電圧変動率とは｜変圧器の近似式と力率による違いを例題つきで図解

変圧器の等価回路の記事では、巻線の抵抗とリアクタンスを $r$、$x$ にまとめた簡易等価回路を作りました。この $r$、$x$ に負荷電流が流れると電圧降下が生じ、遅れ力率の負荷では、二次側の端子電圧が無負荷のときより低くなります。その変わり方を、定格二次電圧に対する百分率で表したものが電圧変動率 $\varepsilon$ です。電験三種では、百分率抵抗降下 $p$、百分率リアクタンス降下 $q$、負荷の力率 $\cos\theta$ から、近似式 $\varepsilon \fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta$ で求めるのが基本です。この記事では、定義、近似式の導き方、力率による違い、例題を順に確認します。

• 電圧変動率とは
  • 無負荷電圧 $V_{20}$ と定格電圧 $V_{2n}$ の差を、$V_{2n}$ に対する百分率で表したもの
• 近似式
  • ベクトル図の横成分から $\varepsilon \fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta$
• $p$・$q$ の求め方
  • $p = rI/V_{2n} \times 100$、$q = xI/V_{2n} \times 100$、$\%Z = \sqrt{p^2 + q^2}$
• 力率による違い
  • 遅れで大きく、力率 1 で $p$、進みで小さく（負にもなる）。最大値は $\%Z$
• 例題と間違えやすいところ
  • $p$、$q$、$\sin\theta$、$\varepsilon$、$V_{20}$ の順に解く

電圧変動率とは？定義と二次電圧が下がる理由

電圧変動率とは、変圧器の一次電圧を一定にしたまま、定格の負荷をつないだ状態から負荷を切り離したとき、二次側の端子電圧がどれだけ変わるかを百分率で表したものです。式で書くと、次のとおりです。

$$\varepsilon = \dfrac{V_{20} - V_{2n}}{V_{2n}} \times 100\ \mathrm{[\%]}$$

• $V_{2n}$：定格負荷（定格電流が流れる負荷）をつないだときの二次電圧。定格二次電圧
• $V_{20}$：一次電圧はそのままで、負荷を切り離した無負荷のときの二次電圧

分母は $V_{20}$ ではなく、定格二次電圧 $V_{2n}$ です。

家庭や工場で使う電気は、変圧器の二次側から送られてきます（図1）。使う電気が増えると二次電流が増え、変圧器の巻線の抵抗とリアクタンスによる電圧降下も増えます。そのぶん、負荷をつないだときの端子電圧は、無負荷のときより低くなります。

1柱上変圧器2引込線3引込口

1. 柱上変圧器　配電用の変圧器
2. 引込線　二次側から家へ電気を送る
3. 引込口　家の中へ入る位置

無負荷のときの電圧 $V_{20}$ と、定格負荷のときの電圧 $V_{2n}$ を並べると、図2のようになります。この差が小さいほど、負荷が変わっても電圧が安定している変圧器です。

身近なところでは、コンセントの電圧をテスターで測ると、使っている電気の量によって値が変わることがあります（図3）。ただし、この変化には、配電線や屋内配線の電圧降下も含まれます。電圧変動率が表すのは、そのうち変圧器の内部で生じる電圧降下の分だけです。

1コンセント2測定棒3テスター

1. コンセント　電圧を測る場所
2. 測定棒　穴に差し込んで測る
3. テスター　電圧を読み取る

電圧変動率の近似式：ベクトル図から導く

電圧変動率は、等価回路とベクトル図から求められます。二次側へ換算した簡易等価回路を、図4に示します。励磁回路は、励磁電流が負荷電流に比べてごく小さいので省いてあります。

