キルヒホッフの法則の解き方｜電流則・電圧則と連立方程式の立て方

前の記事の並列回路では、直列と並列だけの回路を一本の合成抵抗にまとめて解きました。ところが電源が二つになると、合成抵抗にまとめるだけでは解けません。

キルヒホッフの法則は、回路の一つの点では電流の出入りが釣り合い（電流則）、閉じた一周では電圧の上がり下がりが釣り合う（電圧則）という、二つの決まりです。この二つで式を立てれば、電源が複数あって合成抵抗にまとめられない回路も、連立方程式として解けます。この記事では、二つの法則の意味、符号の決め方、解き方の手順、電験三種で出る形の例題を順に確認します。

• キルヒホッフの法則とは
  • 合成抵抗にまとめられない回路で使う
  • 節点・枝・閉回路の三つの言葉
• 電流則（第1法則）
  • 節点に入る電流の和 ＝ 出る電流の和
• 電圧則（第2法則）
  • 一周すると電位は元に戻る
  • 符号は、通る向きで決める
• 解き方の手順
  • 電流を仮定し、電流則と電圧則で式を立てる
  • 式の本数は「節点の数 − 1」と「窓の数」
• 例題
  • 二電源の回路を解き、電力で検算する
  • 答えが負なら、仮定と逆向き

キルヒホッフの法則とは

キルヒホッフの法則は、直流回路で、複雑な回路を解くときの基本の道具です。1845年にドイツの物理学者キルヒホッフが示した、電流についての法則（第1法則、電流則）と、電圧についての法則（第2法則、電圧則）の二つからなります。

直列と並列だけの回路は、合成抵抗にまとめて、オームの法則で解けます。しかし、電源が二つ以上ある回路や、抵抗が橋渡しになっている回路は、一本の抵抗にまとめられません。こうした回路で使うのが、キルヒホッフの法則です。

電源が二つある身近な例が、故障した車のバッテリーを、別の車のバッテリーとケーブルでつなぐ場面です。電源が二つ入ると、電流がどちらの電池からどちらへ流れるのかも、計算してみるまでは分かりません。向きが分からないまま解き始められるようにするのが、キルヒホッフの法則の使い方です。

1電池A2電池B3赤いケーブル4黒いケーブル

1. 電池A　一つ目の電源
2. 電池B　二つ目の電源
3. 赤いケーブル　電池を結ぶ道の一つ
4. 黒いケーブル　もう一つの道

キルヒホッフの法則には、三つの言葉が出てきます。

言葉	意味	図3の例
節点	三本以上の枝が集まる点	上の点 a と下の点 b
枝	節点から次の節点までの、分かれ道のない一本の道	左・中央・右の三本
閉回路（ループ）	同じ点を二度通らずに、一周できる道	左の窓、右の窓

図3は、この記事の例題で使う回路です。一周できる道は、左の窓、右の窓、外側の大きな一周の三つあります。ただし、式として独立なのは、内側に枝を含まない「窓」にあたる二つだけです。

電流則（第1法則）

電流則（キルヒホッフの第1法則）は、節点に流れ込む電流の和が、流れ出る電流の和に等しいという法則です。節点に電荷がたまったり、湧き出したりしないことを表しています。

$$\text{流れ込む電流の和} = \text{流れ出る電流の和}$$

図4の節点では、$I_1$ と $I_2$ が流れ込み、$I_3$ と $I_4$ が流れ出ます。

$$I_1 + I_2 = I_3 + I_4$$

流れ込む向きを正、流れ出る向きを負として、すべてを足すと $0$ になる、と書いても同じ式です。

解答と解説を見る

流れ込む電流の合計は $6 + 3 = 9\,\mathrm{[A]}$ です。電流則より、

$$9 = 4 + I_4$$

よって $I_4 = 5\,\mathrm{[A]}$ です。正の値なので、図に描いた流れ出る向きのままです。

家庭の分電盤にも、電流則が現れます。主幹ブレーカーから入った電流は、母線で各分岐ブレーカーへ分かれます。母線を節点と見れば、入る電流は、分岐に流れる電流の合計に等しくなります。

