電動機応用の所要出力の求め方｜エレベーター・ポンプ・送風機を図解

電動機の所要出力は、負荷が1秒あたりにする仕事（負荷の仕事率）を、効率で割って求めます。エレベーターなら $P = \dfrac{9.8\,mv}{\eta}$、ポンプなら $P = \dfrac{9.8\,QH}{\eta}$、送風機なら $P = \dfrac{Qp}{\eta}$ の形です。この記事では、電動機応用で使う3つの公式を例題で確かめ、トルク・回転速度との関係と、回転速度を下げると出力が3乗で減る理由まで順にたどります。

• 電動機の所要出力とは
  • 負荷の仕事率 ÷ 効率。余裕係数を掛けて選ぶ
• エレベーター・巻上機の所要出力
  • 上げる質量 ＝ かご ＋ 積載 − おもり
• ポンプ・送風機の所要出力
  • ポンプは 9.8QH/η、送風機は Qp/η
• トルクと負荷のトルク特性
  • P ＝ ωT。定トルク・二乗トルク・定出力
• 回転速度を下げたときの出力
  • 風量は N、風圧は N²、出力は N³ に比例

電動機の所要出力とは

電動機に負荷をつなぐとき、所要出力とは、その負荷を動かすために電動機が軸に出さなければならない出力のことです。エレベーターのかごを持ち上げる、ポンプで水を送る、送風機で空気を送る。どの場合も、電動機の大きさは、負荷が1秒あたりにする仕事で決まります（図1）。

1電動機2減速機など3綱車4ロープ

1. 電動機　負荷を動かす力のもと
2. 減速機など　回転を落として綱車に伝える
3. 綱車　ロープを掛けて巻き上げる車
4. ロープ　かごとおもりにつながる

負荷の仕事率を $P_L\ \mathrm{[W]}$、電動機の軸から負荷までの効率を $\eta$ とすると、電動機が出す軸出力は、損失のぶんだけ大きくなります（図2）。

$$P = \frac{P_L}{\eta}$$

実際に電動機を選ぶときは、さらに余裕係数 $k$（1 より少し大きい値）を掛けて、少し余裕をみます。

$$P = k\,\frac{P_L}{\eta}$$

求めた $P$ 以上で、いちばん小さい標準の出力の電動機を選びます。電動機そのもののしくみは三相誘導電動機のしくみとすべりで確かめられます。

エレベーター・巻上機の所要出力の求め方

エレベーターは、ロープの一方にかごを、他方につり合いおもりをつなぎ、巻上機の綱車に掛けて動かします（図3）。おもりはかごの重さの一部を受け持つので、電動機が持ち上げるのは、かごと積載の質量からおもりの質量を引いた差の分だけです。

上げる質量を $m\ \mathrm{[kg]}$、上昇速度を $v\ \mathrm{[m/s]}$ とします。持ち上げる力は重力 $9.8\,m\ \mathrm{[N]}$ なので、仕事率は力と速度の積です。これを効率 $\eta$ で割ると、所要出力が求まります。

$$\begin{aligned} P_L &= 9.8\,m \times v \ \mathrm{[W]} \\ P &= \frac{9.8\,mv}{\eta} \ \mathrm{[W]} \end{aligned}$$

質量や速度の単位が違うときは、次のようにそろえます。速度 $v$ が m/min で与えられたら、60 で割って m/s に直してから代入します。

質量 m	速度 v	出力 P
kg	m/s	W
t	m/s	kW
kg	m/min	W（÷ 60）
t	m/min	kW（÷ 60）

解答と解説を見る

上げる質量は、おもりを引いた差です。

$$m = 1000 + 800 - 1300 = 500\ \mathrm{kg}$$$$\begin{aligned} P &= \frac{9.8\,mv}{\eta} \\ &= \frac{9.8 \times 500 \times 2.0}{0.8} \\ &= 12250\ \mathrm{W} \end{aligned}$$

