ヒートポンプのしくみと COP の計算｜暖房と冷房の関係・理想 COP を図解

冬のエアコンは、使った電力の何倍もの熱を部屋に送ります。電気を熱に変えているのではなく、外の空気の熱を運んでいるからです。この熱を運ぶしくみがヒートポンプで、その働きの良さを表す数が成績係数（COP）です。電熱の計算では COP の考え方を一度見ました。この記事では、冷凍サイクルの中で冷媒がどう変わるか、暖房と冷房の COP がどう結びつくか、理想の COP をどう求めるかを順にたどり、4つの例題で計算を確かめます。

• 熱をくみ上げる
  • 電力 $W$ を使って、低温側の熱を高温側へ運ぶ
  • 暖房も冷房も、同じ機械で行う
• 冷凍サイクルの4機器
  • 圧縮機 → 凝縮器 → 膨張弁 → 蒸発器の順に、冷媒が回る
• 成績係数 COP
  • 暖房 $\mathrm{COP}_h = Q_H/W$、冷房 $\mathrm{COP}_c = Q_L/W$
  • $Q_H = Q_L + W$ から $\mathrm{COP}_h = \mathrm{COP}_c + 1$
• 理想の COP（逆カルノーサイクル）
  • $\mathrm{COP}_h = T_H/(T_H - T_L)$。温度は絶対温度 [K]
  • 温度差が小さいほど大きい
• 使い方
  • ヒートポンプ給湯機、蓄熱、空調

ヒートポンプとは？熱をくみ上げるしくみ

ヒートポンプは、低温の側にある熱を、電力を使って高温の側へ運ぶ装置です。水は自然には低い所から高い所へ流れず、ポンプで動力を加えてくみ上げます。熱も自然には高温から低温へ流れるだけなので、逆向きに運ぶには電力が要ります（図1）。

熱を運ぶときに電力 $W$ も使われるので、高温側へ出る熱は、運んできた熱に電力の分が足されたものになります。暖房なら、外の空気から熱を運んで室内へ出すので、使った電力より多くの熱が得られます。電気ヒーターのように電力をそのまま熱にする方法とは、この点が違います。

家庭用エアコンの室外機は、外気の熱を集める役をしています（図2）。熱を吸うために、熱交換器の中の冷媒は外気より冷たくなります。空気中の水分が冷えた面で凍ると、冬には霜がつくことがあります。

1霜2熱交換器3ファン4冷媒配管

1. 霜　冷えた面に付く
2. 熱交換器　外気の熱を集める
3. ファン　空気を送る
4. 冷媒配管　室内機へ向かう

冷凍サイクルで熱を運ぶ四つの機器

ヒートポンプの中では、熱を運ぶ流体である冷媒が、4つの機器を順に通って循環します（図3）。冷媒は、気体と液体を行き来しながら、蒸発するとき熱を吸い、凝縮するとき熱を出す性質を使って、熱を運びます。

• 圧縮機：低温低圧の気体を圧縮して、高温高圧の気体にします。ここで電力 $W$ を使います。
• 凝縮器：高温高圧の気体が、まわりへ熱 $Q_H$ を出して凝縮し、高圧の液体になります。暖房では、これが室内側です。
• 膨張弁：高圧の液体の圧力を下げます。圧力が下がると冷媒の温度も下がり、低温低圧の液体と気体が混じった状態になります。
• 蒸発器：低温低圧の冷媒が、まわりから熱 $Q_L$ を吸って蒸発し、気体になります。暖房では、これが室外側です。

冷媒の温度は、蒸発器では外気より低く、凝縮器では室温より高くなります。熱は高温から低温へしか流れないので、そうしないと熱が移らないからです。暖房のときのサイクルは電熱の計算でも見ました。ここでは冷媒の状態を追ってください。

冷房にするときは、四方弁で冷媒の流れる向きを切り替えます。すると室内側が蒸発器、室外側が凝縮器になり、室内の熱を吸って外へ出します。機械は同じで、熱を運ぶ向きだけが逆になります。

室外機と室内機をつなぐ冷媒の配管は、中を流れる冷媒の温度が高い管と低い管があるので、熱が出入りしないように断熱材で包みます（図4）。

1銅管2断熱材3壁の貫通部

1. 銅管　冷媒が通る
2. 断熱材　熱の出入りを防ぐ
3. 壁の貫通部　配管が壁を通る

成績係数 COP と暖房・冷房の関係

ヒートポンプの働きの良さは、成績係数（COP、Coefficient Of Performance）で表します。使った電力に対して、目的の熱がどれだけ得られたかの割合です。電熱の計算では、室内へ出す熱を $Q_1$、外気から吸う熱を $Q_2$ と書きました。この記事では、高温側へ出す熱を $Q_H$、低温側から吸う熱を $Q_L$ と書きます（$Q_1 = Q_H$、$Q_2 = Q_L$ にあたります）。