1主幹ブレーカー2母線3分岐ブレーカー4各回路の配線

1. 主幹ブレーカー　ここから電流が入る
2. 母線　電流が各分岐へ分かれる節点
3. 分岐ブレーカー　流れ出る電流の一つ
4. 各回路の配線　分かれた電流の行き先

電圧則（第2法則）

電圧則（キルヒホッフの第2法則）は、閉回路を一周したとき、電源の起電力の和が、抵抗の電圧降下の和に等しいという法則です。

$$\text{起電力の和} = \text{電圧降下の和}$$

別の言い方をすると、一周して元の点に戻れば、電位も元に戻ります。山道を一周して出発点へ戻れば、登った高さと下った高さが等しいのと同じです。電源を通るときに電位が上がり、抵抗を通るときに電位が下がる分が、ちょうど釣り合います。抵抗での電圧降下 $RI$ は、オームの法則と直列回路で扱った量です。

式を立てるときに迷うのは、符号です。符号は「一周する向き」を一つ決めて、その向きに通ったときの関係で決まります。

電源は、通る向きだけで符号が決まります。負極から正極へ通れば電位が上がるので $+E$、正極から負極へ通れば下がるので $-E$ です。抵抗は、電流の向きと見比べます。電流と同じ向きに通れば電位は $RI$ だけ下がるので、電圧降下は $+RI$、逆向きに通れば $-RI$ です。

一巡の回路で確かめる

まず、一周するだけの回路で確かめます。

解答と解説を見る

a から b、c、d の順に、時計回りに一周します。$E_1$ は負極から正極へ通るので $+E_1$、$E_2$ は正極から負極へ通るので $-E_2$ です。二つの抵抗は、電流と同じ向きに通ります。

$$E_1 - E_2 = R_1 I + R_2 I$$

数値を入れると、

$$20 - 8 = 2I + 4I$$

$12 = 6I$ より、$I = 2\,\mathrm{[A]}$ です。正の値なので、仮定した時計回りのとおりに流れます。

この答えを、電位の動きで追ってみます。a の電位を $0\,\mathrm{[V]}$ として、時計回りに一周します。$E_1$ で $20\,\mathrm{[V]}$ 上がって b は $20\,\mathrm{[V]}$、$R_1$ で $2 \times 2 = 4\,\mathrm{[V]}$ 下がって c は $16\,\mathrm{[V]}$ です。$E_2$ を逆向きに通って $8\,\mathrm{[V]}$ 下がり、d は $8\,\mathrm{[V]}$、$R_2$ で $4 \times 2 = 8\,\mathrm{[V]}$ 下がって a の $0\,\mathrm{[V]}$ に戻ります。

上がった $20\,\mathrm{[V]}$ と、下がった $4 + 8 + 8 = 20\,\mathrm{[V]}$ が等しくなっています。これが「一周すると電位は元に戻る」の中身です。

抵抗の両端にテスター棒を当てると、電圧降下 $RI$ を実際に読み取れます。電圧則の式に出てくる $RI$ は、測れる量です。

1電池ボックス2テスター棒3抵抗4テスター本体

1. 電池ボックス　電源
2. テスター棒　測りたい部分に当てる
3. 抵抗　電圧降下 RI が現れる
4. テスター本体　電圧を読み取る

解き方の手順（枝電流法）

二つの法則を使った解き方には、決まった手順があります。ここでは、各枝の電流を未知数にする「枝電流法」で説明します。

手順を、二電源の回路にあてはめます。左の枝に $E_1$ と $R_1$、右の枝に $E_2$ と $R_2$、中央に $R_3$ がある回路です。

手順1　電流の向きを仮定する。 図11のように、左と右の枝の電流 $I_1$、$I_2$ は上向き、中央の枝の電流 $I_3$ は下向きと仮定します。向きは自由です。実際と逆でも、答えが負になるだけで、解き方は変わりません。