質量を t（$m = 0.5\ \mathrm{t}$）にしても、$\dfrac{9.8 \times 0.5 \times 2.0}{0.8} = 12.25\ \mathrm{kW}$ で同じです。

答え：12.25 kW

ポンプ・送風機の所要出力の求め方

ポンプの所要出力

ポンプは、水を低い所から高い所へ持ち上げます。1秒あたり $Q\ \mathrm{[m^3/s]}$ の水（質量は $1000\,Q\ \mathrm{kg}$）を高さ $H\ \mathrm{[m]}$ まで上げるとき、水の重さは $1000 \times 9.8 \times Q\ \mathrm{[N]}$ なので、仕事率は次のとおりです。

$$\begin{aligned} P_L &= 1000 \times 9.8 \times Q \times H \ \mathrm{[W]} \\ &= 9.8\,QH \ \mathrm{[kW]} \end{aligned}$$

これを効率 $\eta$ で割り、余裕係数 $k$ を掛けたものが、電動機の所要出力です。

$$P = \frac{9.8\,QHk}{\eta} \ \mathrm{[kW]}$$

ここで $H$ は全揚程で、2つの水面の高さの差（実揚程）に、管の摩擦などで失う損失水頭を足した値です（図5）。流量 $Q$ が m³/min で与えられたら、60 で割って m³/s に直します。

水力発電の出力 $9.8QH\eta$（水力発電の出力の求め方）と式の形は似ていますが、発電は効率を掛け、ポンプは効率で割ります。揚水発電でポンプが使う電力も、同じ考え方で効率で割って求めます（揚水発電とは）。

1バルブ2配管3ポンプ4継手カバー5電動機

1. バルブ　水の量を絞る弁
2. 配管　水の通り道
3. ポンプ　水に圧力を与える
4. 継手カバー　電動機の軸とポンプの軸をつなぐ部分
5. 電動機　ポンプを回す

送風機の所要出力

送風機は、空気を流量 $Q\ \mathrm{[m^3/s]}$、圧力（風圧）$p\ \mathrm{[Pa]}$ で送り出します。仕事率は、流量と圧力の積です。

$$P = \frac{Qp}{\eta} \ \mathrm{[W]}$$

ポンプの式と同じ形です。水の圧力は $9800\,H\ \mathrm{[Pa]}$ なので、$Q \times 9800\,H = 9.8\,QH\ \mathrm{[kW]}$ と同じ量になります。風圧が kPa なら、結果は kW になります。

1送風機2箱形の部分3ダクト4支え

1. 送風機　傘形のカバーの内側で空気を送る
2. 箱形の部分　ダクトにつながる
3. ダクト　空気の通り道
4. 支え　ダクトを支える

3つの負荷の式を、単位とあわせて見比べます。

負荷	所要出力	結果
巻上機	9.8mv/η	W
ポンプ	9.8QH/η	kW
送風機	Qp/η	W

$m$ は kg、$v$ は m/s、$Q$ は m³/s、$H$ は m、$p$ は Pa のときです。単位をそろえれば、あとは代入するだけです。

解答と解説を見る

流量を m³/s に直し、全揚程を求めます。

$$\begin{aligned} Q &= \frac{3}{60} = 0.05\ \mathrm{m^3/s} \\ H &= 20 + 2 = 22\ \mathrm{m} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} P &= \frac{9.8\,QHk}{\eta} \\ &= \frac{9.8 \times 0.05 \times 22 \times 1.2}{0.7} \\ &= 18.48\ \mathrm{kW} \end{aligned}$$

余裕係数を掛ける前は $15.4\ \mathrm{kW}$ です。

答え：18.48 kW

トルクと負荷のトルク特性

電動機の軸が出す出力 $P\ \mathrm{[W]}$、トルク $T\ \mathrm{[N\cdot m]}$、回転速度 $N\ \mathrm{[min^{-1}]}$ には、次の関係があります。角速度は $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}\ \mathrm{[rad/s]}$ です。

$$\begin{aligned} P &= \omega T = \frac{2\pi N}{60}\,T \\ T &= \frac{60\,P}{2\pi N} \doteqdot 9.55\,\frac{P}{N} \end{aligned}$$

