水力発電の出力の求め方｜P=9.8QHη・有効落差・効率の計算

落差と流量とは で、水の力が落差と流量で決まることを見ました。この記事では、その2つから発電所の出力を求めます。水力発電の出力は $P = 9.8\,Q\,H\,\eta\ \mathrm{[kW]}$ で求めます。$Q$ は使用水量 $\mathrm{[m^3/s]}$、$H$ は有効落差 $\mathrm{[m]}$、$\eta$ は水車と発電機を合わせた総合効率です。電験三種の「電力」では、この式を使った計算が問われます。落差の選び方と効率の掛け方を押さえれば、迷わず解けます。

• 水力発電の出力とは
  • 水の位置エネルギーを水車と発電機で電気に変える
  • 出力は流量 $Q$ と落差 $H$ に比例する
• 公式 $P=9.8QH\eta$ の導き方
  • 係数 9.8 は水の密度と重力加速度から出る
  • 総合効率は水車効率と発電機効率の積
• 有効落差とは
  • 総落差から損失水頭を引いたものを使う
• 出力の計算の進め方
  • 単位をそろえてから代入する
  • 逆算（流量・落差を求める）も同じ式の変形
• 発電電力量と設備利用率
  • $W = P \times t$、1 年は $8760\ \mathrm{h}$
• 水車の種類と発電方式
  • 高落差はペルトン、中落差はフランシス、低落差はカプラン

水力発電の出力とは

水力発電は、高い所にある水が低い所へ落ちるときの位置エネルギーを、水車で回転の力に、発電機で電気に変えるしくみです。出力を決めるのは、毎秒どれだけの水を使うか（使用水量 $Q$）と、水がどれだけの高さを落ちるか（落差 $H$）の二つです。水の量が 2 倍になれば出力は 2 倍、落差が 2 倍になっても出力は 2 倍になります。

図2は、水力発電所の全体の配置です。貯水池の水は取水口から入り、水圧管路を通って発電所へ送られ、水車を回したあと放水路から川へ戻ります。水面から放水口の水面までの高さの差が落差です。

取水口はダムの水を水圧管路へ取り入れる入口で、ここから発電所までの流れが落差になります。

1取水塔2ダム堤体3貯水池

1. 取水塔　貯水池の水を水圧管路へ取り入れる入口。ごみを防ぐ格子が付く
2. ダム堤体　水をせき止めて水位を上げ、落差をかせぐ
3. 貯水池　水をためておく。この水面の高さが落差の上端になる

1水槽（ヘッドタンク）2水圧管路3発電所（建屋）4開閉所5放水路

1. 水槽（ヘッドタンク）　導水路で運んだ水をためて、水圧管へ送り出す
2. 水圧管路　高低差を落ちる水の位置エネルギーを、水車まで運ぶ
3. 発電所（建屋）　中で水車が発電機を回す
4. 開閉所　発電した電気を送電線へ送り出す
5. 放水路　水車を回し終えた水を川へ戻す

水圧管路の途中には、水車の負荷が急に変わったときの水の圧力変動（水撃作用）をやわらげる水槽やサージタンクが置かれます。試験では「管路が長いほど損失水頭が大きい」ことが、有効落差の考え方につながります。

公式 P=9.8QHη の導き方

係数 9.8 は暗記する数字ではなく、水の密度と重力加速度を掛けたものです。毎秒 $Q\ \mathrm{[m^3]}$ の水が $H\ \mathrm{[m]}$ 落ちるとき、水は毎秒 $1000Q\ \mathrm{[kg]}$（水の密度 $1000\ \mathrm{[kg/m^3]}$）なので、位置エネルギーが毎秒失われる量、つまり仕事率は

$$\begin{aligned} P_0 &= \rho g Q H = 1000 \times 9.8 \times QH \\ &= 9800\,QH\ \mathrm{[W]} = 9.8\,QH\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

です。これが水の持つ力の全部で、実際の出力はここから水車と発電機で失われる分を引いたものになります。

水車効率を $\eta_w$、発電機効率を $\eta_g$ とすると、総合効率は両者の積です。

$$\eta = \eta_w \times \eta_g$$

したがって、出力の公式は次のようにまとめられます。

$$P = 9.8\,Q\,H\,\eta_w\,\eta_g = 9.8\,Q\,H\,\eta \quad \mathrm{[kW]}$$

有効落差とは？総落差・損失水頭との違い

落差には 2 種類あります。取水口の水位と放水口の水位の差が総落差 $H_0$ です。ところが水が水路や水圧管路を流れるとき、管の壁との摩擦や曲がり、弁などで、水頭（水の高さに換算したエネルギー）の一部が失われます。これを損失水頭 $h$ といいます。実際に水車で使える落差が、総落差から損失水頭を引いた有効落差 $H$ です。