熱の収支を図5に示します。エネルギー保存則から、高温側へ出る熱は、低温側から吸った熱と電力の和です。

$$Q_H = Q_L + W$$

暖房の目的は高温側へ出す熱 $Q_H$、冷房の目的は低温側から吸う熱 $Q_L$ です。成績係数は、目的の熱を電力 $W$ で割って求めます（添字の h は暖房、c は冷房です）。

$$\begin{aligned} \mathrm{COP}_h &= \frac{Q_H}{W} \\ \mathrm{COP}_c &= \frac{Q_L}{W} \end{aligned}$$

$Q_H = Q_L + W$ の両辺を $W$ で割ると、2つの COP の関係が出ます。

$$\begin{aligned} \frac{Q_H}{W} &= \frac{Q_L}{W} + 1 \\ \mathrm{COP}_h &= \mathrm{COP}_c + 1 \end{aligned}$$

同じ運転状態（同じ $Q_L$ と同じ $W$）なら、暖房の COP は冷房の COP より $1$ だけ大きくなります。暖房では、電力の分も熱として室内に出るためです。COP が $1$ を超えても、外から運んだ熱 $Q_L$ が加わっているので、エネルギー保存則には反しません。

解答と解説を見る

(1) 冷房の目的は低温側から熱を吸うことなので、$Q_L$ を $W$ で割ります。

$$\begin{aligned} \mathrm{COP}_c &= \frac{Q_L}{W} \\ &= \frac{8.0}{2.0} = 4.0 \end{aligned}$$

(2) 熱の収支から、高温側へ出す熱は次のとおりです。

$$\begin{aligned} Q_H &= Q_L + W \\ &= 8.0 + 2.0 \\ &= 10\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

暖房の目的は $Q_H$ なので、次のようになります。

$$\begin{aligned} \mathrm{COP}_h &= \frac{Q_H}{W} \\ &= \frac{10}{2.0} = 5.0 \end{aligned}$$

これは $\mathrm{COP}_c + 1 = 5.0$ と一致します。

答え：(1) $4.0$、(2) $Q_H = 10\ \mathrm{kW}$、$\mathrm{COP}_h = 5.0$

理想の COP は温度だけで決まる

熱機関の理想がカルノーサイクルであるように、ヒートポンプの理想は、カルノーサイクルを逆向きに回す逆カルノーサイクルです。損失がまったくない理想の場合、COP は高温側と低温側の絶対温度 $T_H$、$T_L$ だけで決まります。

可逆なサイクルでは $Q_H/T_H = Q_L/T_L$ が成り立ちます。ここから $Q_L = Q_H \cdot T_L/T_H$ と書けるので、電力 $W$ は次のようになります。

$$\begin{aligned} W &= Q_H - Q_L \\ &= Q_H\left(1 - \frac{T_L}{T_H}\right) \\ &= Q_H \cdot \frac{T_H - T_L}{T_H} \end{aligned}$$

これを $\mathrm{COP}_h = Q_H/W$ と $\mathrm{COP}_c = Q_L/W$ に入れると、$Q_H$ が消えて、温度だけの式になります。

$$\begin{aligned} \mathrm{COP}_h &= \frac{T_H}{T_H - T_L} \\ \mathrm{COP}_c &= \frac{T_L}{T_H - T_L} \end{aligned}$$

2つの式の差は $\dfrac{T_H}{T_H - T_L} - \dfrac{T_L}{T_H - T_L} = 1$ で、理想の場合も $\mathrm{COP}_h = \mathrm{COP}_c + 1$ が成り立ちます。

温度は必ず絶対温度 $T\ \mathrm{[K]}$ に直して代入します。セルシウス温度 $t\ [{}^{\circ}\mathrm{C}]$ からは、$T = t + 273$ です。分母の $T_H - T_L$ は高温側と低温側の温度差で、小さいほど COP は大きくなります（図6）。

図6は、$T_H = 300\ \mathrm{K}$ に固定して温度差を変えた計算です。温度差が $15\ \mathrm{K}$ なら暖房の COP は $20$、冷房は $19$ で、$30\ \mathrm{K}$ なら $10$ と $9$ に下がります。どの温度差でも、暖房は冷房より $1$ だけ大きくなります。