出力が同じなら、回転速度が低いほど大きなトルクが要ります。なお、電動機が出すトルクの式（直流電動機では磁束と電機子電流の積に比例）は、直流電動機の速度制御で扱いました。ここでは、負荷が必要とするトルクの側を見ます。

負荷は、回転速度に対するトルクの変わり方で、3つに分けられます（図8）。

種類	例	トルク
定トルク	巻上機	一定
二乗トルク	ポンプ・送風機	N²に比例
定出力	巻取機	1/N に比例

• 定トルク負荷は、回転速度が変わってもトルクが一定です。出力は $N$ に比例します。重さを持ち上げる巻上機やベルトコンベアがこれに当たります（図9）。
• 二乗トルク負荷は、トルクが $N^2$ に比例し、出力は $N^3$ に比例します。羽根車を回すポンプや送風機です。
• 定出力負荷は、出力が一定で、トルクは $N$ に反比例します。

1電動機と減速機2ベルト3砕石4ローラ5架台

1. 電動機と減速機　ベルトを駆動する
2. ベルト　砕石をのせて上へ運ぶ
3. 砕石　運ぶ荷
4. ローラ　ベルトを支える
5. 架台　鉄骨でコンベアを支える

解答と解説を見る

角速度を求めます。

$$\omega = \frac{2\pi \times 1450}{60} = 151.8\ \mathrm{rad/s}$$$$\begin{aligned} T &= \frac{P}{\omega} \\ &= \frac{15000}{151.8} \\ &= 98.8\ \mathrm{N\cdot m} \end{aligned}$$

定トルクなら、出力は $N$ に比例します。$N$ が半分（$725 = 1450 \div 2$）なので、出力も半分です。

$$P' = 15 \times \frac{725}{1450} = 7.5\ \mathrm{kW}$$

答え：98.8 N·m、7.5 kW

加速するときのトルクとはずみ車効果

負荷を加速するときは、負荷を回すトルクのほかに、回転体の慣性に打ち勝つ加速トルクが要ります。慣性モーメントを $J\ \mathrm{[kg\cdot m^2]}$ とすると、角加速度 $\dfrac{d\omega}{dt}$ に比例します。

$$T_a = J\,\frac{d\omega}{dt}$$

はずみ車効果 $GD^2\ \mathrm{[kg\cdot m^2]}$（$G$ は質量、$D$ は直径に当たる長さ）は、回転体の回しにくさを表す量で、$J = \dfrac{GD^2}{4}$ の関係があります。$\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$ を入れると、次の式になります。

$$T_a = \frac{GD^2}{4} \cdot \frac{2\pi}{60} \cdot \frac{dN}{dt}$$

$GD^2$ が大きいほど、同じ時間で速度を上げるのに大きなトルクが要ります。

回転速度を下げたときの出力（3乗則）

ポンプや送風機は、インバータで電動機の回転速度を下げて、流量を調節できます。二乗トルク負荷では、回転速度 $N$ を $a$ 倍にすると、風量は $a$ 倍、風圧は $a^2$ 倍になり、出力は $Q \times p$ なので $a^3$ 倍になります（効率は変わらないとします）。

$$\begin{aligned} Q' &= aQ \\ p' &= a^2 p \\ P' &= \frac{Q'p'}{\eta} = a^3 P \end{aligned}$$

トルクは $\dfrac{P'}{\omega'} = \dfrac{a^3 P}{a\omega} = a^2 T$ で、二乗トルクと合っています。$a = 0.8$ なら、風量 80 %、風圧 64 %、出力は $0.8^3 = 0.512$ で約 51 % です（図10）。