定格負荷のとき、負荷電流 $\dot I$ は定格電流で、端子電圧は $\dot V_{2n}$ です。無負荷電圧は、この端子電圧に $r$ と $x$ の電圧降下を足したものになります。

$$\dot V_{20} = \dot V_{2n} + (r + jx)\dot I$$

これを、$\dot V_{2n}$ を基準にしたベクトル図に描きます（図5）。電流 $\dot I$ は、力率角 $\theta$ だけ遅れているとします。

• $rI$ は、電流と同じ向き
• $xI$ は、電流より 90° 進んだ向き

$\dot V_{20}$ は、$\dot V_{2n}$ にこの二つを足したものです。その横成分と縦成分は、次のとおりです。

$$\begin{gathered} \text{横成分} = V_{2n} + rI\cos\theta + xI\sin\theta \\ \text{縦成分} = xI\cos\theta - rI\sin\theta \end{gathered}$$

縦成分は $V_{2n}$ に比べてごく小さいので、$V_{20}$ の大きさは横成分とほぼ等しいと考えます。すると、$V_{20} - V_{2n} \fallingdotseq rI\cos\theta + xI\sin\theta$ です。これを $V_{2n}$ で割って 100 を掛けると、電圧変動率が次のように出ます。

$$\begin{aligned} \varepsilon &\fallingdotseq \dfrac{rI\cos\theta + xI\sin\theta}{V_{2n}} \times 100 \\ &= \dfrac{rI}{V_{2n}} \times 100 \cdot \cos\theta \\ &\quad + \dfrac{xI}{V_{2n}} \times 100 \cdot \sin\theta \end{aligned}$$

ここで、$p$ と $q$ を次のように定めます。

$$\begin{gathered} p = \dfrac{rI}{V_{2n}} \times 100\ \mathrm{[\%]} \\ q = \dfrac{xI}{V_{2n}} \times 100\ \mathrm{[\%]} \end{gathered}$$

すると、電圧変動率の近似式が得られます。

$$\varepsilon \fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta\ \mathrm{[\%]}$$

縦成分まで含めた厳密な値との差は、後の例題1で確かめます。

百分率抵抗降下 p と百分率リアクタンス降下 q の求め方

$p$ は、定格電流が流れたときの抵抗 $r$ の電圧降下が、定格電圧の何 % にあたるかを表します。$q$ は、リアクタンス $x$ の電圧降下について、同じ割合を表します。それぞれ、百分率抵抗降下、百分率リアクタンス降下といいます。

$p$ と $q$ は、一次側で計算しても二次側で計算しても、同じ値になります。一次換算すると、抵抗は $a^2$ 倍、電流は $1/a$ 倍、電圧は $a$ 倍になり、次のように打ち消し合うからです。

$$\dfrac{a^2 r \times (I/a)}{a V_{2n}} = \dfrac{rI}{V_{2n}}$$

$p$ と $q$ を直角をはさむ二辺とすると、斜辺が百分率インピーダンス降下 $\%Z$ です（図6）。$\%Z$ については、パーセントインピーダンスでくわしく扱っています。

$$\%Z = \sqrt{p^2 + q^2}$$

図6の例では、$p = 1.2\ \mathrm{[\%]}$、$q = 1.6\ \mathrm{[\%]}$ なので、$\%Z = \sqrt{1.2^2 + 1.6^2} = 2.0\ \mathrm{[\%]}$ です。

問題では、$p$、$q$ が次のような形で与えられます。

与えられるもの	$p$、$q$、$\%Z$ の求め方
$r$、$x$ と定格電流・定格電圧	$p = rI/V_{2n} \times 100$、$q = xI/V_{2n} \times 100$
インピーダンスワットと定格容量	$p$ = インピーダンスワット ÷ 定格容量 × 100
インピーダンス電圧と定格電圧	$\%Z$ = インピーダンス電圧 ÷ 定格電圧 × 100
$p$ と $\%Z$	$q = \sqrt{\%Z^2 - p^2}$

インピーダンスワットは、短絡試験で定格電流を流したときの電力で、ほぼ巻線の抵抗で消費される銅損 $rI^2$ にあたります。これを定格容量 $V_{2n}I$ で割ると、$rI/V_{2n}$ となり、$p$ に一致します。インピーダンス電圧は、定格電流を流すのに必要な電圧 $ZI$ です。短絡試験は、この $p$、$q$ を測る試験です。

