水力発電の計算問題 型別演習①｜出力・流量・比速度・調定率を例題で解く

揚水発電とは で、水力発電の設備と式をひと通り見終えました。この記事からは、それを試験の計算問題で使えるようにする演習です。水力の計算問題は出題の「型」がほぼ決まっていて、型ごとに「どの式に何を入れるか」の手順を覚えておけば、数値が変わっても同じ流れで解けます。①では、出力と電力量、降水量からの流量、ベルヌーイの式、比速度、ガバナフリーの 8 つの型を、手順と例題で解きます。

• 水力の計算問題の「型」とは
  • 8 つの型を 4 つの束に分け、各型を「出題の形 → 手順 → 例題 → ひっかけ」で見る
• 出力と年間電力量の型
  • 理論式・単位の穴埋め／総落差から年間電力量（設備利用率）
• 降水量から流量・包蔵水力の型
  • 年平均流量 $Q = APc/(365 \times 86400)$ と、TW・h への換算
• ベルヌーイと圧力計から出力の型
  • 連続の式 → ベルヌーイの式の順／圧力計の読みを全水頭に直す
• 比速度とガバナフリーの型
  • 比速度から極数を選び、再計算／調定率の違う 2 台の分担

水力の計算問題の「型」とは

水力発電の計算問題は、電力科目の問 15（B 問題）を中心に、問 1・問 2 にも出ます。問題文の題材は毎回変わりますが、使う式と解く順番は何度も同じ形で出ます。この「同じ形」が型です。型を知っていると、問題文を読んだ時点で「これは年間電力量の型だ」と見当がつき、最初の一手に迷いません。

この記事では、最近の試験に出た型を 8 つに分けます。図1は、8 つの型を 4 つの束にまとめた地図です。

表は、各型で最初に決めることと、出た年度の例です。年度は、電気技術者試験センターが公表した過去問で確認できたものだけを書きます。

型	最初の一手	令和の試験での出題
型1 理論式・単位	式の各項の単位を並べて展開する	令和 5 年度下期 問 1、令和 7 年度上期 問 1
型2 総落差から年間電力量	$H = H_g - h_l$ で有効落差を作る	令和 5 年度下期 問 15、令和 2 年度 問 15
型3 降水量から年平均流量	面積を m²、降水量を m に直す	令和 2 年度 問 15
型4 包蔵水力	年間の水の体積 $V$ を作る	令和 8 年度上期 問 2
型5 ベルヌーイと連続の式	先に連続の式で流速を出す	令和 3 年度 問 2、令和 7 年度下期 問 2
型6 圧力計から出力	圧力を水頭 $p/\rho g$ に直す	過去問に出ている
型7 比速度から極数選択	$N = N_s H^{5/4}/\sqrt{P}$ で回転速度を出す	令和 6 年度上期 問 15
型8 ガバナフリーの分担	$\Delta f/f$ を % で出す	令和 5 年度下期 問 2

どの型でも共通する心得は 3 つです。1 つめは、式に入れる前に単位をそろえること（km² → m²、mm → m、kPa → Pa）。2 つめは、出力は kW か W かを最後に確かめること。3 つめは、途中の値を丸めすぎないこと（選択肢は 2〜3 桁の違いで並びます）。

出力と年間電力量の型（理論式・単位／総落差から年間電力量）

型1　理論式・単位の穴埋め

出題の形: 水力発電の出力の式を空欄にして、総落差・損失水頭・有効落差の語と、水車出力・発電機出力の式（W か kW か）を選ばせます。出力の式を単位ごと展開させる問題も出ます。

1発電機2天井クレーン3発電機室の床

1. 発電機　水車の軸に直結。ここから出る電力が発電機出力
2. 天井クレーン　重い機器を吊って点検や据付に使う
3. 発電機室の床　水車はこの床の下にあり、軸が上へ伸びる

