ブリッジ回路の平衡条件｜R1R4＝R2R3 の導き方と合成抵抗・未知抵抗の測り方

テブナンの定理の例題では、検流計に電流が流れる不平衡のブリッジを解きました。では、検流計の電流がちょうど 0 になるのは、4つの抵抗がどんな関係のときでしょうか。これが、ブリッジ回路の平衡条件です。

平衡条件は、掛け算1本の式 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ で書けます。さらに平衡のときは、検流計の枝を取り除いて、直列と並列の合成抵抗だけで全体の抵抗が求まります。この記事では、ブリッジ回路の形の読み方、平衡条件の導き方、合成抵抗の例題、ホイートストンブリッジによる抵抗の測定、不平衡のときの解き方を順に確認します。

• ブリッジ回路とは
  • 4つの抵抗を輪にして、向かい合う点の間に電源と検流計をつなぐ
  • 形ではなく、どの点の間につながっているかで読む
• 平衡条件
  • 検流計の電流が 0 になる条件は $R_1 R_4 = R_2 R_3$
  • 分圧で c と d の電位が等しくなる、と考えて導く
• 平衡のときの合成抵抗
  • 検流計の枝を取り除いて、$(R_1 + R_3)$ と $(R_2 + R_4)$ の並列にする
• 測定への応用
  • ホイートストンブリッジで、未知の抵抗を測る
  • ひずみゲージと電子はかりも、ブリッジで電圧を取り出す
• 平衡しないとき
  • 検流計を負荷とみなして、テブナンの定理で解く

ブリッジ回路とは

ブリッジ回路は、4つの抵抗 $R_1$ から $R_4$ を輪の形につないで、向かい合う2組の点に、電源と検流計をつないだ回路です。検流計 G は、ごく小さな電流が流れているかどうかを調べる計器です。橋（ブリッジ）のように、輪の真ん中を渡す枝に G が入っていることから、この名前がつきました。

この記事では、点に名前をつけて読みます。上の点を a、下の点を b とし、a-b に電源をつなぎます。左の点を c、右の点を d とし、c-d に検流計 G をつなぎます。4つの抵抗は、$R_1$ が a-c、$R_2$ が a-d、$R_3$ が c-b、$R_4$ が d-b の間です。

ブリッジ回路は、直列にも並列にもまとめられない形をしています。G の枝があるために、電流が c と d のあいだを行き来できるからです。ただし、G に電流が流れないという条件がつくと、話が一気に簡単になります。

実験で使うホイートストンブリッジの装置は、木の箱に、抵抗の端子と検流計をまとめた形をしています。

1検流計2左の端子3右の端子4木の箱

1. 検流計　針が 0 を指すと平衡
2. 左の端子　抵抗をつなぐ
3. 右の端子　抵抗をつなぐ
4. 木の箱　器具をまとめた箱

ひし形と長方形：回転した図の読み方

試験では、同じブリッジ回路が、ひし形で出ることも、長方形（はしご形）で出ることもあります。形が違っても、読み方は同じです。

読み方の手順は2つだけです。まず、電源がつながる2点（a と b）と、検流計がつながる2点（c と d）を見つけます。次に、残った4つの抵抗が、どの2点の間にあるかを確かめます。上下を回転した図でも、電源と検流計を入れ替えた図でも、「どの点の間か」さえ追えば、同じ回路だと分かります。

ブリッジ回路の平衡条件の導き方

検流計 G に電流が流れない状態を、平衡（釣り合っている）といいます。G に電流が流れないのは、G の両端の c と d の電位が等しいときです。この条件を、分圧で式にします。

2つの分圧回路として見る

G の枝を取り除いて見ると、ブリッジ回路は、$R_1$ と $R_3$ の直列、$R_2$ と $R_4$ の直列という、2つの分圧回路が a-b に並んだ形です。

b の電位を $0\,\mathrm{[V]}$ として、点 c と点 d の電位を、分圧の式で求めます。

$$\begin{gathered} V_c = \frac{R_3}{R_1 + R_3}\,E \\ V_d = \frac{R_4}{R_2 + R_4}\,E \end{gathered}$$

平衡条件を式にする

平衡のとき、$V_c = V_d$ です。両辺の $E$ を消して、分母を払います。

$$\begin{aligned} \frac{R_3}{R_1 + R_3} &= \frac{R_4}{R_2 + R_4} \\ R_3 (R_2 + R_4) &= R_4 (R_1 + R_3) \\ R_2 R_3 + R_3 R_4 &= R_1 R_4 + R_3 R_4 \end{aligned}$$