$$H = H_0 - h$$

水力発電の出力の計算例題

計算ミスの多くは、手順の抜けから起きます。次の 4 段階で進めると、落差の選び違いや効率の掛け忘れを防げます。

解答と解説を見る

有効落差は $H = 105 - 5 = 100\ \mathrm{[m]}$、総合効率は $\eta = 0.90 \times 0.95 = 0.855$ です。

$$\begin{aligned} P &= 9.8 \times 20 \times 100 \times 0.855 \\ &= 16758\ \mathrm{[kW]} \approx 16.8\ \mathrm{[MW]} \end{aligned}$$

出力から流量や落差を求める問題も、同じ式を変形するだけです。$Q = \dfrac{P}{9.8H\eta}$、$H = \dfrac{P}{9.8Q\eta}$ のように、求めたい文字を左に出します。

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有効落差は $H = 84 - 4 = 80\ \mathrm{[m]}$ です。

$$\begin{aligned} Q &= \frac{P}{9.8\,H\,\eta} = \frac{8000}{9.8 \times 80 \times 0.90} \\ &= \frac{8000}{705.6} \approx 11.3\ \mathrm{[m^3/s]} \end{aligned}$$

発電電力量と設備利用率の求め方

出力 $\mathrm{[kW]}$ に運転時間 $\mathrm{[h]}$ を掛けたものが、発電電力量 $W\ \mathrm{[kW \cdot h]}$ です。

$$W = P \times t$$

発電所がどれだけ使われているかを表す指標が設備利用率です。最大出力で 1 年間ずっと運転したと仮定した電力量に対する、実際の年間発電電力量の割合です。

$$\text{設備利用率} = \frac{\text{年間の発電電力量}}{\text{最大出力} \times 8760} \times 100\ \mathrm{[\%]}$$

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最大出力は $25\ \mathrm{[MW]} = 25000\ \mathrm{[kW]}$ です。

$$\begin{aligned} W &= 25000 \times 8760 \times 0.40 \\ &= 8.76 \times 10^{7}\ \mathrm{[kW \cdot h]} \\ &= 87.6\ \mathrm{[GW \cdot h]} \end{aligned}$$

$1\ \mathrm{GW \cdot h} = 10^{6}\ \mathrm{kW \cdot h}$ なので、$87.6\ \mathrm{[GW \cdot h]}$ です。

水車の種類と発電方式の違い

出力の計算に合わせて、水車の使い分けも問われます。基本は「落差が高いほど衝動水車、低いほどプロペラ系」です。

水車	形式	特徴
ペルトン水車	衝動水車	水の位置エネルギーを噴流の速度エネルギーに変え、羽根に当てて回す。高落差向き
フランシス水車	反動水車	水の圧力と速度の両方を使う。中落差で最も広く使われる
プロペラ水車	反動水車	羽根の角度が固定。低落差向き
カプラン水車	反動水車	プロペラ水車の羽根の角度を負荷に合わせて変えられ、効率の低下が小さい

ペルトン水車では、ノズルから出る水の速さ（噴流速度）は落差から $v = \sqrt{2gH}$ で求まります。たとえば $H = 250\ \mathrm{[m]}$ なら $v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 250} = \sqrt{4900} = 70\ \mathrm{[m/s]}$ です。反動水車のフランシス水車などには、水車から出た水をゆっくり流して落差を回収する吸出し管が付きます。

1ランナ羽根2主軸の取付部3発電機（奥）

1. ランナ羽根　水の圧力と速度の両方で押され、ランナが回る
2. 主軸の取付部　ここに主軸を結合して回転を取り出す
3. 発電機（奥）　ランナの回転は主軸を通じて発電機へ伝わる

1発電機2バケット3ハブ

1. 発電機　水車の主軸の先につながり、回転を電気に変える
2. バケット　椀形の羽根。ノズルから出た高速の噴流を受けて回る
3. ハブ　バケットを円周に取り付けた円盤。中央の穴に主軸を通す

発電所の分類は、落差の得かたと流量の使い方の 2 つの軸で考えます。2 つは別々の分け方なので、ひとつの表に混ぜないことが大切です。

軸	方式	特徴
落差の得かた	水路式	河川の水を勾配の小さな水路で導いて落差を得る。ダムが要らず建設費は安いが、高い落差は得にくい
落差の得かた	ダム式	ダムで水位を高くして落差を得る
落差の得かた	ダム水路式	ダムと水路を組み合わせ、より大きな落差を得る
流量の使い方	流れ込み式	河川の流量のまま発電する。貯水はできない
流量の使い方	調整池式・貯水池式	水をため、調整池式は日〜数日、貯水池式は季節単位で流量を調整する
流量の使い方	揚水式	余剰電力で下池から上池へ水をくみ上げ、需要の多い時間帯に発電する