解く手順: 式 $P = 9.8QH\eta$ は、$\rho g Q H$ の単位を展開して得られます。水の密度 $\rho = 1000\ \mathrm{[kg/m^3]}$、$g = 9.8\ \mathrm{[m/s^2]}$ を使うと、

$$\begin{aligned} &\rho g Q H\ \mathrm{[kg/m^3 \cdot m/s^2 \cdot m^3/s \cdot m]} \\ &= \rho g Q H\ \mathrm{[N \cdot m/s]} \\ &= \rho g Q H\ \mathrm{[J/s]} = \rho g Q H\ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

となり、$1000 \times 9.8 = 9800$ なので、W を kW に直すと $9.8QH\ \mathrm{[kW]}$ です。水車出力は効率 $\eta_w$ を 1 つ、発電機出力は $\eta_w \eta_g$ を掛けます。詳しい導き方は 水力発電の出力の求め方 にあります。

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理論水力は効率を掛けない値です。

$$P_0 = 9.8 \times 12 \times 85 = 9996\ \mathrm{[kW]}$$

水車出力は水車効率を、発電機出力はさらに発電機効率を掛けます。

$$\begin{aligned} P_w &= 9996 \times 0.90 \approx 8996\ \mathrm{[kW]} \\ P_g &= 8996 \times 0.96 \approx 8637\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

答えは、理論水力が約 $10.0\ \mathrm{[MW]}$、水車出力が約 $9.0\ \mathrm{[MW]}$、発電機出力が約 $8.6\ \mathrm{[MW]}$ です。

ひっかけ: 選択肢が「$9.8QH\eta \times 10^3\ \mathrm{[W]}$」のように W と kW を混ぜて並べます。$9.8QH\ \mathrm{[kW]}$ は、W で書くと $9.8QH \times 10^3\ \mathrm{[W]}$ です。また、水車出力に発電機効率を掛けたり、発電機出力に水車効率だけを掛けたりする誤りの選択肢も出ます。

型2　総落差から年間電力量

出題の形: 総落差と損失水頭、最大使用水量、効率、設備利用率が与えられ、年間の発電電力量を求めさせます。損失水頭は、m で与えられる場合と、総落差の何 % で与えられる場合があります。

解く手順: 図3の 4 手です。

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損失水頭は $240 \times 0.03 = 7.2\ \mathrm{[m]}$ なので、有効落差は

$$H = 240 - 7.2 = 232.8\ \mathrm{[m]}$$

最大出力は

$$\begin{aligned} P &= 9.8 \times 15 \times 232.8 \times 0.86 \\ &\approx 29431\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

設備利用率 $55\ \mathrm{[\%]}$ なので、年間の発電電力量は

$$\begin{aligned} W &= 29431 \times 8760 \times 0.55 \\ &\approx 1.418 \times 10^{8}\ \mathrm{[kW \cdot h]} \\ &\approx 141.8\ \mathrm{[GW \cdot h]} \end{aligned}$$

答えは約 $142\ \mathrm{[GW \cdot h]}$ です。

ひっかけ: 計算に使うのは有効落差で、総落差ではありません。損失水頭が % のときは、総落差に対する % です。そして、年間の時間は $8760\ \mathrm{[h]}$（365 日 × 24 時間）で、設備利用率を掛けるのを忘れないこと。単位は kW・h から GW・h へ、$10^6$ で割って直します。出力、電力量、設備利用率の関係は 水力発電の出力の求め方 の「発電電力量と設備利用率の求め方」にあります。

降水量から流量・包蔵水力の型

型3　降水量から年平均流量

出題の形: 流域面積、年降水量、流出係数から年平均流量を求め、その流量を使って出力と年間電力量まで進みます。令和 2 年度に出た貯水池式の問題が、この型です。

1流域の山林2水位計の小屋3量水標4川の流れ

1. 流域の山林　降った雨が集まり、川へ流れ出す
2. 水位計の小屋　水位を記録し、流量に換算する
3. 量水標　川の水位を目盛りで読む
4. 川の流れ　流域の降水量のうち、流出係数の割合が流れ出る

解く手順: 川に流れ出る水は、降った雨のうち流出係数 $c$ の割合です。年間の水の体積を、1 年の秒数で割ると平均の流量になります。

$$Q = \frac{A \times P_r \times c}{365 \times 86400}\ \mathrm{[m^3/s]}$$

$A$ は流域面積 $\mathrm{[m^2]}$、$P_r$ は年降水量 $\mathrm{[m]}$ です。図5の順に進めます。詳しい意味は 流況曲線とは の「川の流量はどこから来るか」にあります。

