Δ-Y変換｜デルタスター変換の公式と覚え方・不平衡ブリッジの合成抵抗の求め方

ブリッジ回路は、平衡していれば真ん中の枝を取り除いて、直列と並列だけで合成抵抗が求まりました。ところが、平衡していないと、直列にも並列にもまとめられません。この行き詰まりを抜ける道具が、Δ-Y変換です。

Δ-Y変換は、3つの抵抗を三角形（Δ）につないだ部分を、1点から3本伸ばした星形（Y）に置き換える（またはその逆の）計算です。置き換えたあとの回路は、端子の外から見て同じ働きをします。この記事では、2つの形の読み方、Δ→Y と Y→Δ の公式の覚え方、3辺が等しいときの簡単な関係、不平衡ブリッジの合成抵抗の求め方、対称性の使い方を順に確認します。

• Δ-Y変換とは
  • 3端子の部分を、Δ 形と Y 形のどちらの形でも表せる
  • 端子の外から見た抵抗が同じになるように置き換える
• Δ→Y の公式
  • 分母は3辺の和、分子は端子につながる両隣の辺の積
• Y→Δ の公式
  • 分子は枝の積の和、分母は向かい側の枝
• 3辺（3本）が等しいとき
  • Y の抵抗は Δ の抵抗の 3分の1
• 使いどころ
  • 不平衡のブリッジを、直列と並列にまとめられる形に直す
  • 左右対称なら、置き換えなくても等電位の点が見つかる

Δ-Y変換とは

送電線は、鉄塔から鉄塔へ、3本1組の電線で電気を運んでいます。この3本の電線のように、3つの端子を持つ回路の部分は、電気の分野によく出てきます。

1鉄塔2電線3鉄塔

1. 鉄塔　送電線を支える
2. 電線　3本1組で張られる
3. 鉄塔　電線が続く先

抵抗でできた3端子の部分には、2つの典型的な形があります。3つの抵抗を三角形につないだ Δ（デルタ）形と、1つの点から3つの抵抗を伸ばした Y（スター）形です。どちらも、外の回路につなぐ端子は3つです。

この記事では、端子に a、b、c と名前をつけて、次の約束で読みます。

• Δ 形の辺の抵抗は、両端の端子の名前で $R_{ab}$、$R_{bc}$、$R_{ca}$ と書く
• Y 形の枝の抵抗は、つながる端子の名前で $R_a$、$R_b$、$R_c$ と書く

2つの形は、端子の外から見て同じ働きをするように、たがいに置き換えられます。「同じ働き」とは、どの2つの端子の間を測っても、抵抗が同じになるということです。これがΔ-Y変換（デルタスター変換）です。

ΔとYの形：見分け方

三角形のトラスは、辺の先にだけ端子（頂点）があるので、Δ 形のイメージです。

1斜めの材2接合部3斜めの材

1. 斜めの材　辺にあたる
2. 接合部　頂点にあたる
3. 斜めの材　辺にあたる

三相モーターの端子箱では、3つの端子を銅の板で渡す向きを変えて、Y 形と Δ 形を切り替える使い方があります。同じ3本の巻き線でも、つなぎ方の違いで形が変わるわけです。

1リード線2銅の板3端子

1. リード線　外の回路へ
2. 銅の板　端子を渡す
3. 端子　3つが並ぶ

試験の回路図では、形がΔや Y に見えにくいことがあります。「3つの端子の間に抵抗が3つ、輪になってつながっている」ならΔ、「3つの抵抗が1点に集まっている」なら Y と読みます。

Δ→Y変換の公式と覚え方

Δ 形を Y 形に置き換える公式は、次のとおりです。$S$ は Δ の3辺の和です。

覚え方は、分母は3辺の和、分子は両隣の積です。たとえば $R_a$ は、端子 a につながる2辺 $R_{ab}$ と $R_{ca}$ の積を、3辺の和 $S$ で割ります。a のとなりにない辺 $R_{bc}$ は、$R_a$ には出てきません。

公式の導き方

端子の外から見て同じ働きをするには、2端子ずつ測った抵抗がすべて等しければ十分です。c を開放して a-b 間を測ると、Δ 形は $R_{ab}$ と $(R_{bc} + R_{ca})$ の並列、Y 形は $R_a + R_b$ になります。

測る端子	Δ 形の抵抗	Y 形の抵抗
a-b 間	$\dfrac{R_{ab}(R_{bc} + R_{ca})}{S}$	$R_a + R_b$
b-c 間	$\dfrac{R_{bc}(R_{ca} + R_{ab})}{S}$	$R_b + R_c$
c-a 間	$\dfrac{R_{ca}(R_{ab} + R_{bc})}{S}$	$R_c + R_a$

3つの式を左右に等号で結んで、3つとも足して2で割ります。

$$\begin{gathered} R_a + R_b + R_c \\ = \frac{R_{ab}R_{bc} + R_{bc}R_{ca} + R_{ca}R_{ab}}{S} \end{gathered}$$