手順2　電流則で式を立てる。 節点 a では、$I_1$ と $I_2$ が流れ込み、$I_3$ が流れ出ます。

$$I_3 = I_1 + I_2$$

手順3　ループを選び、一周する向きを決める。 窓の数だけ選びます。ここでは、左の窓（ループ1）を時計回り、右の窓（ループ2）を反時計回りにします。

手順4　電圧則で式を立てる。 ループ1では、左の枝を上向きに通って $E_1$ は負極から正極へ、$R_1$ も電流と同じ向きです。中央の $R_3$ は下向きに通るので、これも $I_3$ と同じ向きです。

$$E_1 = R_1 I_1 + R_3 I_3$$

ループ2も、右の枝を上向き、中央を下向きに通るので、同じ形になります。

$$E_2 = R_2 I_2 + R_3 I_3$$

手順5　連立方程式を解く。 三つの式で、未知数は $I_1$、$I_2$、$I_3$ の三つです。解いたあと、元の式に代入して確かめます。

式は何本立てればよいか

立てる式の本数は、未知の電流の数と同じ、つまり枝の数だけです。内訳は次のとおりです。

• 電流則は、節点の数が $n$ のとき、$n - 1$ 本
• 電圧則は、枝の数が $b$ のとき、窓の数にあたる $b - n + 1$ 本

この回路では $n = 2$、$b = 3$ なので、電流則が $1$ 本、電圧則が $2$ 本の、合計 $3$ 本です。電流則を $n$ 本立てないのは、すべての節点の式を足すと $0 = 0$ になるからです。最後の一つの式は、ほかの式から導けてしまい、新しい情報になりません。節点 b で式を立てても、節点 a と同じ式になります。

ループの向きも自由です。ループ2を時計回りにすると、式は $-E_2 = -R_2 I_2 - R_3 I_3$ となりますが、これは両辺の符号を変えただけで、同じ式です。

実際の回路でも、配線が枝分かれする点は節点です。基板では、配線が三方向に分かれる丸い銅の部分が、節点にあたります。

1配線2はんだの部分3ほかの枝

1. 配線　電流の通り道（枝）
2. はんだの部分　節点にあたる
3. ほかの枝　別の方向へ分かれる

三つの解き方の違い

同じ回路でも、未知数の取り方で式の本数が変わります。

解き方	未知数	この回路での式の本数
枝電流法	各枝の電流	3 本
網目電流法	各窓を回る電流	2 本
節点電位法	節点の電位	1 本

この記事で説明する枝電流法は、手順がいちばん素直です。網目電流法と節点電位法は、式が少なくなる反面、考え方に慣れが要ります。例題3の後で、同じ回路を二つの別解で解いてみます。

例題：連立方程式の解き方と検算

二電源の回路を、実際に解きます。

解答と解説を見る

電流の向きは図11のとおりに仮定し、三つの式を立てます。

$$I_3 = I_1 + I_2 \quad \cdots \text{①}$$$$24 = 3I_1 + 6I_3 \quad \cdots \text{②}$$$$20 = 2I_2 + 6I_3 \quad \cdots \text{③}$$

①を②と③に代入して、$I_3$ を消します。②は $24 = 3I_1 + 6(I_1 + I_2) = 9I_1 + 6I_2$ なので、$3$ で割って、

$$8 = 3I_1 + 2I_2 \quad \cdots \text{④}$$

③は $20 = 2I_2 + 6(I_1 + I_2) = 6I_1 + 8I_2$ なので、$2$ で割って、

$$10 = 3I_1 + 4I_2 \quad \cdots \text{⑤}$$

⑤から④を引くと $2 = 2I_2$ なので、$I_2 = 1\,\mathrm{[A]}$ です。④に入れて $8 = 3I_1 + 2$ より、$I_1 = 2\,\mathrm{[A]}$、①より $I_3 = 3\,\mathrm{[A]}$ です。

三つとも正の値なので、仮定した向きのとおりに流れています。②に代入すると $3 \times 2 + 6 \times 3 = 24$、③に代入すると $2 \times 1 + 6 \times 3 = 20$ となり、どちらも成り立ちます。

求めた電流を、回路図に書き込みます。中央の抵抗の電圧は $R_3 I_3 = 6 \times 3 = 18\,\mathrm{[V]}$ で、これが a と b の間の電圧です。