力率で変わる電圧変動率：遅れ・力率 1・進み

近似式の中で、負荷によって変わるのは $\theta$ です。図7は、図5のベクトル図を、力率ごとに並べたものです。

• 遅れ力率（誘導電動機など）：電流が遅れ、$\sin\theta > 0$ です。$p\cos\theta$ も $q\sin\theta$ も正なので、$\varepsilon$ は大きくなり、二次電圧は下がります。
• 力率 1：$\theta = 0$、$\sin\theta = 0$ なので、$\varepsilon = p$ です。リアクタンスの影響は出ません。
• 進み力率（進相コンデンサなど）：$\sin\theta < 0$ なので、$q\sin\theta$ は負です。$\varepsilon$ は小さくなり、負になることもあります。

$p = 1.2\ \mathrm{[\%]}$、$q = 1.6\ \mathrm{[\%]}$ の変圧器（$\%Z = 2.0\ \mathrm{[\%]}$）で、力率を変えて計算すると、次のようになります。

負荷の力率	$\sin\theta$	$\varepsilon$ の計算	$\varepsilon\ \mathrm{[\%]}$
0.6（遅れ）	$0.8$	$1.2 \times 0.6 + 1.6 \times 0.8$	$2.0$
0.8（遅れ）	$0.6$	$1.2 \times 0.8 + 1.6 \times 0.6$	$1.92$
1	$0$	$1.2 \times 1 + 1.6 \times 0$	$1.2$
0.8（進み）	$-0.6$	$1.2 \times 0.8 + 1.6 \times (-0.6)$	$0$
0.6（進み）	$-0.8$	$1.2 \times 0.6 + 1.6 \times (-0.8)$	$-0.56$

$\varepsilon$ が負のとき、$V_{20} < V_{2n}$ です。負荷をつなぐと、二次電圧はかえって上がります。

電圧変動率が最大になる力率

$\varepsilon$ を $\theta$ の関数として見ると、遅れ力率のどこかで最大になります。$p\cos\theta + q\sin\theta$ は、三角関数の合成で次のように書けます。

$$\begin{aligned} & p\cos\theta + q\sin\theta \\ &= \%Z\left(\dfrac{p}{\%Z}\cos\theta + \dfrac{q}{\%Z}\sin\theta\right) \\ &= \%Z\left(\cos\varphi\cos\theta + \sin\varphi\sin\theta\right) \\ &= \%Z\cos(\theta - \varphi) \end{aligned}$$

$\varphi$ は図6の三角形の角で、$\cos\varphi = p/\%Z$、$\sin\varphi = q/\%Z$ です。$\theta = \varphi$ のとき $\cos(\theta - \varphi) = 1$ となり、$\varepsilon$ は最大値 $\%Z$ になります（図8）。

負荷が定格より軽いとき

実際の変圧器は、定格より軽い負荷で使うことも多くあります。電流が定格の $\alpha$ 倍（負荷率 $\alpha$）なら、$rI$ も $xI$ も $\alpha$ 倍になるので、電圧変動率も $\alpha$ 倍です。

$$\varepsilon_\alpha \fallingdotseq \alpha\,(p\cos\theta + q\sin\theta)$$

図8の例で力率 0.6（遅れ）のとき、定格の半分の電流（$\alpha = 0.5$）なら、$\varepsilon_\alpha = 0.5 \times 2.0 = 1.0\ \mathrm{[\%]}$ です。

