電験三種 電力の公式一覧｜発電・変電・送配電・材料を単元ごとに整理

電力の問題は、設備の名前や図の読み方に加えて、水力の出力、電圧降下、短絡電流のような計算が出てきます。式の形と記号の意味を単元ごとに1か所で見られると、問題文から使う式を選びやすくなります。

この記事は、電験三種の電力で使う公式を、単元の順に並べた一覧です。各単元に、式、記号の意味、詳しい記事へのリンクを置きました。式の導き方や例題は、リンク先の記事で確認できます。

• 発電所・蓄電所
  • 水力・火力・原子力・太陽光・風力・蓄電池
  • 出力、熱効率、発電電力量の式
• 変電所
  • 変圧器・開閉設備・保護継電方式・調相設備
  • 変圧比、電圧変動率、効率、遮断容量
• 送電線路・配電線路
  • 電圧降下、短絡電流、地絡電流、力率改善
  • 送電と配電で、同じ形の式を使う
• 電気材料
  • 導電材料・絶縁材料・磁性材料
  • 抵抗、絶縁破壊の強さ、鉄損
• 公式の選び方
  • 求めるものと単位から、使う式を探す

電験三種 電力の公式一覧とは

この記事では、電験三種の電力の単元を、発電所、蓄電所、変電所、送電線路、配電線路、電気材料の6つに分けて、この順に式を並べます。図1に、扱う単元の地図を示します。

使い方は、式を探し、記号の意味と単位を確かめ、必要なら詳しい記事で導き方を読む、という順です。電力は、設備の仕組みを覚える単元が多く、式は一部の単元に集まっています。式が無い単元は、設備の名前と役割を短く書きました。

発電所と蓄電所の公式

発電所の式は、水力、火力、原子力、その他の発電（太陽光・風力）で、出力と効率を求める形が中心です。蓄電所は、電力量と効率の式を使います。水力から順に見ていきます。

水力発電

出力と有効落差

水の持つ力に、水車と発電機の効率を順に掛けると、発電機の出力になります。図2は、その流れです。

$$\begin{aligned} P_0 &= 9.8QH \\ P &= 9.8QH\eta_w\eta_g \\ H &= H_0 - h \end{aligned}$$

$P_0$ は水の持つ力 $\mathrm{[kW]}$、$P$ は発電機の出力 $\mathrm{[kW]}$、$Q$ は流量 $\mathrm{[m^3/s]}$、$H$ は有効落差 $\mathrm{[m]}$ です。$\eta_w$ は水車効率、$\eta_g$ は発電機効率、$H_0$ は総落差、$h$ は損失水頭です。詳しくは水力発電の出力の求め方、落差と流量とは、水力発電のしくみで確認できます。

水の流速と、運転時間 $t$ における発電電力量は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{2gH} \\ W &= Pt \end{aligned}$$

$v$ は流速 $\mathrm{[m/s]}$、$g$ は重力加速度、$W$ は発電電力量 $\mathrm{[kWh]}$、$t$ は時間 $\mathrm{[h]}$ です。

流量と流況曲線

流域に降った雨から、年平均の流量を見積もる式です。

$$Q = \frac{A \times P \times C}{365 \times 86400}$$

$Q$ は年平均流量 $\mathrm{[m^3/s]}$、$A$ は流域面積 $\mathrm{[m^2]}$、$C$ は流出係数です。この式の $P$ は、出力ではなく年降水量 $\mathrm{[m]}$ です。流量を大きさの順に並べた曲線の読み方は、流況曲線とはにあります。

水車と発電機の回転

$$\begin{aligned} N_s &= \frac{N\sqrt{P}}{H^{5/4}} \\ f &= \frac{pN}{120} \end{aligned}$$

$N_s$ は比速度、$N$ は回転速度 $\mathrm{[min^{-1}]}$、$P$ は水車の出力 $\mathrm{[kW]}$、$H$ は有効落差 $\mathrm{[m]}$ です。下の式は、$f$ が周波数 $\mathrm{[Hz]}$、$p$ が発電機の極数のときの関係です。水車の型ごとの使い分けは水車の種類と選び方、極数と回転速度は水車発電機とはで確認できます。

吸出し高さとキャビテーション

キャビテーションを避けるには、吸出し高さ $H_s$ を次の範囲にします。

$$\begin{aligned} H_s &< H_a - H_v \\ &{}- \frac{v_2^2 - v_3^2}{2g} \end{aligned}$$

$H_s$ は放水面からランナ出口までの高さ、$H_a$ は大気圧水頭、$H_v$ は飽和蒸気圧水頭です。$v_2$ はランナ出口、$v_3$ は吸出し管出口の流速です。キャビテーションとはの記事で、各項の意味を確かめられます。