電力でも検算できます。電源が出す電力は、$24 \times 2 + 20 \times 1 = 68\,\mathrm{[W]}$ です。抵抗が使う電力は、$I^2R$ で、$R_1$ が $2^2 \times 3 = 12\,\mathrm{[W]}$、$R_2$ が $1^2 \times 2 = 2\,\mathrm{[W]}$、$R_3$ が $3^2 \times 6 = 54\,\mathrm{[W]}$ で、合計 $68\,\mathrm{[W]}$ です。電源が出す電力と抵抗が使う電力が等しいことは、解の確かめになります。

別解：節点電位法と網目電流法

同じ回路を、式の少ない方法で解いてみます。

節点電位法。 b を基準とした a の電位を $V\,\mathrm{[V]}$ とおくと、各枝の電流は次のように書けます。

$$I_1 = \frac{24 - V}{3}, \quad I_2 = \frac{20 - V}{2}, \quad I_3 = \frac{V}{6}$$

電流則 $I_1 + I_2 = I_3$ に入れて、両辺に $6$ を掛けます。

$$2(24 - V) + 3(20 - V) = V$$

$108 = 6V$ より $V = 18\,\mathrm{[V]}$ です。$I_1 = 6/3 = 2\,\mathrm{[A]}$、$I_2 = 2/2 = 1\,\mathrm{[A]}$、$I_3 = 18/6 = 3\,\mathrm{[A]}$ となり、枝電流法と同じ答えです。式が一本で済みます。この形の式を公式にしたものは、ミルマンの定理と呼ばれます。

網目電流法。 左の窓に時計回りの電流 $J_a$、右の窓に反時計回りの電流 $J_b$ が回っていると考えます。左の枝の電流は $I_1 = J_a$、右の枝の電流は $I_2 = J_b$ で、中央の抵抗は二つの電流がどちらも下向きに通るので $I_3 = J_a + J_b$ です。電圧則だけで、式は二本になります。

$$\begin{gathered} 24 = 3J_a + 6(J_a + J_b) \\ 20 = 2J_b + 6(J_a + J_b) \end{gathered}$$

整理すると $24 = 9J_a + 6J_b$、$20 = 6J_a + 8J_b$ で、解は $J_a = 2$、$J_b = 1$ です。やはり同じ答えになります。

答えが負になる場合

電源の値を変えると、仮定した向きと実際の向きが逆になることがあります。

解答と解説を見る

式の形は例題3と同じで、③の $20$ が $8$ に変わります。

$$\begin{aligned} I_3 &= I_1 + I_2 \\ 24 &= 3I_1 + 6I_3 \\ 8 &= 2I_2 + 6I_3 \end{aligned}$$

②は例題3と同じなので $8 = 3I_1 + 2I_2$ です。③は $8 = 2I_2 + 6(I_1 + I_2) = 6I_1 + 8I_2$ なので、$2$ で割って $4 = 3I_1 + 4I_2$ になります。二つの式を引き算すると $2I_2 = -4$ なので、

$$I_2 = -2\,\mathrm{[A]}$$

です。$8 = 3I_1 - 4$ より $I_1 = 4\,\mathrm{[A]}$、$I_3 = 4 + (-2) = 2\,\mathrm{[A]}$ です。

②に代入すると $3 \times 4 + 6 \times 2 = 24$、③に代入すると $2 \times (-2) + 6 \times 2 = 8$ で、どちらも成り立ちます。

$I_2$ が負なので、右の枝の電流は、仮定した上向きと逆の下向きに $2\,\mathrm{[A]}$ 流れています。

負の答えは、間違いではありません。仮定と逆向きに流れている、という意味です。この例では、右の電池 $E_2$ の正極に向かって電流が流れ込むので、右の電池は電流を送り出す側ではなく、受け取る側（充電される側）になっています。電力で確かめると、電源 $E_1$ が $24 \times 4 = 96\,\mathrm{[W]}$ を出し、$E_2$ は $8 \times 2 = 16\,\mathrm{[W]}$ を受け取ります。抵抗が使う電力は $3 \times 4^2 + 2 \times 2^2 + 6 \times 2^2 = 80\,\mathrm{[W]}$ で、$96 - 16 = 80\,\mathrm{[W]}$ と一致します。