電圧の下がりを抑える方法

電圧が下がる原因は、遅れの電流が $r$、$x$ を流れることでした。そこで、次の二つで下がりを抑えます。

• 力率を改善する：進相コンデンサをつなぐと、変圧器を流れる遅れ電流が減ります。$I$ が小さくなり、$\sin\theta$ も小さくなるので、電圧降下が減ります。くわしくは力率改善の記事で確認できます。
• タップで巻数比を変える：$\varepsilon$ 自体は $p$、$q$ で決まる変圧器の性質です。ただし、巻数比を切り換えて二次電圧を持ち上げれば、下がった分を補えます。負荷の変化に合わせてこの切り換えを行う装置を、負荷時タップ切換装置といい、大きな変圧器に取り付けられているものがあります（図9）。巻数比の基本は、変圧器の巻数比で確認できます。

1ブッシング2円筒形容器3操作箱4放熱器

1. ブッシング　外部の電線と結ぶ端子
2. 円筒形容器　切換装置を収める例
3. 操作箱　切り換えの操作や制御
4. 放熱器　本体の熱を逃がす

電圧変動率の例題と間違えやすいところ

電圧変動率の問題は、次の手順で解きます（図10）。

解答と解説を見る

力率 $\cos\theta = 0.8$（遅れ）なので、$\sin\theta = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$ です。近似式に入れます。

$$\begin{aligned} \varepsilon &\fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta \\ &= 1.0 \times 0.8 + 3.0 \times 0.6 \\ &= 0.8 + 1.8 = 2.6\ \mathrm{[\%]} \end{aligned}$$

無負荷電圧は $V_{20} = V_{2n}(1 + \varepsilon/100)$ です。

$$V_{20} = 200 \times (1 + 0.026) = 205.2\ \mathrm{[V]}$$

厳密な式では、$V_{2n}$ を 1 とおいて、横成分と縦成分から $V_{20}$ を求めます。横成分は $1 + 0.026$、縦成分は $(q\cos\theta - p\sin\theta)/100 = (3.0 \times 0.8 - 1.0 \times 0.6)/100 = 0.018$ です。

$$\begin{aligned} \dfrac{V_{20}}{V_{2n}} &= \sqrt{1.026^2 + 0.018^2} \\ &= \sqrt{1.053} \fallingdotseq 1.0262 \end{aligned}$$

厳密な $\varepsilon$ は約 $2.62\ \mathrm{[\%]}$（$V_{20} \fallingdotseq 205.2\ \mathrm{[V]}$）で、近似式との差は 0.02 ポイントほどです。近似式で十分に求められます。

答え：$\varepsilon = 2.6\ \mathrm{[\%]}$、$V_{20} = 205.2\ \mathrm{[V]}$

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どの場合も $\cos\theta$ から $\sin\theta$ を求め、近似式に入れます。

$$\begin{aligned} \text{(1)}\ \ \varepsilon &= 2.0 \times 0.6 + 3.0 \times 0.8 \\ &= 3.6\ \mathrm{[\%]} \\ \text{(2)}\ \ \varepsilon &= 2.0 \times 1 + 3.0 \times 0 \\ &= 2.0\ \mathrm{[\%]} \\ \text{(3)}\ \ \varepsilon &= 2.0 \times 0.6 + 3.0 \times (-0.8) \\ &= -1.2\ \mathrm{[\%]} \end{aligned}$$

(3) は進み力率なので、$\sin\theta = -0.8$ とします。$\varepsilon$ が負なので、$V_{20} < V_{2n}$ です。

$$V_{20} = 6600 \times (1 - 0.012) = 6520.8\ \mathrm{[V]}$$

負荷をつなぐと、二次電圧は約 $6520.8\ \mathrm{[V]}$ から $6600\ \mathrm{[V]}$ へ、上がります。

答え：(1) $3.6\ \mathrm{[\%]}$、(2) $2.0\ \mathrm{[\%]}$、(3) $-1.2\ \mathrm{[\%]}$（二次電圧は上がる）

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(1) $\%Z$ は、$p$ と $q$ を二辺とする直角三角形の斜辺です。

$$\%Z = \sqrt{0.5^2 + 1.2^2} = \sqrt{1.69} = 1.3\ \mathrm{[\%]}$$

(2) 最大になるのは $\cos\theta = p/\%Z$ のときで、最大値は $\%Z$ です。

$$\begin{gathered} \cos\theta = \dfrac{0.5}{1.3} \fallingdotseq 0.385\ \text{（遅れ）} \\ \varepsilon_{\max} = \%Z = 1.3\ \mathrm{[\%]} \end{gathered}$$