速度調定率と水撃作用

$$\begin{aligned} R &= \frac{N_0 - N_n}{N_n} \times 100 \\ \delta &= \frac{N_{\max} - N_n}{N_n} \times 100 \\ \Delta p &= \rho a \Delta v \end{aligned}$$

$R$ は速度調定率 $\mathrm{[\%]}$、$N_0$ は定格出力から無負荷にしたときの速度、$N_n$ は定格速度です。$\delta$ は速度変動率で、$N_{\max}$ は負荷遮断のときの最大の速度です。$\Delta p$ は水撃作用による圧力の上昇、$\rho$ は水の密度、$a$ は圧力波の速さ、$\Delta v$ は流速の変化です。速度調定率とはで、調速機の仕組みと例題を確かめられます。

揚水発電

揚水の入力と、総合効率の式です。

$$\begin{aligned} P &= \frac{9.8QH}{\eta_p\eta_m} \\ \eta &= \frac{H_0 - h}{H_0 + h}\eta_t\eta_g\eta_p\eta_m \end{aligned}$$

$P$ は揚水のときの電動機の入力 $\mathrm{[kW]}$、$H$ は全揚程（実揚程に損失水頭を加えた高さ）です。$H_0$ は実揚程、$h$ は損失水頭、$\eta_p$ はポンプ効率、$\eta_m$ は電動機効率、$\eta_t$ は水車効率、$\eta_g$ は発電機効率です。揚水発電とはに、例題があります。水力の問題の型は、水力発電の正誤問題のポイント、水力発電の計算問題 型別演習①、型別演習②で練習できます。

火力発電

火力発電は、蒸気の持つ熱を、タービンで回転に変えます。熱効率は、各点の比エンタルピー $h\,\mathrm{[kJ/kg]}$ で表します。$h_1$ はタービン入口、$h_2$ はタービン出口（復水器入口）、$h_3$ は復水器出口（ポンプ入口）、$h_4$ はポンプ出口（ボイラ入口）です。

ランキンサイクルの熱効率

$$\begin{aligned} \eta &= \frac{(h_1 - h_2) - (h_4 - h_3)}{h_1 - h_4} \\ \eta &\fallingdotseq \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_3} \end{aligned}$$

下の式は、ポンプ仕事 $h_4 - h_3$ を小さいとみなして無視した形です。ポンプ仕事は、水の比体積を $v\,\mathrm{[m^3/kg]}$、ボイラの圧力を $p_1$、復水器の圧力を $p_2$ として、次のように近似できます。

$$h_4 - h_3 \fallingdotseq v(p_1 - p_2)$$

実際の膨張のタービン出口を $h_2'$ とすると、タービン内部効率は次の式です。

$$\eta_{\mathrm{ti}} = \frac{h_1 - h_2'}{h_1 - h_2}$$

ランキンサイクルとはで、T-s 線図とあわせて確かめられます。

熱効率と燃料消費量

$$\begin{aligned} \eta &= \frac{3600W}{BH} \\ B &= \frac{3600Pt}{\eta H} \end{aligned}$$

$W$ は発電電力量 $\mathrm{[kWh]}$、$B$ は燃料の消費量 $\mathrm{[kg]}$、$H$ は燃料の発熱量 $\mathrm{[kJ/kg]}$、$P$ は出力 $\mathrm{[kW]}$、$t$ は時間 $\mathrm{[h]}$ です。ここでの $H$ は、水力の落差ではなく発熱量です。

発電端効率と送電端効率

$$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{G}} &= \eta_b\eta_t\eta_g \\ \eta_{\mathrm{S}} &= \eta_{\mathrm{G}}(1 - L) \end{aligned}$$

$\eta_{\mathrm{G}}$ は発電端効率、$\eta_{\mathrm{S}}$ は送電端効率です。$\eta_b$ はボイラ効率、$\eta_t$ はタービン効率（熱サイクルの効率を含む）、$\eta_g$ は発電機効率、$L$ は所内率です。ガスタービンと蒸気タービンを組み合わせたコンバインドサイクルの熱効率は、次のとおりです。

$$\eta = \eta_{\mathrm{GT}} + (1 - \eta_{\mathrm{GT}})\eta_{\mathrm{ST}}$$

$\eta_{\mathrm{GT}}$ はガスタービンの熱効率、$\eta_{\mathrm{ST}}$ は排熱を蒸気サイクルで電気に変える効率です。火力発電の熱効率の求め方に、例題があります。

