落差と流量とは｜水頭・ベルヌーイの定理・有効落差をやさしく図解

水力発電のしくみ で、水が電気に変わる流れを見ました。この記事では、その流れの中で水が持つ「力のもと」である落差と流量を調べます。落差は水面の高さの差、流量は毎秒通る水の体積で、水の持つエネルギーは「高さ」に換算した水頭で表し、ベルヌーイの定理で位置・圧力・速度の三つの水頭がつながります。実際に使える落差は、総落差から損失水頭を引いた有効落差です。これらを使った出力の式は、次の 水力発電の出力の求め方 で扱います。

• 落差と流量とは
  • 落差は水面の高さの差、流量は毎秒通る水の体積
  • 水の力は落差と流量の二つで決まる
• 水頭：エネルギーを高さで表す
  • 位置水頭 $z$、圧力水頭 $p/\rho g$、速度水頭 $v^2/2g$
• ベルヌーイの定理と連続の式
  • 三つの水頭の和は一定
  • 流量は $Q = Av$、細い所ほど速い
• 総落差・損失水頭・有効落差
  • 有効落差 $H = H_0 - h$
  • 圧力計の読みから全水頭を作り、出力までつなぐ
• ノズルの噴出速度
  • $v = \sqrt{2gH}$

落差と流量とは

水力発電で水が持つ力は、二つの量で決まります。一つは水がどれだけの高さを落ちるかという落差、もう一つは毎秒どれだけの水が流れるかという流量です。同じ水量でも高い所から落とすほど力は大きく、同じ高さでも多くの水を流すほど力は大きくなります。

図1は、水力発電のしくみ の図1と同じ設備の並びを、水槽から放水口までに絞って描いたものです。水槽の水面と放水面の高さの差が総落差、水圧管路を毎秒流れる水の体積が流量です。

この記事で使う量を、先に表にまとめます。

量	記号	単位	意味
総落差	$H_0$	$\mathrm{[m]}$	取水側の水面と放水面の高さの差
損失水頭	$h$	$\mathrm{[m]}$	水路や管の摩擦などで失う高さ
有効落差	$H$	$\mathrm{[m]}$	実際に水車で使える落差。$H = H_0 - h$
流量	$Q$	$\mathrm{[m^3/s]}$	毎秒、断面を通る水の体積
流速	$v$	$\mathrm{[m/s]}$	水の流れる速さ
断面積	$A$	$\mathrm{[m^2]}$	水が通る管の断面の面積

落差の上端は、取水側の水面の高さです。ダム式の発電所では、この水面はダム湖の水位で、図2のような量水標（水位を目盛りで読む板）で測ります。雨の多い時期と少ない時期で水位が変われば、落差も変わります。

1量水標2水面3護岸4湖面

1. 量水標　水位を目盛りで読む板
2. 水面　目盛りと水面が交わる所が水位
3. 護岸　コンクリートの岸。水位の変化を読みやすくする
4. 湖面　広いので、水の流れはほぼ静止とみなせる

湖面が広くて水がほとんど動いていないことは、あとでベルヌーイの定理を使うときに効いてきます。

水頭：エネルギーを高さで表す

水のエネルギーは、位置・圧力・速度の三つの形で現れます。電験三種では、この三つをどれも「水の高さ $\mathrm{[m]}$」に換算して比べます。これが水頭です。重さ 1 N の水が持つエネルギーを、同じエネルギーを持つ水柱の高さで表したものと考えてください。

水頭	式	意味
位置水頭	$z$	基準面からの高さそのもの
圧力水頭	$\dfrac{p}{\rho g}$	圧力 $p\ \mathrm{[Pa]}$ を、同じ圧力を生む水柱の高さにしたもの
速度水頭	$\dfrac{v^2}{2g}$	流速 $v$ で動く水が、真上へ吹き上がれる高さ

ここで $\rho$ は水の密度 $1000\ \mathrm{[kg/m^3]}$、$g$ は重力加速度 $9.8\ \mathrm{[m/s^2]}$ です。$\rho g = 9800$ なので、圧力水頭は $p/9800\ \mathrm{[m]}$ となり、水頭 1 m は圧力 $9.8\ \mathrm{[kPa]}$ に当たります。速度水頭は、質量 $m$ の水の運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ を重さ $mg$ で割ると $v^2/2g$ になることから出ます。

三つの水頭の和を全水頭といいます。図3は、水槽の水面と水圧管路の下端で、全水頭の中身がどう入れ替わるかを棒で比べたものです。

水面では水は静止していて圧力は大気圧（ゲージ圧 0）なので、全水頭はすべて位置水頭です。水が管を下ると高さを失い、その分が圧力水頭と速度水頭に移ります。水圧管路の水が「水車へ運ぶ力」は、この圧力と速さの形で届きます。