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面積は $800\ \mathrm{[km^2]} = 8.0 \times 10^8\ \mathrm{[m^2]}$、降水量は $2200\ \mathrm{[mm]} = 2.2\ \mathrm{[m]}$ です。

$$\begin{aligned} Q &= \frac{8.0 \times 10^{8} \times 2.2 \times 0.65}{365 \times 86400} \\ &\approx 36.3\ \mathrm{[m^3/s]} \end{aligned}$$

この流量で発電するときの出力は

$$\begin{aligned} P &= 9.8 \times 36.3 \times 120 \times 0.85 \\ &\approx 36300\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

年間電力量は

$$\begin{aligned} W &= 36300 \times 8760 \times 0.60 \\ &\approx 1.91 \times 10^{8}\ \mathrm{[kW \cdot h]} \\ &\approx 191\ \mathrm{[GW \cdot h]} \end{aligned}$$

答えは、年平均流量が約 $36\ \mathrm{[m^3/s]}$、年間電力量が約 $191\ \mathrm{[GW \cdot h]}$ です。

ひっかけ: $1\ \mathrm{[km^2]} = 10^6\ \mathrm{[m^2]}$、$1\ \mathrm{[mm]} = 10^{-3}\ \mathrm{[m]}$ の換算で桁を落としやすい型です。$365 \times 86400 = 31\,536\,000\ \mathrm{[s]}$ も覚えておくと、割り算が速くなります。

型4　包蔵水力（TW・h への換算）

出題の形: 流域面積、平均標高、年降水量（と流出係数）から、降った雨が持つ位置エネルギーの総量（理論包蔵水力）を TW・h で求めさせます。令和 8 年度上期に出た型です。

解く手順: 年間の水の体積 $V = A P_r c\ \mathrm{[m^3]}$ に、位置エネルギー $E = \rho g V H$ を使い、最後に $1\ \mathrm{[TW \cdot h]} = 3.6 \times 10^{15}\ \mathrm{[J]}$ で割ります。出力の式と違い、効率も 8760 も出てきません。水が標高 $H$ から海面まで落ちる間の位置エネルギーを、まとめて数える計算だからです。

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年間に川へ出る水の体積は

$$\begin{aligned} V &= 3.2 \times 10^{9} \times 1.8 \times 0.6 \\ &= 3.456 \times 10^{9}\ \mathrm{[m^3]} \end{aligned}$$

位置エネルギーは

$$\begin{aligned} E &= 1000 \times 9.8 \times 3.456 \times 10^{9} \times 600 \\ &\approx 2.03 \times 10^{16}\ \mathrm{[J]} \end{aligned}$$

TW・h に直すと

$$\frac{2.03 \times 10^{16}}{3.6 \times 10^{15}} \approx 5.6\ \mathrm{[TW \cdot h]}$$

答えは約 $5.6\ \mathrm{[TW \cdot h]}$ です。

ひっかけ: 換算を $3.6 \times 10^{6}\ \mathrm{[J]}$（kW・h の値）と取り違えると、桁が 9 つずれます。$1\ \mathrm{[kW \cdot h]} = 3.6 \times 10^{6}\ \mathrm{[J]}$、$1\ \mathrm{[TW \cdot h]} = 10^{9}\ \mathrm{[kW \cdot h]}$ から $3.6 \times 10^{15}\ \mathrm{[J]}$ と組み立てると間違えません。

ベルヌーイと圧力計から出力の型

型5　ベルヌーイの式と連続の式

出題の形: 内径と高さが違う水圧管の 2 つの断面で、片方の流速と圧力が与えられ、もう片方の流速と圧力を求めさせます。令和 3 年度に出た型です。水圧管の水が持つ単位体積あたりの運動エネルギー $\frac{1}{2}\rho v^2\ \mathrm{[J/m^3]}$ を選ばせる問いも、令和 7 年度下期に出ています。