復水器の冷却水

$$Q = mc\Delta t$$

$Q$ は冷却水が受け取る熱量 $\mathrm{[kJ/s]}$、$m$ は冷却水の流量 $\mathrm{[kg/s]}$、$c$ は水の比熱 $\mathrm{[kJ/(kg \cdot K)]}$、$\Delta t$ は温度上昇 $\mathrm{[K]}$ です。設備の構成は、火力発電の仕組みと汽力発電の設備で確認できます。

原子力発電

原子力発電は、ウランの核分裂で出る熱で蒸気を作り、タービンを回します。核分裂の前後で、わずかに質量が減り、その分がエネルギーに変わります。

$$E = \Delta mc^2$$

$E$ は発生するエネルギー $\mathrm{[J]}$、$\Delta m$ は質量欠損 $\mathrm{[kg]}$、$c$ は光の速さ（約 $3.0 \times 10^8\,\mathrm{[m/s]}$）です。電気出力は、熱出力に熱効率を掛けた値です。沸騰水型と加圧水型の違いは、原子力発電の仕組みで確認できます。

その他の発電

太陽光発電

$$\begin{aligned} P &= VI \\ P_{\max} &= V_{\mathrm{pm}}I_{\mathrm{pm}} \\ \mathrm{FF} &= \frac{P_{\max}}{V_{\mathrm{oc}}I_{\mathrm{sc}}} \\ \eta &= \frac{P}{GA} \\ P &= GA\eta K \end{aligned}$$

$P_{\max}$ は最大出力で、$V_{\mathrm{pm}}$、$I_{\mathrm{pm}}$ はそのときの電圧と電流です。$\mathrm{FF}$ は曲線因子、$V_{\mathrm{oc}}$ は開放電圧、$I_{\mathrm{sc}}$ は短絡電流です。$A$ はパネルの面積 $\mathrm{[m^2]}$、$G$ は日射強度 $\mathrm{[kW/m^2]}$、$K$ は総合設計係数です。太陽光発電の仕組みと出力計算で、I-V 特性とあわせて確かめられます。

風力発電

$$\begin{aligned} P_0 &= \frac{1}{2}\rho Av^3 \\ P &= C_pP_0 \end{aligned}$$

$P_0$ は風の持つ力 $\mathrm{[W]}$、$\rho$ は空気の密度 $\mathrm{[kg/m^3]}$、$A$ は風車の回転面積 $\mathrm{[m^2]}$、$v$ は風速 $\mathrm{[m/s]}$、$C_p$ は出力係数です。$C_p$ の理論上の上限（ベッツ限界）は $16/27$（約 $0.593$）です。詳しくは風力発電の出力の求め方にあります。

蓄電池と蓄電所

蓄電池と蓄電所の単元は、電流、電圧、電力量の関係で計算できます。蓄電池の容量は、電流と時間の積で表し、電力量は電圧を掛けて求めます。

$$\begin{aligned} Q &= It \\ W &= VQ \\ t &= \frac{W}{P} \end{aligned}$$

$Q$ は容量 $\mathrm{[Ah]}$、$I$ は電流 $\mathrm{[A]}$、$t$ は時間 $\mathrm{[h]}$、$V$ は電圧 $\mathrm{[V]}$、$W$ は電力量 $\mathrm{[Wh]}$ です。$P$ を放電する電力 $\mathrm{[W]}$ とすると、放電できる時間が $t$ です。たとえば、$48\,\mathrm{[V]}$、$100\,\mathrm{[Ah]}$ の蓄電池は、$48 \times 100 = 4800\,\mathrm{[Wh]}$ の電力量です。

充電と放電の効率は、次の割合です。

$$\text{充放電効率} = \frac{\text{放電電力量}}{\text{充電電力量}} \times 100\,\mathrm{[\%]}$$

蓄電所では、蓄電池と、直流と交流を変換する装置を組み合わせて運用します。

変電所の公式

変電所は、送電の電圧を変圧器で変え、開閉設備と保護装置で系統を守る設備です。図3は、変電所に置かれる大型の変圧器です。

1ブッシング（碍子）2放熱器3コンサベータ4本体のタンク

1. ブッシング（碍子）　外の電線と巻線をつなぐ部分
2. 放熱器　油の熱を逃がす
3. コンサベータ　右上の円筒、油の量の変化を受ける
4. 本体のタンク　鉄心と巻線が入る

変電所の構成

変電所の単元は、式より、機器の役割と並びを覚える単元です。電線から入った電気は、断路器、遮断器を通って変圧器へ入り、電圧を変えて次の線路へ送られます。母線は、複数の線路をまとめる太い導体です。調相設備と避雷器も、変電所に置かれます。この単元は、式を載せていません。機器の並びは、変電所の役割と構成機器で確かめられます。