1圧力計2水圧管3入口弁4操作ハンドル

1. 圧力計　管の中の水の圧力を読む。圧力水頭に換算できる
2. 水圧管　水槽から下りてきた水が通る太い鋼管
3. 入口弁　水車の手前で水を止めたり通したりする弁
4. 操作ハンドル　弁を開閉する

ベルヌーイの定理と連続の式

摩擦のない水が定常に流れるとき、同じ流れの上のどの点でも全水頭は変わりません。これがベルヌーイの定理です。流れの上の 2 点を 1、2 とすると、次のように書けます。

$$z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} = \text{一定}$$

両辺に $\rho g$ を掛けると $\rho g z + p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{一定}$ の形になります。こちらは「圧力の単位（Pa）で書いたベルヌーイの式」で、どちらも同じ内容です。3 つの項はそれぞれ、水 $1\ \mathrm{[m^3]}$ あたりのエネルギー $\mathrm{[J/m^3]}$ にも読めます。$\rho g z$ は位置、$p$ は圧力、$\frac{1}{2}\rho v^2$ は運動のエネルギーで、単位はどれも $\mathrm{Pa} = \mathrm{J/m^3}$ です。ただし、この式が成り立つのは、摩擦などの損失がなく、水の密度が変わらず、流れが時間で変わらない場合です。損失があるときは、下流側の全水頭が損失水頭の分だけ小さくなります（次の章）。

流速は、流量と管の断面積から決まります。管の中を水があふれも途切れもせずに流れるなら、どの断面でも毎秒通る水の体積は同じです。これが連続の式です。

$$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2\ \mathrm{[m^3/s]}$$

図5のように、管が細くなると流速は大きくなります。管の内径が半分になれば断面積は $1/4$ になるので、流速は 4 倍です。

水力発電所では、水槽のように広い所で流れがゆっくりしていて、水圧管路に入ると管が細いぶん流速が上がります。図6の水槽の水面はほとんど動いておらず、水圧管路の入口で水が管へ吸い込まれて速くなります。

1水槽の水面2格子3水圧管路の入口4斜面を下る管

1. 水槽の水面　広いので、流れはほぼ静止している
2. 格子　ごみが管に入るのを防ぐ
3. 水圧管路の入口　ここから管へ水が流れ込み、流速が上がる
4. 斜面を下る管　落ちるほど圧力が高くなる

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(1) 断面積は $A_1 = \pi \times (2.0/2)^2 = 3.14\ \mathrm{[m^2]}$ です。連続の式 $Q = Av$ から、

$$v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{12}{3.14} \approx 3.82\ \mathrm{[m/s]}$$

(2) 断面積は $A_2 = \pi \times (1.0/2)^2 = 0.785\ \mathrm{[m^2]}$ です。

$$v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{12}{0.785} \approx 15.3\ \mathrm{[m/s]}$$

内径が半分になると断面積は $1/4$ になるので、流速はちょうど 4 倍の約 $15.3\ \mathrm{[m/s]}$ です。

総落差・損失水頭・有効落差

水槽の水面から放水面までの高さの差が総落差 $H_0$ です。ところが、水が水路や水圧管路を流れるときは、管の壁との摩擦や曲がり、弁などで、全水頭の一部が失われます。失われた分を高さで表したものが損失水頭 $h$ です。実際に水車へ届く落差は、総落差から損失水頭を引いた有効落差 $H$ になります。

$$H = H_0 - h$$

図7は、水槽の水面を出発点にして、全水頭が水圧管路を進むうちに少しずつ下がるようすです。ベルヌーイの定理の右辺に損失水頭 $h$ を足したものが、この図の傾いた線です。

落差の下端は、放水口の水面（放水面）の高さです。水車を出た水は放水路を通って川へ戻るので、図8のように放水面が川の水面とつながります。反動水車では、水車の出口に付く吸出し管がこの放水面までの落差を回収します。

1発電所の建屋2放水口3下流の流れ4川面

1. 発電所の建屋　中で水車が回っている
2. 放水口　水車を出た水が川へ出ていく出口
3. 下流の流れ　水は川へ戻り、下流で再び使われる
4. 川面　この水面の高さが、落差の下端（放水面）

水槽の水面から水車入口までのベルヌーイの式で、実際に水圧計の読みを確かめてみます。

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水車入口を高さの基準 $z = 0$ にとると、水槽の水面の全水頭は $150\ \mathrm{[m]}$ です。損失水頭 $3.0\ \mathrm{[m]}$ を引いたものが水車入口の全水頭なので、

$$0 + \frac{p}{\rho g} + \frac{5.0^2}{2 \times 9.8} = 150 - 3.0$$

速度水頭は $\dfrac{25}{19.6} \approx 1.28\ \mathrm{[m]}$ です。したがって圧力水頭は、

$$\frac{p}{\rho g} = 150 - 3.0 - 1.28 \approx 145.7\ \mathrm{[m]}$$

圧力は、

$$\begin{aligned} p &= \rho g \times 145.7 = 9800 \times 145.7 \\ &\approx 1.43 \times 10^{6}\ \mathrm{[Pa]} = 1.43\ \mathrm{[MPa]} \end{aligned}$$