両辺の $R_3 R_4$ が消えて、次の式が残ります。

$$R_1 R_4 = R_2 R_3$$

式の形は、比で書くこともできます。$R_1 / R_3 = R_2 / R_4$、つまり「左の枝の抵抗の比」と「右の枝の抵抗の比」が等しい、という意味です。

掛ける組の見分け方

どの抵抗どうしを掛けるのかは、図の上で見分けられます。共通の点を持たない2つの抵抗を、1組にします。

$R_1$（a-c）と $R_4$（d-b）は、共通の点がありません。$R_2$（a-d）と $R_3$（c-b）も同じです。この2組の積が等しいのが、平衡条件です。ひし形の図では、向かい合う辺の積と読めます。

解答と解説を見る

平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ を、$R_4$ について解きます。

$$\begin{aligned} R_4 &= \frac{R_2 R_3}{R_1} \\ &= \frac{24 \times 50}{15} = 80\,\Omega \end{aligned}$$

比で確かめます。$R_1 : R_3 = 15 : 50 = 3 : 10$、$R_2 : R_4 = 24 : 80 = 3 : 10$ で、一致します。

平衡したブリッジの合成抵抗

平衡のとき、G には電流が流れず、c と d の電位は等しくなります。電流が流れない枝は、あってもなくても回路の電流を変えません。そこで、G の枝を取り除いて計算できます。

取り除いた後は、$R_1$ と $R_3$ の直列（$R_1 + R_3$）と、$R_2$ と $R_4$ の直列（$R_2 + R_4$）が、a-b の間に並列につながります。合成抵抗は、並列の和分の積で求まります。

$$R_{ab} = \frac{(R_1 + R_3)(R_2 + R_4)}{(R_1 + R_3) + (R_2 + R_4)}$$

電位が等しい c と d は、導線でつないでも電流が変わりません。この場合は、$R_1$ と $R_2$ の並列、$R_3$ と $R_4$ の並列が直列になります。G を取り除いても、c-d を短絡しても、平衡していれば答えは同じです。解きやすいほうを選べば構いません。

解答と解説を見る

まず、平衡していることを確かめます。

$$\begin{gathered} R_1 R_4 = 6 \times 21 = 126 \\ R_2 R_3 = 9 \times 14 = 126 \end{gathered}$$

等しいので、G の枝を取り除きます。左の道は $R_1 + R_3 = 20\,\Omega$、右の道は $R_2 + R_4 = 30\,\Omega$ で、この2つが並列です。

$$\begin{aligned} R_{ab} &= \frac{20 \times 30}{20 + 30} \\ &= 12\,\Omega \end{aligned}$$

電源から流れ出す電流は、

$$I = \frac{E}{R_{ab}} = \frac{30}{12} = 2.5\,\mathrm{[A]}$$

です。左の道には $30 / 20 = 1.5\,\mathrm{[A]}$、右の道には $30 / 30 = 1\,\mathrm{[A]}$ が流れ、合計が $2.5\,\mathrm{[A]}$ になります。

検算として、c-d を短絡して求めます。$R_1$ と $R_2$ の並列は $6 \times 9 / 15 = 3.6\,\Omega$、$R_3$ と $R_4$ の並列は $14 \times 21 / 35 = 8.4\,\Omega$ なので、$3.6 + 8.4 = 12\,\Omega$ で一致します。

並列回路の合成抵抗と分流の計算は、並列回路で扱いました。

ホイートストンブリッジで未知の抵抗を測る

平衡条件は、未知の抵抗を測るのに使えます。ブリッジの1辺に未知の抵抗 $R_x$ を入れ、ほかの辺を、値の分かっている抵抗にします。G の指示が 0 になるように調整すれば、平衡条件から $R_x$ が求まります。この方法を、ホイートストンブリッジといいます。

抵抗の値は、テスター（デジタルマルチメータ）でも測れます。ブリッジが違うのは、基準の抵抗と比べて、G の指示を 0 に合わせる点です。G は 0 かどうかを見分けるだけでよく、電源電圧が少しずれても、検流計の目盛りが正確でなくても、結果に影響しません。この「0 に合わせて測る」方法を、零位法といいます。

なお、このブリッジの原理は、1833年にイギリスのクリスティが考え出し、1843年にホイートストンが広めたと伝えられています。名前はホイートストンの名が残りました。