水路式でも調整池を持つ発電所があります。詳しい分類とダムの種類は 水力発電のしくみ にまとめてあります。

1上池2水圧管路3発電所4下池

1. 上池　高い所の池。需要が多いとき、ここから水を落として発電する
2. 水圧管路　上池と発電所を結ぶ。発電時は水が下り、くみ上げ時は上る
3. 発電所　ポンプ水車と発電電動機で、発電とくみ上げを切り替える
4. 下池　発電後の水をためる。余剰電力でここから上池へくみ上げる

よくある質問

係数 9.8 はなぜ掛けるのですか？

水の密度 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ と重力加速度 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ を掛けると $9800$、これを kW に直して $9.8$ になるからです。流量を $\mathrm{m^3/s}$、落差を $\mathrm{m}$ で入れ、答えを kW で受ける組み合わせで使います。

水車出力と発電機出力は何が違いますか？

水車出力は水車の軸から取り出せる出力、発電機出力は発電機から電気として取り出せる出力です。問題文の「出力」「発電機出力」「発電所出力」には、通常は発電機効率まで含めます。

区別	式	掛ける効率
水車出力	$9.8QH\eta_w$	水車効率のみ
発電機出力	$9.8QH\eta_w\eta_g$	水車効率 × 発電機効率

揚水発電の入力電力はどう求めますか？

発電時は、これまでと同じ $P = 9.8QH\eta$ で出力を求めます。くみ上げるときは向きが逆で、ポンプに必要な入力電力は $P = \dfrac{9.8QH}{\eta_p}$ です。ここで $H$ は揚程、$\eta_p$ はポンプと電動機を合わせた総合効率です。効率が分母に入るので、必要な電力は水が持つ分より大きくなります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

水力発電の出力の公式と、各記号の単位を言えますか？

$P = 9.8\,Q\,H\,\eta\ \mathrm{[kW]}$ です。$Q$ は使用水量 $\mathrm{[m^3/s]}$、$H$ は有効落差 $\mathrm{[m]}$、$\eta$ は総合効率です。

有効落差 $H$ は、総落差 $H_0$ からどう求めますか？

$H = H_0 - h$ のように、損失水頭 $h$ を引いて求めます。「有効落差」と書いてある問題では、すでに引いてあるので、もう引きません。

総合効率 $\eta$ は、何と何から作りますか？

水車効率と発電機効率の積、$\eta = \eta_w \times \eta_g$ です。たとえば $0.90 \times 0.95 = 0.855$ になります。

有効落差 $100\,\mathrm{[m]}$、使用水量 $20\,\mathrm{[m^3/s]}$、総合効率 $0.855$ の出力はいくらですか？

$9.8 \times 20 \times 100 \times 0.855 \approx 16758\,\mathrm{[kW]}$、約 $16.8\,\mathrm{[MW]}$ です。流量が2倍でも落差が2倍でも、出力は2倍になります。

設備利用率は何を何で割りますか。1年は何時間で計算しますか？

年間の発電電力量を、最大出力 $\times\ 8760\,\mathrm{h}$ で割ります。電力量は $W = P \times t$ です。

水車は、高落差・中落差・低落差で何を使い分けますか？

高落差はペルトン水車、中落差はフランシス水車、低落差はプロペラ水車やカプラン水車です。

まとめ

• 水力発電の出力は $P = 9.8QH\eta\ \mathrm{[kW]}$。$H$ は総落差ではなく有効落差
• 有効落差 $H = H_0 - h$、総合効率 $\eta = \eta_w \times \eta_g$
• 発電電力量は $W = P \times t$、設備利用率は $8760\ \mathrm{h}$ を基準に考える
• 水車は高落差がペルトン、中落差がフランシス、低落差がプロペラ・カプラン

求めるもの	式
出力	$P = 9.8QH\eta\ \mathrm{[kW]}$
有効落差	$H = H_0 - h$
総合効率	$\eta = \eta_w\eta_g$
発電電力量	$W = P \times t\ \mathrm{[kW \cdot h]}$

次は、1年を通して川の水がどれだけ使えるかを見る 流況曲線とは です。出力に時間を掛けた年間の発電電力量を、川の流量の変化から求めます。