解く手順: 先に連続の式で流速を出し、そのあとベルヌーイの式で圧力を出します。順番が逆だと、流速が分からず式が閉じません。

連続の式は、流量が変わらないことから $v_A d_A^2 = v_B d_B^2$ です。ベルヌーイの式は、単位体積あたりのエネルギーで書くと

$$p_A + \rho g z_A + \tfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \tfrac{1}{2}\rho v_B^2$$

です。式の意味は 落差と流量とは で見ました。

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連続の式から、流速は内径の 2 乗に反比例して増えます。

$$v_B = 2.5 \times \left(\frac{2.4}{2.0}\right)^2 = 3.6\ \mathrm{[m/s]}$$

ベルヌーイの式から、B が $25\ \mathrm{[m]}$ 低いぶん圧力が増え、流速が増えたぶん圧力が減ります。

$$\begin{aligned} p_B &= 40 + \frac{1000 \times 9.8 \times 25}{1000} \\ &\quad + \frac{1}{2} \times \frac{1000 \times (2.5^2 - 3.6^2)}{1000} \end{aligned}$$$$p_B = 40 + 245 - 3.36 \approx 282\ \mathrm{[kPa]}$$

答えは、流速 $3.6\ \mathrm{[m/s]}$、圧力 約 $282\ \mathrm{[kPa]}$ です。

ひっかけ: 単位を Pa か kPa のどちらかにそろえます（上の例は kPa に直して足しました）。高低差の項は、低い側の圧力を増やします。流速の項は、流速が増えた側の圧力を減らします。符号を迷ったら、「低い所ほど圧力が高い」「速い所ほど圧力が低い」と確かめてください。

型6　圧力計から出力

出題の形: 水圧管に付けた圧力計の読みと、管の内径、流速から、流量と水車出力を求めさせます。過去問に出ている型で、圧力計の読みから全水頭を作り、出力の式 $P = 9.8QH\eta$ へつなぐ連結が問われます。

1圧力計2水圧管3入口弁

1. 圧力計　管の中の圧力を示す。kPa か MPa かを読み取る
2. 水圧管　内径から断面積 A を求め、流量 Q = Av を出す
3. 入口弁　水車の手前にある弁。この先が水車

解く手順: 圧力計の位置が水車の入口と同じ高さなら、位置水頭は 0 です。全水頭は、圧力水頭と速度水頭の和です。図8の順に進めます。

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断面積は $A = \pi \times 1.0^2/4 \approx 0.785\ \mathrm{[m^2]}$ なので、流量は

$$Q = Av = 0.785 \times 4.0 \approx 3.14\ \mathrm{[m^3/s]}$$

全水頭は、圧力水頭と速度水頭の和です。

$$\begin{aligned} H &= \frac{2400 \times 10^{3}}{1000 \times 9.8} + \frac{4.0^2}{2 \times 9.8} \\ &\approx 244.9 + 0.8 = 245.7\ \mathrm{[m]} \end{aligned}$$

水車出力は

$$\begin{aligned} P &= 9.8 \times 3.14 \times 245.7 \times 0.88 \\ &\approx 6650\ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

答えは、流量 約 $3.14\ \mathrm{[m^3/s]}$、水車出力 約 $6650\ \mathrm{[kW]}$ です。

ひっかけ: $\mathrm{[kPa]}$ を $10^3$ 倍して $\mathrm{[Pa]}$ に直してから $\rho g = 9800$ で割ります（直さないと 1000 倍ずれます）。速度水頭は小さい値ですが、選択肢が近いときは入れ忘れで外れます。効率は水車効率だけを掛けます。発電機出力まで聞かれたら、発電機効率も掛けます。

比速度とガバナフリーの型

型7　比速度から極数を選ぶ

出題の形: 有効落差、水車出力、比速度から回転速度を出し、水車の種類を判定し、同期速度に合う極数を選んで、その回転速度での比速度を求め直します。令和 6 年度上期に出た型です。

解く手順: 図9の 5 手です。比速度の式 $N_s = N\sqrt{P}/H^{5/4}$ を $N$ について解く点と、極数は偶数で選ぶ点が要です。比速度の範囲の目安は 水車の種類と選び方、$N = 120f/p$ は 水車発電機とは にあります。