スライドワイヤ形のブリッジ

試験で使われるのは、2つの抵抗の代わりに、一様な抵抗線を使う形です。抵抗線の上の接点 d を動かして、G の指示が 0 になる位置を探します。抵抗線は一様なので、抵抗は長さに比例します。

図の抵抗線は、a から d までの長さが $l_1$、d から b までの長さが $l_2$ です。a-c が $R_x$、c-b が標準の抵抗 $R$、a-d が $l_1$ の抵抗線、d-b が $l_2$ の抵抗線にあたります。平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ に当てはめます。

$$\begin{aligned} R_x \times l_2 &= l_1 \times R \\ R_x &= \frac{l_1}{l_2}\,R \end{aligned}$$

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抵抗線は一様なので、抵抗は長さに比例します。平衡条件は $R_x \times l_2 = l_1 \times R$ です。

$$\begin{aligned} R_x &= \frac{l_1}{l_2}\,R \\ &= \frac{40}{60} \times 45 = 30\,\Omega \end{aligned}$$

ひずみゲージと電子はかり

ブリッジ回路は、わずかな抵抗の変化を、電圧として取り出すのにも使われます。代表がひずみゲージです。ひずみゲージは、細い金属の線を折り返した形をしていて、引き伸ばされると抵抗が少し増え、縮むと少し減ります。

1折り返した金属線2リード線3金属の板

1. 折り返した金属線　伸び縮みで抵抗が変わる
2. リード線　ブリッジへつなぐ
3. 金属の板　ひずみを受ける母材

抵抗の変化は、全体の 0.1 〜 0.2% ほどと小さいので、そのままでは読み取りにくい量です。ブリッジの1辺にひずみゲージを入れると、平衡がわずかにくずれて、c-d の間に電圧が現れます。電子はかりは、荷重を受ける金属の部品（ロードセル）にひずみゲージを貼って、この電圧から重さを読み取っています。

1ロードセル2基板3配線4ロードセル

1. ロードセル　ひずみゲージが入る
2. 基板　電圧を読み取る
3. 配線　ロードセルと基板をつなぐ
4. ロードセル　四隅に1個ずつ

出力の大きさを、数値で確かめます。4つの辺がすべて $R = 350\,\Omega$ で、電源が $E = 5\,\mathrm{[V]}$ のブリッジを考えます。はじめは平衡していて、c-d の電圧は 0 です。ここで、1つの辺 $R_4$ だけが $\Delta R = 0.7\,\Omega$ 増えたとします。

c-d 間の電圧の大きさは、$\Delta R$ が $R$ に比べて小さいとき、次の式で近似できます。

$$\begin{aligned} |V_c - V_d| &\fallingdotseq \frac{E\,\Delta R}{4R} \\ &= \frac{5 \times 0.7}{4 \times 350} \\ &= 0.0025\,\mathrm{[V]} = 2.5\,\mathrm{[mV]} \end{aligned}$$

抵抗が $350\,\Omega$ から $350.7\,\Omega$ に、わずか 0.2% 増えただけでも、$2.5\,\mathrm{[mV]}$ の電圧が現れます。この小さな電圧を増幅して読めば、重さやひずみが分かります。

平衡しないブリッジはテブナンの定理で解く

4つの抵抗が $R_1 R_4 = R_2 R_3$ を満たさないとき、G に電流が流れます。この不平衡のブリッジは、直列と並列にまとめられないので、そのままでは合成抵抗が出せません。検流計の電流だけを知りたいなら、検流計を負荷とみなして、テブナンの定理で解くのが近道です。

手順は、検流計を外して c-d 間の開放電圧 $V_0$ を求め、電源を短絡して c-d から見た $R_0$ を求め、検流計をつなぎ直して $I = V_0 / (R_0 + R_g)$ を計算する、の4つです。

解答と解説を見る

平衡の確認 $R_1 R_4 = 100$、$R_2 R_3 = 450$ で等しくないので、不平衡です。

手順1・2 検流計を外し、b の電位を $0\,\mathrm{[V]}$ として、c と d の電位を分圧で求めます。

$$\begin{gathered} V_c = 12 \times \frac{30}{10 + 30} = 9\,\mathrm{[V]} \\ V_d = 12 \times \frac{10}{15 + 10} = 4.8\,\mathrm{[V]} \\ V_0 = V_c - V_d = 4.2\,\mathrm{[V]} \end{gathered}$$