ここから、b-c 間の式 $R_b + R_c$ を引くと、$R_a$ だけが残ります。

$$\begin{aligned} R_a &= \frac{R_{ab}R_{bc} + R_{bc}R_{ca} + R_{ca}R_{ab}}{S} \\ &\quad - \frac{R_{bc}R_{ca} + R_{ab}R_{bc}}{S} \\ &= \frac{R_{ab}R_{ca}}{S} \end{aligned}$$

$R_b$、$R_c$ も同じ手順で求まります。試験では導き方を書く必要はなく、公式を覚えて使えれば足ります。

解答と解説を見る

3辺の和は $S = 30 + 60 + 90 = 180\,\Omega$ です。

$$\begin{aligned} R_a &= \frac{30 \times 90}{180} = 15\,\Omega \\ R_b &= \frac{30 \times 60}{180} = 10\,\Omega \\ R_c &= \frac{60 \times 90}{180} = 30\,\Omega \end{aligned}$$

a-b 間で確かめます。Δ 形は $30 \,/\!/\, 150 = 25\,\Omega$、Y 形は $15 + 10 = 25\,\Omega$ で、一致します。

Y→Δ変換の公式

逆に、Y 形を Δ 形に置き換える公式は、次のとおりです。$T$ は Y の「枝の積の和」です。

覚え方は、分子は積の和、分母は向かい側の枝です。辺 $R_{ab}$ の向かい側にある枝は $R_c$ なので、$R_{ab} = T / R_c$ になります。

この公式は、Δ→Y の公式から導けます。$R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a$ に Δ→Y の式を入れて整理すると $T = \dfrac{R_{ab}R_{bc}R_{ca}}{S}$ となり、$R_c = \dfrac{R_{bc}R_{ca}}{S}$ で割ると $R_{ab}$ だけが残ります。

解答と解説を見る

枝の積の和は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} T &= 15 \times 10 + 10 \times 30 + 30 \times 15 \\ &= 150 + 300 + 450 = 900 \end{aligned}$$

各辺は、$T$ を向かい側の枝で割ります。

$$\begin{aligned} R_{ab} &= \frac{900}{30} = 30\,\Omega \\ R_{bc} &= \frac{900}{15} = 60\,\Omega \\ R_{ca} &= \frac{900}{10} = 90\,\Omega \end{aligned}$$

例題1の Y 形を、もとの Δ 形に戻せました。2つの変換は、たがいに逆の操作です。

3辺が等しいときは3倍・3分の1

Δ の3辺がすべて $R_\Delta$ のとき、Δ→Y の公式の分母は $S = 3R_\Delta$、分子は $R_\Delta \times R_\Delta$ になります。

$$R_Y = \frac{R_\Delta \times R_\Delta}{3R_\Delta} = \frac{R_\Delta}{3}$$

3本とも等しい Y を Δ にするときは、逆に $R_\Delta = 3R_Y$ です。

3辺が等しい三相回路の問題では、この関係が最もよく使われます。なお、三相交流の負荷でも、Δ 形と Y 形はこの形で出てきます（三相交流回路の計算）。

解答と解説を見る

Y 形の1本は、Δ の 3分の1です。

$$R_Y = \frac{30}{3} = 10\,\Omega$$

a-b 間は、Δ 形では $30\,\Omega$ と $(30 + 30)\,\Omega$ の並列です。

$$\frac{30 \times 60}{30 + 60} = 20\,\Omega$$

Y 形では $10 + 10 = 20\,\Omega$ で、一致します。

Δ-Y変換で不平衡ブリッジの合成抵抗を求める

不平衡のブリッジは、そのままでは直列と並列にまとめられません。ブリッジの中の三角形に注目して Y 形に置き換えると、直列と並列だけの回路に変わります。

図の色をつけた部分は、$R_1$、$R_2$、$R_5$ が作る三角形（a-c-d）です。この三角形を Y 形に置き換えます。置き換える三角形の頂点（a、c、d）は、そのまま端子として残ります。

解答と解説を見る

まず、$R_1 R_4 = 700$、$R_2 R_3 = 1200$ で等しくないので、不平衡です。三角形 a-c-d を Y 形に置き換えます。辺は $R_1$（a-c）、$R_2$（a-d）、$R_5$（c-d）で、和は $S = 100\,\Omega$ です。

$$\begin{aligned} R_a &= \frac{20 \times 30}{100} = 6\,\Omega \\ R_c &= \frac{20 \times 50}{100} = 10\,\Omega \\ R_d &= \frac{30 \times 50}{100} = 15\,\Omega \end{aligned}$$

置き換えた回路（下の図11）で、中心点 O から b までは、$(R_c + R_3) = 50\,\Omega$ と $(R_d + R_4) = 50\,\Omega$ の並列です。

$$\begin{aligned} R_{ab} &= 6 + \frac{50 \times 50}{50 + 50} \\ &= 6 + 25 = 31\,\Omega \end{aligned}$$