水頭 $1\ \mathrm{[m]}$ が $9.8\ \mathrm{[kPa]}$ なので、$145.7 \times 9.8\ \mathrm{[kPa]} \approx 1.43\ \mathrm{[MPa]}$ と求めても同じです。

圧力計の読みから、水車入口の全水頭を作り、出力まで進める問題もあります。全水頭を、放水面を基準にした高さで測ると、それが水車に届く有効落差になります。

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(1) 断面積は $A = 3.14 \times (2.0/2)^2 = 3.14\ \mathrm{[m^2]}$ です。$v = Q/A = 15.7/3.14 = 5.0\ \mathrm{[m/s]}$。

(2) 三つの水頭を求めます。

• 位置水頭 $z = 3.0\ \mathrm{[m]}$
• 圧力水頭 $\dfrac{p}{\rho g} = \dfrac{1.47 \times 10^6}{9800} = 150\ \mathrm{[m]}$
• 速度水頭 $\dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{5.0^2}{2 \times 9.8} \approx 1.28\ \mathrm{[m]}$

全水頭は、この 3 つの和で $3.0 + 150 + 1.28 \approx 154.3\ \mathrm{[m]}$ です。これが有効落差 $H$ になります。

(3) $P = 9.8QH\eta = 9.8 \times 15.7 \times 154.3 \times 0.90 \approx 2.14 \times 10^{4}\ \mathrm{[kW]}$、つまり約 $21\,400\ \mathrm{[kW]}$ です。

圧力計の読みだけを使って $150\ \mathrm{[m]}$ とするのは誤りです。位置水頭と速度水頭を足し忘れないでください。

高さが違い、管の太さも違う 2 つの断面の圧力を比べる型もあります。連続の式で流速を出してから、ベルヌーイの式に入れます。

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断面積は $A_\mathrm{A} = 3.14\ \mathrm{[m^2]}$、$A_\mathrm{B} = 3.14 \times 0.5^2 = 0.785\ \mathrm{[m^2]}$ です。流速は、

$$\begin{aligned} v_\mathrm{A} &= \frac{6.28}{3.14} = 2.0\ \mathrm{[m/s]} \\ v_\mathrm{B} &= \frac{6.28}{0.785} = 8.0\ \mathrm{[m/s]} \end{aligned}$$

圧力の単位で書いたベルヌーイの式 $p_\mathrm{A} + \rho g z_\mathrm{A} + \frac{1}{2}\rho v_\mathrm{A}^2 = p_\mathrm{B} + \rho g z_\mathrm{B} + \frac{1}{2}\rho v_\mathrm{B}^2$ から、$z_\mathrm{A} - z_\mathrm{B} = 30\ \mathrm{[m]}$ として、

$$\begin{aligned} p_\mathrm{B} &= p_\mathrm{A} + \rho g \times 30 \\ &\quad + \tfrac{1}{2}\rho\,(v_\mathrm{A}^2 - v_\mathrm{B}^2) \\ &= 0.80 \times 10^6 + 294\,000 \\ &\quad + \tfrac{1}{2} \times 1000 \times (4 - 64) \\ &= 0.80 \times 10^6 + 294\,000 - 30\,000 \\ &\approx 1.06 \times 10^6\ \mathrm{[Pa]} \end{aligned}$$

答えは約 $1.06\ \mathrm{[MPa]}$ です。低い所へ下ると圧力は上がり（$+0.294\ \mathrm{[MPa]}$）、細くなって速くなると圧力は下がります（$-0.030\ \mathrm{[MPa]}$）。

ノズルの噴出速度 v=√(2gH)

ベルヌーイの定理の応用で、電験三種で問われるのが、ノズルから噴き出す水の速さです。水槽の水面から $H\ \mathrm{[m]}$ 低い所にあるノズルから水が大気中へ出るとき、水面では速度 0・大気圧、ノズル出口では大気圧なので、圧力水頭は両方 0 です。残るのは位置水頭の減少と速度水頭の増加で、

$$H = \frac{v^2}{2g}\qquad\Longrightarrow\qquad v = \sqrt{2gH}\ \mathrm{[m/s]}$$

となります。図9のように、落差 $H$ の位置水頭が、すべて速度水頭に変わったということです。

ノズルは、ペルトン水車で水の圧力を速さに変える部品として使われます。水車の種類と構造は 水力発電のしくみ の図3にあり、詳しい違いはシリーズの先の記事で扱います。ここでは、ノズルの噴出速度が落差だけで決まる、という点を押さえてください。実際の水は摩擦で少し遅くなりますが、試験では損失のない理想の式を使います。