手順3 電源を短絡すると、a と b が同じ点になります。c-d から見て、$R_1$ と $R_3$ の並列、$R_2$ と $R_4$ の並列が、直列につながります。

$$\begin{aligned} R_0 &= \frac{10 \times 30}{10 + 30} + \frac{15 \times 10}{15 + 10} \\ &= 7.5 + 6 = 13.5\,\Omega \end{aligned}$$

手順4 検流計の抵抗 $R_g = 6.5\,\Omega$ をつなぎます。

$$I = \frac{V_0}{R_0 + R_g} = \frac{4.2}{13.5 + 6.5} = 0.21\,\mathrm{[A]}$$

c のほうが電位が高いので、電流は c から d の向きに流れます。

途中の電圧と、等価電源の形を、図で確かめます。

検算として、検流計をつないだまま、b を基準にした c と d の電位を求めると、$V_c = 7.425\,\mathrm{[V]}$、$V_d = 6.06\,\mathrm{[V]}$ になります。検流計の電流は $(7.425 - 6.06)/6.5 = 0.21\,\mathrm{[A]}$ で、同じ答えです。

不平衡ブリッジには、もう1つの解き方があります。検流計を含む三角形（a、c、d を結ぶ3つの辺）を、スター（Y）形に置き換えて、直列と並列にまとめる方法です。これは、次の記事の「Δ-Y 変換」で扱います。

よくある質問

ブリッジ回路の平衡条件で、どの抵抗どうしを掛ける？

共通の点を持たない2つの抵抗を1組にして、2組の積を等しいと置きます。この記事の図では、$R_1$（a-c）と $R_4$（d-b）の積が、$R_2$（a-d）と $R_3$（c-b）の積に等しくなります。ひし形の図では、向かい合う辺の積です。

検流計の抵抗や電源の電圧が変わると、平衡条件も変わる？

変わりません。平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ には、$E$ も検流計の抵抗 $R_g$ も出てきません。平衡のとき検流計には電流が流れず、c と d の電位が等しいという条件だけで、式が決まるからです。ただし、不平衡のときの検流計の電流は、$E$ や $R_g$ で変わります。

電源と検流計を入れ替えると、平衡条件は変わる？

変わりません。a-b に検流計、c-d に電源をつなぎ直しても、平衡条件は同じ $R_1 R_4 = R_2 R_3$ です。釣り合うかどうかは、電源と検流計の位置に関係しません。

平衡しないブリッジの合成抵抗は、どう求める？

そのままでは、直列と並列にまとめられません。検流計の電流だけなら、テブナンの定理が向いています。電源から見た全体の合成抵抗が必要なときは、デルタ・スター変換（Δ-Y 変換）で、直列と並列にまとめられる形に置き換えます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

ブリッジ回路で、検流計に電流が流れないとき、何といいますか。

平衡している、といいます。c と d の電位が等しい状態です。

ブリッジ回路の平衡条件を式で書くと、どうなりますか。

$R_1 R_4 = R_2 R_3$ です。共通の点を持たない組の積が等しくなります。

平衡条件は、何と何を使って導きましたか。

2つの分圧の式で、$V_c = V_d$ と置いて導きました。

平衡のとき、全体の合成抵抗はどう求めますか。

検流計の枝を取り除き、$(R_1 + R_3)$ と $(R_2 + R_4)$ の並列として求めます。

ホイートストンブリッジで、未知の抵抗はどう求めますか。

検流計の指示が 0 になるように調整して、平衡条件から $R_x$ を計算します。

平衡しないブリッジで、検流計の電流を求める方法は？

検流計を負荷とみなして、テブナンの定理で解きます。

まとめ

• ブリッジ回路は、4つの抵抗を輪にして、電源と検流計を向かい合う点の間につないだ回路。形ではなく、どの点の間かで読む
• 平衡条件は $R_1 R_4 = R_2 R_3$。2つの分圧で $V_c = V_d$ と置いて導ける。電源の電圧や検流計の抵抗には関係しない
• 平衡のときは、検流計の枝を取り除いて、$(R_1 + R_3)$ と $(R_2 + R_4)$ の並列で合成抵抗が出せる
• 平衡条件は、ホイートストンブリッジの未知の抵抗の測定や、ひずみゲージの電圧の取り出しに使われる。平衡しないときは、テブナンの定理で解く

不平衡のブリッジを解く手順はテブナンの定理を、直列と並列の合成抵抗や分流の計算で迷ったら並列回路を、見直しましょう。