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比速度 130 はフランシス水車の範囲（60〜300 ほど）です。回転速度の目安は

$$\begin{aligned} N &= \frac{N_s H^{5/4}}{\sqrt{P}} = \frac{130 \times 525}{173.2} \\ &\approx 394\ \mathrm{[min^{-1}]} \end{aligned}$$

同期速度 $N = 120 \times 60/p$ から、極数は $p = 7200/394 \approx 18.3$ です。偶数の 18 極を選ぶと、同期速度は $7200/18 = 400\ \mathrm{[min^{-1}]}$ です。

この回転速度での比速度は

$$N_s = \frac{400 \times 173.2}{525} \approx 132\ \mathrm{[m \cdot kW]}$$

答えは、18 極、比速度 約 $132\ \mathrm{[m \cdot kW]}$ です（設計値 130 に近い値です）。

ひっかけ: 極数は偶数で、近い値を選びます（16 極なら $450\ \mathrm{[min^{-1}]}$ と離れます）。50 Hz か 60 Hz かで同期速度が変わるので、周波数を読み落とさないこと。選んだ回転速度で再計算した比速度は、設計値より少しずれます。

型8　ガバナフリーの 2 台分担

出題の形: 調定率の違う 2 台が並列運転しているとき、周波数が下がったら、各機の出力がどれだけ増えるかを求めさせます。令和 5 年度下期に出た型です。逆に、負荷の増加から周波数の低下を先に出す、2 段の型もあります。

解く手順: 調定率の式 $R = \dfrac{\Delta f / f}{\Delta P / P_n}$ を、$\Delta P$ について解きます。

$$\Delta P = \frac{\Delta f / f}{R} \times P_n$$

周波数の低下を 割合（%） に直すことと、$P_n$ にはその機の定格出力を使うことが肝心です。調定率の式の意味は 調速機と水撃作用とは の「速度調定率の求め方」にあります。

1制御盤2油圧計3電動機4奥の発電機設備

1. 制御盤　回転速度を検出して、水の量を加減する指令を出す
2. 油圧計　ガイドベーンを動かす油の圧力を確かめる
3. 電動機　油圧ポンプを回して、油に圧力をかける
4. 奥の発電機設備　回転速度が周波数を決める

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周波数の低下は $0.2\ \mathrm{[Hz]}/50\ \mathrm{[Hz]} = 0.004$、つまり $0.4\ \mathrm{[\%]}$ です。

$$\begin{aligned} \Delta P_1 &= \frac{0.4}{4} \times 600 = 60\ \mathrm{[MW]} \\ \Delta P_2 &= \frac{0.4}{2.5} \times 200 = 32\ \mathrm{[MW]} \end{aligned}$$

答えは、タービン機が $+60\ \mathrm{[MW]}$、水車機が $+32\ \mathrm{[MW]}$ です。

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周波数が $1\ \mathrm{[\%]}$ 下がるときの各機の出力増加は、$600/4 = 150\ \mathrm{[MW]}$ と $200/2.5 = 80\ \mathrm{[MW]}$ で、合計 $230\ \mathrm{[MW]}$ です。負荷の増加 $60\ \mathrm{[MW]}$ をこの合計で割ると、周波数の低下率が出ます。

$$\begin{aligned} \frac{\Delta f}{f} &= \frac{60}{230} \approx 0.261\ \mathrm{[\%]} \\ \Delta f &= 50 \times 0.00261 \approx 0.13\ \mathrm{[Hz]} \end{aligned}$$

各機の増加は

$$\begin{aligned} \Delta P_1 &= 0.261 \times 150 \approx 39.1\ \mathrm{[MW]} \\ \Delta P_2 &= 0.261 \times 80 \approx 20.9\ \mathrm{[MW]} \end{aligned}$$

合計は $60\ \mathrm{[MW]}$ で、負荷の増加と一致します。答えは、周波数が約 $0.13\ \mathrm{[Hz]}$ 下がり、タービン機が約 $39\ \mathrm{[MW]}$、水車機が約 $21\ \mathrm{[MW]}$ 増えます。