変圧器

変圧器の基本は、巻数比と、電圧、電流の関係です。損失を無視した理想変圧器で、次のとおりです。

$$\begin{aligned} a &= \frac{N_1}{N_2} = \frac{V_1}{V_2} \\ V_1I_1 &= V_2I_2 \\ E &= 4.44fN\Phi_m \end{aligned}$$

$a$ は巻数比、$N_1$、$N_2$ は一次と二次の巻数、$V_1$、$V_2$ は電圧、$I_1$、$I_2$ は電流です。$E$ は誘導起電力の実効値、$f$ は周波数、$\Phi_m$ は磁束の最大値です。詳しくは変圧器の巻数比と電圧・電流の関係で確認できます。

電圧変動率

$$\begin{aligned} \varepsilon &= \frac{V_{20} - V_{2n}}{V_{2n}} \times 100 \\ \varepsilon &\fallingdotseq p\cos\theta + q\sin\theta \end{aligned}$$

$V_{20}$ は無負荷のときの二次電圧、$V_{2n}$ は定格の二次電圧です。$p$ は百分率抵抗降下、$q$ は百分率リアクタンス降下、$\theta$ は負荷の力率角です。電圧変動率とはで、例題を確かめられます。

効率と最大効率

$$\eta = \frac{\alpha P_n\cos\theta}{\alpha P_n\cos\theta + P_i + \alpha^2P_c}$$

$\alpha$ は負荷率、$P_n$ は定格容量、$P_i$ は鉄損、$P_c$ は銅損です。効率が最大になるのは、鉄損と銅損が等しいときです。

$$\alpha = \sqrt{\frac{P_i}{P_c}}$$

変圧器の効率とはの記事で、全日効率まで確認できます。

V 結線

単相変圧器2台を V 結線にすると、三相を供給できます。1台の容量を $P_1$ とすると、次のとおりです。

$$S_V = \sqrt{3}VI = \sqrt{3}P_1$$

$V$ は線間電圧、$I$ は線電流です。変圧器の利用率は $\sqrt{3}/2$（約 $0.866$）、同じ変圧器3台の Δ 結線に対する出力の比は $1/\sqrt{3}$（約 $0.577$）です。結線の違いは、変圧器の結線にあります。負荷を分け合う条件は、変圧器の並行運転で確認できます。

開閉設備（遮断器・断路器）

遮断器は、負荷電流や故障電流を開閉でき、断路器は、電流が流れていないときだけ開閉できます。操作の順序は決まっています。

• 投入するとき：断路器を先に入れ、そのあとで遮断器を入れる
• 停止するとき：遮断器を先に切り、そのあとで断路器を切る

違いと消弧の方式は、遮断器と断路器の違いで確認できます。遮断器の定格遮断容量は、次の式です。

$$S_b = \sqrt{3}V_nI_b$$

$S_b$ は定格遮断容量、$V_n$ は定格電圧、$I_b$ は定格遮断電流です。たとえば $66\,\mathrm{[kV]}$、$25\,\mathrm{[kA]}$ なら、約 $2858\,\mathrm{[MV \cdot A]}$ です。定格遮断容量は、その場所の短絡容量以上のものを選びます。

保護継電方式

保護継電方式の単元は、継電器の名前と、何を検出して動作するかを覚えます。式は、変流器と計器用変圧器の変換だけです。

$$\begin{aligned} I_2 &= \frac{I_1}{k} \\ V_2 &= \frac{V_1}{k_v} \end{aligned}$$

$I_1$、$I_2$ は変流器の一次と二次の電流、$k$ は変流比です。$V_1$、$V_2$ は計器用変圧器の一次と二次の電圧、$k_v$ は変成比です。変流器の二次側は、開放してはいけません。計器用変圧器の二次側は、短絡してはいけません。継電器のしくみは、保護継電器の種類と役割にあります。

主な継電器と、検出するものは次のとおりです。

継電器	検出するもの
過電流継電器	設定値を超える電流
地絡継電器	地絡による電流
比率差動継電器	入力と出力の電流の差
距離継電器	電圧と電流の比
ブッフホルツ継電器	油入変圧器内のガスや油流

調相設備

調相設備は、無効電力を調整して、力率と電圧を保つ設備です。進相コンデンサは遅れの無効電力を補い、分路リアクトルは進みの無効電力を吸収します。同期調相機は、励磁を加減して、進みと遅れのどちらにも使えます。容量の計算は、配電線路の力率改善と同じ式です。力率改善と進相コンデンサの容量計算で確認できます。設備ごとの使い分けは、調相設備の種類と電圧調整にあります。