(3) $\sin\theta = 0.6$ なので、次のようになります。

$$\varepsilon = 0.5 \times 0.8 + 1.2 \times 0.6 = 1.12\ \mathrm{[\%]}$$

最大値 $1.3\ \mathrm{[\%]}$ より小さい値になっています。

答え：(1) $1.3\ \mathrm{[\%]}$、(2) 力率 約 $0.385$（遅れ）で $1.3\ \mathrm{[\%]}$、(3) $1.12\ \mathrm{[\%]}$

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(1) 巻数比は $a = 6600/220 = 30$ なので、$a^2 = 900$ です。一次側へ換算した合成抵抗と合成リアクタンスは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} r &= r_1 + a^2 r_2 \\ &= 3.0 + 900 \times 0.0040 = 6.6\ \mathrm{[\Omega]} \\ x &= x_1 + a^2 x_2 \\ &= 6.0 + 900 \times 0.0080 = 13.2\ \mathrm{[\Omega]} \end{aligned}$$

一次側の定格電圧 $6600\ \mathrm{[V]}$、定格電流 $10\ \mathrm{[A]}$ で、$p$ と $q$ を求めます。

$$\begin{gathered} p = \dfrac{6.6 \times 10}{6600} \times 100 = 1.0\ \mathrm{[\%]} \\ q = \dfrac{13.2 \times 10}{6600} \times 100 = 2.0\ \mathrm{[\%]} \end{gathered}$$

(2) $\sin\theta = 0.6$ なので、次のようになります。

$$\varepsilon = 1.0 \times 0.8 + 2.0 \times 0.6 = 2.0\ \mathrm{[\%]}$$

(3) 定格負荷のときの二次電圧が $V_{2n} = 220\ \mathrm{[V]}$ なので、次のようになります。

$$V_{20} = 220 \times (1 + 0.020) = 224.4\ \mathrm{[V]}$$

答え：(1) $p = 1.0\ \mathrm{[\%]}$、$q = 2.0\ \mathrm{[\%]}$、(2) $2.0\ \mathrm{[\%]}$、(3) $224.4\ \mathrm{[V]}$

よく間違える点を、次の表にまとめます。

間違い	正しくは
進み力率でも $q\sin\theta$ を足す	進みのときは $\sin\theta$ を負にする
$p$ に $\sin\theta$、$q$ に $\cos\theta$ を掛ける	$p$（抵抗）には $\cos\theta$、$q$（リアクタンス）には $\sin\theta$ を掛ける。力率 1 なら $\varepsilon = p$
分母を $V_{20}$ にする	分母は定格二次電圧 $V_{2n}$
$\%Z$ と $\varepsilon$ を同じものとする	$\varepsilon$ は力率で変わり、その最大値が $\%Z$

よくある質問

電圧変動率が負になることはありますか？

あります。進み力率の負荷では $q\sin\theta$ が負になり、その大きさが $p\cos\theta$ を上回ると、$\varepsilon$ が負になります。このとき $V_{20} < V_{2n}$ で、負荷をつないだほうが二次電圧は高くなります。たとえば $p = 1.2\ \mathrm{[\%]}$、$q = 1.6\ \mathrm{[\%]}$ で力率 0.6（進み）なら、$\varepsilon = -0.56\ \mathrm{[\%]}$ です。

電圧変動率は小さいほどよいのですか？

負荷が変わっても二次電圧が安定するので、電圧の面では小さいほうが望ましいです。ただし、$\varepsilon$ を小さくするには $p$、$q$ を小さくします。つまり $\%Z$ を小さくします。すると、短絡事故のときに流れる短絡電流が大きくなります。短絡電流は定格電流の $100/\%Z$ 倍なので、電圧変動率と短絡電流は、トレードオフの関係にあります。くわしくはパーセントインピーダンスの記事で確認できます。