ひっかけ: 調定率が小さい機のほうが、出力の変化が大きくなります。周波数低下は $\mathrm{[Hz]}$ のまま計算せず、$f$ で割って割合にします。各機の増加が定格に達すると、それ以上は増やせないので、答えが定格を超えていないか確かめます。

よくある質問

計算問題は、何から手を付ければよいですか。

最初に「求めるもの」と「与えられた量」を書き出します。求めるものが電力量なら出力の型、回転速度や極数なら比速度の型、周波数や出力の増加なら調定率の型、というように、求めるものから型を決めます。そのうえで、単位をそろえてから式に入れます。

損失水頭が % で与えられたとき、有効落差はどう出しますか。

損失水頭は、総落差に対する割合です。総落差 $H_g$ に $\%/100$ を掛けて損失水頭 $h_l$ を出し、$H = H_g - h_l$ とします。揚水の問題では、揚水側は総落差に損失水頭を足す（揚程が増える）ので、向きが逆になります（揚水発電とは を参照）。

年間電力量の計算で、8760 と設備利用率はいつ使いますか。

最大出力から 1 年の発電電力量を求めるときです。設備利用率は、年間電力量を「最大出力で 1 年間運転したときの電力量」で割った値なので、$W = P \times 8760 \times$ 設備利用率 です。設備利用率が与えられず、運転時間が書かれているときは、その時間を使います。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

理論水力 $\rho g Q H$ が $9.8QH\ \mathrm{[kW]}$ になるのはなぜか。

$\rho g = 9800$ で、W を kW に直すと $10^{-3}$ 倍になるから。単位は N・m/s = J/s = W と展開できる。

損失水頭が総落差の $3\ \mathrm{[\%]}$ と与えられたとき、有効落差は。

$H = H_g - 0.03H_g = 0.97H_g$。年間電力量は $P \times 8760 \times$ 設備利用率。

流域面積、年降水量、流出係数から年平均流量を出す式は。

$Q = A P_r c/(365 \times 86400)$。面積は m²、降水量は m に直しておく。

理論包蔵水力を TW・h に直すとき、割る値は。

$3.6 \times 10^{15}\ \mathrm{[J]}$。$1\ \mathrm{[kW \cdot h]} = 3.6 \times 10^{6}\ \mathrm{[J]}$ と $1\ \mathrm{[TW \cdot h]} = 10^{9}\ \mathrm{[kW \cdot h]}$ から。

2 つの断面で圧力を求めるとき、連続の式とベルヌーイの式のどちらを先に使うか。

連続の式が先。流速を出してから、ベルヌーイの式で圧力を出す。

調定率が違う 2 台の出力の増加は、何で決まるか。

$\Delta P = (\Delta f/f)/R \times P_n$。周波数低下を割合にし、調定率が小さい機ほど大きく動く。

まとめ

• 水力の計算問題は、出題の型がほぼ決まっている。型を見分けてから、手順に沿って式に入れる
• 出力と電力量の型は、有効落差 $H = H_g - h_l$ → $P = 9.8QH\eta$ → $W = P \times 8760 \times$ 設備利用率。W と kW、水車出力と発電機出力に注意
• 降水量から流量は $Q = AP_rc/(365 \times 86400)$、包蔵水力は $E = \rho g V H$ を $3.6 \times 10^{15}$ で割る
• ベルヌーイの型は、連続の式で流速、ベルヌーイの式で圧力の順。圧力計の型は、圧力を $p/\rho g$ で水頭に直して出力へつなぐ
• 比速度の型は $N = N_s H^{5/4}/\sqrt{P}$ → 極数（偶数）→ 再計算。ガバナフリーは $\Delta P = (\Delta f/f)/R \times P_n$

数値の動かし方に慣れたら、別の型にも進みます。調整池の容量、流況曲線の面積、揚水の計算を扱う 水力発電の計算問題 型別演習② に進みましょう。式の意味に戻りたいときは、水力発電の出力の求め方、流況曲線とは、水車の種類と選び方 を読み返してください。