実際のヒートポンプの COP は、圧縮機などの損失があるため、理想の値より小さくなります。理想の COP は、実際の機器が超えられない上限を表します。

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(1) 暖房では、室内が高温側、外気が低温側です。絶対温度に直します。

$$\begin{aligned} T_H &= 20 + 273 = 293\ \mathrm{[K]} \\ T_L &= 2 + 273 = 275\ \mathrm{[K]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} \mathrm{COP}_h &= \frac{T_H}{T_H - T_L} \\ &= \frac{293}{293 - 275} \\ &= \frac{293}{18} \fallingdotseq 16.3 \end{aligned}$$

(2) 冷房では、室内が低温側、外気が高温側になり、$T_H$ と $T_L$ の役が入れ替わります。

$$\begin{aligned} T_L &= 27 + 273 = 300\ \mathrm{[K]} \\ T_H &= 35 + 273 = 308\ \mathrm{[K]} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} \mathrm{COP}_c &= \frac{T_L}{T_H - T_L} \\ &= \frac{300}{308 - 300} \\ &= \frac{300}{8} = 37.5 \end{aligned}$$

答え：(1) 約 $16.3$、(2) $37.5$

暖房能力と消費電力量の計算

暖房能力は、高温側へ出す熱の大きさ $Q_H\ \mathrm{[kW]}$ で表します。COP が分かれば、消費電力と、外気から吸う熱が求められます。

$$\begin{aligned} W &= \frac{Q_H}{\mathrm{COP}_h} \\ Q_L &= Q_H - W \end{aligned}$$

熱量 $\mathrm{[kJ]}$ と電力量 $\mathrm{[kWh]}$ をつなぐときは、$1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$ で換算します。電気ヒーターは電力がそのまま熱になるので $\mathrm{COP} = 1$ にあたり、同じ熱を出すのに、ヒートポンプより多くの電力量が必要です。

比べる点	電気ヒーター	ヒートポンプ
熱の出どころ	電力を熱に変える	外の熱を運ぶ
COP	1	1 より大きい
同じ熱の電力量	大きい	小さい

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(1) 消費電力は $W = Q_H/\mathrm{COP}_h$ から求めます。

$$\begin{aligned} W &= \frac{9.0}{4.5} \\ &= 2.0\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

外気から吸う熱は、熱の収支から次のとおりです。

$$\begin{aligned} Q_L &= Q_H - W \\ &= 9.0 - 2.0 \\ &= 7.0\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

(2) 消費電力量は、消費電力に時間を掛けます。

$$2.0 \times 10 = 20\ \mathrm{[kWh]}$$

同じ熱を電気ヒーター（$\mathrm{COP} = 1$）で出すと、$9.0 \times 10 = 90\ \mathrm{kWh}$ が必要です。

答え：(1) $W = 2.0\ \mathrm{kW}$、$Q_L = 7.0\ \mathrm{kW}$、(2) $20\ \mathrm{kWh}$

ヒートポンプ給湯機のしくみ

ヒートポンプ給湯機は、同じしくみで空気の熱を使い、水を温めます。ヒートポンプのユニットが空気の熱を冷媒に集め、圧縮して高温にし、タンクの水を温めて湯にします（図7）。電気ヒーターで直接沸かす方式より、少ない電力量で同じ湯を沸かせます。

1タンク2配管3小型ユニット

1. タンク　湯をためる
2. 配管　タンクとユニットをつなぐ
3. 小型ユニット　空気の熱を集める

水を温めるのに必要な熱量は、電熱の計算で学んだ $Q = mc\Delta T$ で求めます（$m$ は水の質量、$c$ は比熱、$\Delta T$ は温度の上がり幅）。そのうえで COP を使うと、消費電力量が求められます。

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水を温めるのに必要な熱量を、$Q = mc\Delta T$ で求めます。

$$\begin{aligned} Q &= mc\Delta T \\ &= 300 \times 4.2 \times (55 - 15) \\ &= 50400\ \mathrm{[kJ]} \end{aligned}$$

$1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$ なので、$\mathrm{kWh}$ に直します。

$$\frac{50400}{3600} = 14\ \mathrm{[kWh]}$$

ヒートポンプの消費電力量は、この熱量を COP で割ります。

$$\begin{aligned} W &= \frac{14}{3.0} \\ &\fallingdotseq 4.67\ \mathrm{[kWh]} \end{aligned}$$

電気ヒーターは $\mathrm{COP} = 1$ にあたるので、必要な電力量は熱量と同じ $14\ \mathrm{kWh}$ です。

答え：ヒートポンプ約 $4.67\ \mathrm{kWh}$、電気ヒーター $14\ \mathrm{kWh}$

蓄熱とヒートポンプ

ヒートポンプは、電力の使用が少ない夜間に動かして、熱をためておく使い方もあります。夜間の電力で氷や温水をつくって蓄熱槽にためておき、昼間の冷暖房や給湯に使います。昼間の電力の使用が減るので、1日の電力の山と谷の差が小さくなります。これを負荷平準化といいます。電力の余る時間帯に動かして蓄える点は、揚水発電と同じ考え方です。