この例では、a と b の間の電圧が $R_3 I_3 = 6 \times 2 = 12\,\mathrm{[V]}$ で、$E_2 = 8\,\mathrm{[V]}$ より高いため、右の電池に電流が押し込まれます。二台のバッテリーをつないだ図2も同じで、電池の状態に差があると、電圧の高い側から低い側へ電流が流れ込み、低い側が充電される形になります。実際の作業の手順は、車の取扱説明書に従ってください。

符号の間違いを防ぐ

よくある質問

キルヒホッフの法則の符号の決め方は？

符号は「通る向き」で決まります。電源は、負極から正極へ通るなら $+E$、正極から負極へ通るなら $-E$ とします。抵抗は、一周する向きが電流と同じなら電圧降下 $+RI$、逆なら $-RI$ です。これを「起電力の和 ＝ 電圧降下の和」の形に当てはめれば、迷いません。

電流の向きを逆に仮定したらどうなる？

解き方は変わりません。その枝の電流が負の値で求まるだけで、大きさは同じです。「仮定と逆向きに流れている」と読み替えます。向きを最初から当てようとするより、とりあえず仮定して解く方が、早く確実です。

キルヒホッフの法則で式は何本立てればよい？

未知の電流と同じ数だけ立てます。電流則は「節点の数 − 1」本、電圧則は「窓の数」だけです。この記事の回路は、節点が二つ、窓が二つなので、$1 + 2 = 3$ 本で、未知数 $I_1$、$I_2$、$I_3$ と数が合います。

キルヒホッフの法則は交流回路でも使える？

使えます。交流でも、各瞬間の電流や電圧（瞬時値）で成り立ち、複素数のベクトル表示（複素数と記号法）にすれば直流と同じ形の式で書けます。ただし、電圧の大きさ（実効値）をそのまま足してはいけません。位相を含めて足します。コイルやコンデンサを含む回路の扱いは、交流回路の単元で学びます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

電流則（第1法則）を、言葉で説明してください。

節点に流れ込む電流の和は、流れ出る電流の和に等しい、という法則です。

電圧則（第2法則）を、言葉で説明してください。

閉回路を一周すると、電源の起電力の和が、抵抗の電圧降下の和に等しくなる、という法則です。一周すれば電位が元に戻る、とも言えます。

電源を、負極から正極へ通るときと、正極から負極へ通るときの、起電力の符号は？

負極から正極へなら $+E$、正極から負極へなら $-E$ です。

抵抗を、電流と同じ向きに通るときと、逆向きに通るときの、電圧降下の符号は？

同じ向きなら $+RI$、逆向きなら $-RI$ です。

節点が二つ、枝が三つ、窓が二つの回路で、立てる式の本数は？

電流則が $2 - 1 = 1$ 本、電圧則が窓の数の $2$ 本で、合計 $3$ 本です。

連立方程式を解いて、ある枝の電流が負の値になったら、どう読みますか。

仮定した向きと逆に、その大きさの電流が流れています。解き間違いではありません。

まとめ

• キルヒホッフの法則は、合成抵抗にまとめられない回路（電源が複数ある回路など）を、連立方程式で解く道具
• 電流則（第1法則）は、節点に流れ込む電流の和 ＝ 流れ出る電流の和
• 電圧則（第2法則）は、閉回路を一周したとき、起電力の和 ＝ 電圧降下の和。符号は、通る向きで決める
• 手順は、電流を仮定し、電流則（節点の数 − 1 本）、電圧則（窓の数）の式を立てて、連立方程式を解く
• 答えが負なら、仮定と逆向きに流れている。電力の一致や、別のループへの代入で検算する

重ね合わせの理やテブナンの定理、ミルマンの定理など、この先の解き方も、二つの法則が土台です。式の立て方で迷ったら、合成抵抗にまとめる考え方を、並列回路とオームの法則と直列回路で見直しましょう。電流の合流で式を立てる考え方は、オペアンプの加算回路でもそのまま使います。