近似式と厳密な式の、どちらで解けばよいですか？

問題文に式や条件が書かれていれば、それに従います。書かれていなければ、近似式 $p\cos\theta + q\sin\theta$ で解くのが基本です。縦成分を含めた厳密な値との差は、例題1で約 0.02 ポイントでした。

%Z と電圧変動率は、何が違うのですか？

$\%Z$ は、定格電流が流れたときの電圧降下の大きさだけを表し、力率には関係しません。電圧変動率は、その電圧降下のうち、電圧の大きさを実際に変える分を表します。力率によって値が変わり、遅れ力率で $\cos\theta = p/\%Z$ のとき、最大値 $\%Z$ になります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

電圧変動率 $\varepsilon$ の定義式は何ですか？ 分母は何ですか？

$\varepsilon = (V_{20} - V_{2n})/V_{2n} \times 100\ \mathrm{[\%]}$ です。分母は定格二次電圧 $V_{2n}$ です。

電圧変動率の近似式は何ですか？ 進み力率ではどう扱いますか？

$\varepsilon \fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta$ です。進み力率では $\sin\theta$ を負にします。

$p$、$q$、$\%Z$ は、それぞれ何を表し、どう求めますか？

$p = rI/V_{2n} \times 100$ は抵抗の電圧降下、$q = xI/V_{2n} \times 100$ はリアクタンスの電圧降下の割合です。$\%Z = \sqrt{p^2 + q^2}$ です。

力率 1 のとき $\varepsilon$ は何になりますか？ また、$\varepsilon$ が最大になる力率と最大値は？

力率 1 では $\varepsilon = p$ です。最大になるのは遅れ力率 $\cos\theta = p/\%Z$ のときで、最大値は $\%Z$ です。

$p = 1.0\ \mathrm{[\%]}$、$q = 2.0\ \mathrm{[\%]}$ の変圧器に、力率 $0.6$（遅れ）の定格負荷をつなぐと、$\varepsilon$ はいくらですか？

$\sin\theta = 0.8$ なので、$\varepsilon = 1.0 \times 0.6 + 2.0 \times 0.8 = 2.2\ \mathrm{[\%]}$ です。

$\varepsilon$ が負になるのは、どんな負荷のときですか？ そのとき二次電圧は無負荷より高いですか、低いですか？

進み力率の負荷のときです。$V_{20} < V_{2n}$ なので、二次電圧は無負荷のときより高くなります。

まとめ

• 電圧変動率 $\varepsilon$ は、無負荷電圧 $V_{20}$ と定格電圧 $V_{2n}$ の差を、$V_{2n}$ に対する百分率で表したもの
• 近似式は $\varepsilon \fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta$。進み力率では $\sin\theta$ を負にする
• $p$、$q$ は、定格電流が流れたときの $r$、$x$ の電圧降下の割合で、一次側でも二次側でも同じ値
• 力率 1 で $\varepsilon = p$。遅れ力率 $\cos\theta = p/\%Z$ のとき最大値 $\%Z$

求めるもの	式
電圧変動率	$\varepsilon = (V_{20} - V_{2n})/V_{2n} \times 100$
近似式	$\varepsilon \fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta$
$p$、$q$、$\%Z$	$p = rI/V_{2n} \times 100$、$q = xI/V_{2n} \times 100$、$\%Z = \sqrt{p^2 + q^2}$
最大の電圧変動率	$\cos\theta = p/\%Z$（遅れ）のとき $\varepsilon = \%Z$
無負荷電圧	$V_{20} = V_{2n}(1 + \varepsilon/100)$

次の記事では、変圧器の効率を扱います。簡易等価回路の考え方は、変圧器の等価回路に戻って確かめられます。$\%Z$ については、パーセントインピーダンスも合わせて確認してください。