大規模な設備では、熱を出し入れするファンつきの機器が、建物の外壁や屋上に並びます（図8）。

ランキンサイクルと向きが逆のサイクル

ランキンサイクルは、ボイラで高温の熱を受け取り、タービンで仕事を取り出し、復水器で低温側へ熱を捨てます。ヒートポンプは、これと向きが逆で、仕事（電力）を加えて、低温側から高温側へ熱を運びます。

比べる点	ヒートポンプ	ランキン
目的	熱を運ぶ	仕事を得る
熱の向き	低温から高温	高温から低温
電力	使う	発電する
流体	冷媒	水と蒸気

ランキンサイクルはランキンサイクルとは、熱機関としての効率は火力発電の熱効率で扱います。

よくある質問

暖房と冷房で、COP の式はなぜ違うのですか。

目的の熱が違うからです。暖房は高温側へ出す熱 $Q_H$、冷房は低温側から吸う熱 $Q_L$ が目的なので、どちらも電力 $W$ で割りますが、分子が変わります。$Q_H = Q_L + W$ から、$\mathrm{COP}_h = \mathrm{COP}_c + 1$ の関係が出ます。

理想の COP の式に、℃ のまま代入してはいけないのはなぜですか。

式が、熱量の比と絶対温度の比が等しいこと（$Q_H/Q_L = T_H/T_L$）から導かれているからです。$0\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ は絶対零度ではなく、℃ のままでは温度の比が成り立ちません。$T = t + 273$ で $\mathrm{K}$ に直してから使います。

外気温が低いと、暖房の COP が下がるのはなぜですか。

低温側の温度 $T_L$ が下がり、温度差 $T_H - T_L$ が大きくなるためです。理想の式 $T_H/(T_H - T_L)$ では、分母が増えて値が小さくなります。実際の機器でも、外気が冷たいほど温度差をくみ上げる負担が増え、COP は下がる傾向があります。

ヒートポンプは、なぜ冷房と暖房の両方に使えますか。

四方弁で冷媒の流れる向きを切り替えられるからです。向きを変えると、室内側が蒸発器になるか凝縮器になるかが入れ替わり、熱を運ぶ向きが逆になります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

ヒートポンプは、電力を使って何をしますか？

低温側の熱を、高温側へ運びます。自然には流れない向きなので、電力 $W$ が要ります。

冷凍サイクルの4機器を、冷媒が通る順に言うと？

圧縮機 → 凝縮器 → 膨張弁 → 蒸発器です。

暖房と冷房の COP の式と、2つの関係は？

$\mathrm{COP}_h = Q_H/W$、$\mathrm{COP}_c = Q_L/W$ で、$\mathrm{COP}_h = \mathrm{COP}_c + 1$ です。

理想の暖房の COP を求める式は？ 温度は何で表しますか？

$\mathrm{COP}_h = T_H/(T_H - T_L)$ で、温度は絶対温度 $\mathrm{[K]}$ です。

外気温が下がると、暖房の COP はどうなりますか？

温度差が大きくなるので、小さくなります。

蓄熱は、何のために行いますか？

夜間の電力で熱をためて昼に使い、昼間の電力の使用を減らす（負荷平準化）ためです。

まとめ

• ヒートポンプは、電力 $W$ を使って、低温側の熱を高温側へ運ぶ。冷媒が圧縮機・凝縮器・膨張弁・蒸発器を回る
• 熱の収支は $Q_H = Q_L + W$。暖房 $\mathrm{COP}_h = Q_H/W$、冷房 $\mathrm{COP}_c = Q_L/W$ で、$\mathrm{COP}_h = \mathrm{COP}_c + 1$
• 理想の COP は $\mathrm{COP}_h = T_H/(T_H - T_L)$、$\mathrm{COP}_c = T_L/(T_H - T_L)$。温度は絶対温度 $\mathrm{[K]}$、温度差が小さいほど大きい
• 暖房能力 $Q_H$ と COP から、消費電力は $W = Q_H/\mathrm{COP}_h$。電力量は $\mathrm{kWh}$、熱量は $\mathrm{kJ}$（$1\ \mathrm{kWh} = 3600\ \mathrm{kJ}$）をそろえて計算する
• 夜間の電力で熱をためて昼に使うのが蓄熱で、負荷平準化につながる

COP の計算の土台になる熱量と $\mathrm{kWh}$ の換算は、電熱の計算で復習できます。次は、光を数で表す光の量と単位へ進みましょう。