電源から流れ出す電流は、次のとおりです。

$$I = \frac{62}{31} = 2\,\mathrm{[A]}$$

置き換えた回路を、図11に示します。

この回路から、もとの回路の量も求まります。O から b への2本の道は同じ $50\,\Omega$ なので、$1\,\mathrm{A}$ ずつ流れます。O の電位は $62 - 6 \times 2 = 50\,\mathrm{[V]}$ で、c の電位は $50 - 10 \times 1 = 40\,\mathrm{[V]}$、d の電位は $50 - 15 \times 1 = 35\,\mathrm{[V]}$ です。したがって $R_5$ には、c から d へ $(40 - 35) \div 50 = 0.1\,\mathrm{A}$ が流れます。

この問題は、キルヒホッフの法則で連立方程式を立てても解けます（キルヒホッフの法則）。ただ、合成抵抗だけが知りたいときは、Δ-Y変換のほうが式が少なく済みます。$R_5$ の電流など、枝の1本だけの電流がほしいときは、テブナンの定理が向いています。平衡しているブリッジなら、$R_5$ を取り除くだけで済み、変換は要りません。

対称性で等電位の点を見つける

Δ-Y変換を使わずに済む場合もあります。回路を左右に折り返して、ぴったり重なるなら、折り返しで入れ替わる2点は、同じ電位になります。

図のブリッジは、$R_1 = R_2$、$R_3 = R_4$ なので、a-b を軸にして左右が対称です。c と d は同じ電位なので、$R_5$ の抵抗がいくつであっても、$R_5$ には電流が流れません。$R_5$ を取り除くと、$(12 + 12)\,\Omega$ の道が2本並列になるので、合成抵抗は $12\,\Omega$ です。

これは、平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ の特別な場合です。$R_1 = R_2$ と $R_3 = R_4$ なら、両辺が等しくなります。Δ-Y変換で確かめることもできます。三角形 a-c-d の3辺が $12\,\Omega$ なので、Y 形の1本は $4\,\Omega$ です。合成抵抗は $4 + (4 + 12) \,/\!/\, (4 + 12) = 4 + 8 = 12\,\Omega$ で、一致します。

配電盤の母線のように、3本の導体が同じ形で並んでいる回路は、対称性が使える典型です。3本が同じ形なら、どの2本の間を測っても同じ値になります。

1銅の板2銅の板3銅の板

1. 銅の板　三相の導体
2. 銅の板　同じ形で並ぶ
3. 銅の板　どれも同じ寸法

よくある質問

Δ-Y変換で、Δ から Y にすると、抵抗は大きくなる？ 小さくなる？

小さくなります。3辺が等しいときは、Y の1本が Δ の1辺の 3分の1です。同じ端子間の抵抗は変わりませんが、Δ では2つの経路が並列になるぶん、1本あたりの値が大きくなります。

Y-Δ変換のとき、どの枝を分母にする？

求める辺の向かい側にある枝です。$R_{ab}$ なら、a-b の辺のとなりにない枝 $R_c$ が分母です。分子は、どの辺でも同じ $T = R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a$ です。

デルタスター変換と、Δ-Y変換は別の変換？

同じです。Δ をデルタ、Y をスターと読んで、デルタスター変換とも呼びます。Y→Δ の向きは、Y-Δ変換やスターデルタ変換と呼ばれます。

三相交流の Δ 結線・Y 結線と同じもの？

形は同じで、考え方もつながっています。ただし、三相交流の結線は、電源や負荷のつなぎ方（線間電圧と相電圧の関係）を扱う話です。この記事のΔ-Y変換は、抵抗の合成を楽にするための置き換えの計算で、同じ値の抵抗なら 3 倍・3分の1の関係が使えます。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

Δ-Y変換で、置き換える2つの形が「同じ」とは、何が同じことですか。

どの2つの端子の間を測っても、抵抗が同じになることです。

Δ→Y の公式の覚え方は、どうですか。

分母は3辺の和 $S$、分子は端子につながる両隣の辺の積です。

Y→Δ の公式の覚え方は、どうですか。

分子は枝の積の和 $T$、分母は求める辺の向かい側の枝です。

3辺が等しい Δ を Y に直すと、1本の抵抗はどうなりますか。

3分の1になります。逆の向きでは、3 倍です。

不平衡のブリッジの合成抵抗は、どう求めますか。

三角形の部分を Y 形に置き換えて、直列と並列にまとめます。

左右対称のブリッジで、c-d 間の抵抗に流れる電流は？

0 です。c と d が同じ電位だからです。

まとめ

• Δ-Y変換は、3端子の部分を Δ 形と Y 形のあいだで置き換える計算。どの2端子間を測っても、抵抗が同じになる
• Δ→Y は「分母は3辺の和、分子は両隣の積」。Y→Δ は「分子は積の和、分母は向かい側の枝」
• 3辺が等しいとき、Y の1本は Δ の 3分の1（逆は3倍）
• 不平衡のブリッジは、三角形の部分を Y 形に置き換えると、直列と並列の合成抵抗で解ける。左右対称なら、等電位の点を使って変換せずに解ける

平衡するブリッジの条件と測定への応用はブリッジ回路を、直列と並列の合成抵抗や分流の計算で迷ったら並列回路を、見直しましょう。Y と Δ のつなぎ方は、機械科目の変圧器の三相結線でも出てきます。