ダンパや弁で絞って流量を減らす方法では、回転速度が変わらないので、出力はあまり減りません。回転速度を下げる方が、出力を大きく減らせます。

解答と解説を見る

(1) 風圧を Pa に直して、$p = 2000\ \mathrm{Pa}$ とします。

$$P = \frac{Qp}{\eta} = \frac{10 \times 2000}{0.8} = 25000\ \mathrm{W}$$

(2) 風量は $a$ 倍、風圧は $a^2$ 倍です。

$$\begin{aligned} Q' &= 0.8 \times 10 = 8\ \mathrm{m^3/s} \\ p' &= 0.8^2 \times 2000 = 1280\ \mathrm{Pa} \\ P' &= \frac{8 \times 1280}{0.8} = 12800\ \mathrm{W} \end{aligned}$$

$25 \times 0.8^3 = 12.8\ \mathrm{kW}$ と一致します。

答え：(1) 25 kW、(2) 8 m³/s、1,280 Pa、12.8 kW

よくある質問

所要出力と電動機の定格出力は同じですか。

違います。所要出力は、負荷から計算して求めた「必要な出力」です。定格出力は、電動機の銘板に書かれた、その電動機が出せる出力です。計算した所要出力以上で、いちばん小さい標準の定格出力を選びます。

エレベーターの電動機が小さくて済むのはなぜですか。

つり合いおもりが、かごと積載の重さの一部を受け持つからです。電動機が持ち上げるのは、かごと積載からおもりを引いた差の分だけなので、おもりがない場合より出力が小さくて済みます。

ポンプの式の H は、実揚程だけでよいですか。

実揚程だけではなく、全揚程を使います。2つの水面の高さの差（実揚程）に、管の摩擦などによる損失水頭を足した値です。問題文に損失水頭が書かれていたら、足し忘れないようにします。

公式を使うとき、間違えやすいのはどこですか。

効率は、電動機やポンプのように電気を受けて仕事をする側では割り、発電機のように仕事を電気に変える側では掛けます。単位も要注意です。質量が t なら出力は kW、kg なら W になります。速度や流量が毎分で与えられたら、60 で割って毎秒に直します。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

電動機の所要出力は、負荷の仕事率とどんな関係ですか？

負荷の仕事率を効率 $\eta$ で割った値です。余裕係数 $k$ を掛けて電動機を選びます。

エレベーターの所要出力の式と、$m$ は何を表しますか？

$P = \dfrac{9.8\,mv}{\eta}\ \mathrm{[W]}$ です。$m$ は、かご ＋ 積載 − おもりの質量 [kg] です。

ポンプの所要出力の式と、$H$ は何ですか？

$P = \dfrac{9.8\,QHk}{\eta}\ \mathrm{[kW]}$ です。$H$ は、実揚程に損失水頭を足した全揚程です。

送風機の所要出力の式は？

$P = \dfrac{Qp}{\eta}\ \mathrm{[W]}$ です。$Q$ は m³/s、$p$ は Pa で入れます。

出力とトルクの関係は？

$P = \omega T = \dfrac{2\pi N}{60}\,T$ です。$T \doteqdot 9.55\,\dfrac{P}{N}$（$P$ は W）です。

二乗トルク負荷で、回転速度を 80 % にすると、出力は何倍ですか？

$0.8^3 = 0.512$ 倍です。風量は 0.8 倍、風圧は 0.64 倍になります。

まとめ

• 所要出力は、負荷の仕事率を効率 $\eta$ で割った値。余裕係数 $k$ を掛けて電動機を選ぶ
• エレベーターは $\dfrac{9.8\,mv}{\eta}$。$m$ は、かご ＋ 積載 − おもり
• ポンプは $\dfrac{9.8\,QHk}{\eta}\ \mathrm{[kW]}$、送風機は $\dfrac{Qp}{\eta}$。$H$ は全揚程
• $P = \omega T$ で、負荷は定トルク・二乗トルク・定出力に分けられる
• 二乗トルク負荷は、回転速度を $a$ 倍にすると、出力が $a^3$ 倍になる

次は、三相誘導電動機のしくみとすべりで電動機の回転速度とトルクを、直流電動機の速度制御で回転速度の変え方を確かめましょう。