつながります。トランジスタそのものから見直したいときは、トランジスタの基本も読み返してください。