噴流の断面積 $A$ がわかれば、連続の式 $Q = Av$ で、そのノズルを通る流量も求まります。

解答と解説を見る

(1) $v = \sqrt{2gH}$ に代入します。

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{2 \times 9.8 \times 160} \\ &= \sqrt{3136} \\ &= 56\ \mathrm{[m/s]} \end{aligned}$$

(2) ノズルの断面積は $A = \pi \times (0.10/2)^2 = 3.14 \times 0.0025 = 7.85 \times 10^{-3}\ \mathrm{[m^2]}$ です。連続の式から、

$$\begin{aligned} Q &= Av = 7.85 \times 10^{-3} \times 56 \\ &\approx 0.44\ \mathrm{[m^3/s]} \end{aligned}$$

噴出速度は落差だけで決まり、流量はそこに断面積が掛かるので、同じ落差でもノズルを太くすれば流量が増えます。

よくある質問

水頭とは何ですか。圧力や速さまで「高さ」で表すのはなぜですか。

水が持つエネルギーを、位置・圧力・速度の三つの形で足し合わせて比べるためです。どれも「同じエネルギーを持つ水柱の高さ」に直すと、単位が $\mathrm{[m]}$ にそろい、ベルヌーイの定理で単純に足し引きできます。圧力水頭は $p/\rho g$、速度水頭は $v^2/2g$ です。

総落差と有効落差は、問題ではどちらを使いますか。

水車で使える力を求めるときは有効落差を使います。問題文に総落差と損失水頭が出ていれば $H = H_0 - h$ で有効落差を先に求め、「有効落差」と書いてあれば、損失水頭は引き済みなので、もう引きません。出力の計算での使い方は 水力発電の出力の求め方 で確かめられます。

流量が一定なのに、場所によって流速が変わるのはなぜですか。

どの断面でも毎秒通る水の体積は同じなので、断面積が小さい所ほど流速が大きくなるからです。$Q = Av$ で、$Q$ が一定なら $v$ は $A$ に反比例します。水槽の広い水面でほとんど止まっている水が、水圧管路に入ると速く流れるのはこのためです。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

水頭とは何ですか。単位は何ですか？

水が持つエネルギーを、同じエネルギーを持つ水柱の高さで表したものです。単位は $\mathrm{[m]}$ です。

三つの水頭の式を言えますか？

位置水頭は $z$、圧力水頭は $p/\rho g$、速度水頭は $v^2/2g$ です。三つの和が全水頭です。

ベルヌーイの定理は何を言っていますか？ 成り立つ条件は？

同じ流れの上では全水頭が一定になる、という定理です。摩擦などの損失がなく、定常で、密度が変わらない場合に成り立ちます。

連続の式を書いて、細い管での流速の変化を説明してください。

$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$ です。流量が同じなら、断面積が小さい所ほど流速が大きくなります。

有効落差は、総落差からどう求めますか？

$H = H_0 - h$ です。総落差から損失水頭を引きます。水頭 $1\ \mathrm{[m]}$ は圧力 $9.8\ \mathrm{[kPa]}$ に当たります。

有効落差 $160\ \mathrm{[m]}$ のノズルの噴出速度は？

$v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 160} = 56\ \mathrm{[m/s]}$ です。

まとめ

• 水力発電の水の力は、落差 $\mathrm{[m]}$ と流量 $Q\ \mathrm{[m^3/s]}$ の二つで決まる
• 水頭は、エネルギーを水の高さで表したもの。位置水頭 $z$、圧力水頭 $p/\rho g$、速度水頭 $v^2/2g$ の和が全水頭
• ベルヌーイの定理は、損失のない流れで全水頭が一定になること。連続の式は $Q = Av$ で、細い所ほど流速が大きい
• 実際に使える落差は有効落差 $H = H_0 - h$。総落差から損失水頭を引く
• 圧力計の読みは、位置水頭・圧力水頭・速度水頭の和にして有効落差にし、$P = 9.8QH\eta$ へつなぐ
• ノズルの噴出速度は $v = \sqrt{2gH}$。位置水頭がすべて速度水頭に変わったもの

求めるもの	式
全水頭	$z + \dfrac{p}{\rho g} + \dfrac{v^2}{2g}$
連続の式	$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$
有効落差	$H = H_0 - h$
噴出速度	$v = \sqrt{2gH}$

水の持つ力のもとがわかったので、次は 水力発電の出力の求め方 で、流量と有効落差から $P = 9.8QH\eta$ で何 kW になるかを計算しましょう。全体の流れをもう一度確かめたいときは 水力発電のしくみ に戻れます。