送電線路の公式

送電線路の式は、線路の電圧降下、故障電流、地絡電流の3つが中心です。図4は、三相3線式の1線分の等価回路で、電圧降下の式の記号を示します。

架空送電線路

がいし、架空地線、多導体など、線路の構成は架空送電線路の構成にあります。ここでは、計算に使う式をまとめます。

電線のたるみと実長

$$\begin{aligned} D &= \frac{WS^2}{8T} \\ L &= S + \frac{8D^2}{3S} \end{aligned}$$

$D$ はたるみ $\mathrm{[m]}$、$S$ は径間 $\mathrm{[m]}$、$T$ は水平張力 $\mathrm{[N]}$、$W$ は電線1mあたりの荷重 $\mathrm{[N/m]}$、$L$ は電線の実長 $\mathrm{[m]}$ です。詳しくは電線のたるみの計算と実長の求め方で確認できます。

線路定数

三相3線式の作用インダクタンスと作用静電容量の式です。

$$\begin{aligned} L &= 0.05 + 0.4605\log_{10}\frac{D_e}{r} \\ C &= \frac{0.02413}{\log_{10}(D_e/r)} \end{aligned}$$

$L$ は作用インダクタンス $\mathrm{[mH/km]}$、$C$ は作用静電容量 $\mathrm{[\mu F/km]}$、$r$ は電線の半径、$D_e$ は等価線間距離（3本の線間距離の幾何平均）です。$r$ と $D_e$ は同じ単位で入れます。$C$ の係数は、真空の誘電率から求めた概数で、参考書によって末尾の桁が少し違います。

地中送電線路

地中ケーブルは、架空線より静電容量が大きいので、充電電流が流れます。

$$\begin{aligned} I_c &= \omega CE \\ Q &= 3\omega CE^2 = \omega CV^2 \end{aligned}$$

$I_c$ は1線の充電電流、$\omega$ は角周波数、$C$ は1線の静電容量、$E$ は相電圧、$V$ は線間電圧、$Q$ は三相の充電容量です。地中送電線路とケーブルの充電電流に、例題があります。

電圧降下と送電電力

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{3}\,I(R\cos\theta + X\sin\theta) \\ I &= \frac{P}{\sqrt{3}V\cos\theta} \\ v &= \frac{PR + QX}{V_r} \\ \varepsilon &= \frac{V_s - V_r}{V_r} \times 100 \\ p_l &= 3I^2R \\ P &= \frac{V_sV_r}{X}\sin\delta \end{aligned}$$

$v$ は線間の電圧降下、$I$ は線電流、$R$、$X$ は1線の抵抗とリアクタンス、$\theta$ は負荷の力率角です。$P$ は三相の有効電力、$Q$ は無効電力、$V$ は線間電圧です。$V_s$ は送電端、$V_r$ は受電端の線間電圧、$\varepsilon$ は電圧降下率、$p_l$ は三相の電力損失です。最後の式は送電電力で、$\delta$ は送電端と受電端の電圧の位相差です。三相3線式の電圧降下の求め方で、例題を確かめられます。

中性点接地方式

地絡電流は、接地の方式によって変わります。非接地方式の1線地絡電流と、消弧リアクトルのインダクタンスは、次のとおりです。

$$\begin{aligned} I_g &= 3\omega CE = \sqrt{3}\omega CV \\ L &= \frac{1}{3\omega^2C} \end{aligned}$$

$I_g$ は1線地絡電流、$C$ は1線の対地静電容量、$E$ は相電圧、$V$ は線間電圧、$L$ は消弧リアクトルのインダクタンスです。非接地方式では、1線が完全に地絡したとき、健全な相の対地電圧は $\sqrt{3}$ 倍になります。方式ごとの比較は、中性点接地方式の種類と比較にあります。

異常電圧と雷害対策

この単元に、式はありません。雷による異常電圧を、架空地線、避雷器、アークホーン、埋設地線で防ぐ、という対策の組み合わせを覚えます。1線地絡で健全な相の電圧が上がる関係は、中性点接地方式の記事に書かれています。

故障計算（%インピーダンス）

$$\begin{aligned} \%Z &= \frac{ZI_n}{E} \times 100 \\ &= \frac{\sqrt{3}ZI_n}{V_n} \times 100 \\ \%Z_{base} &= \%Z_n\frac{S_{base}}{S_n} \\ I_s &= \frac{100}{\%Z}I_n \\ I_n &= \frac{S_{base}}{\sqrt{3}V} \\ S_s &= \frac{100}{\%Z}S_{base} \end{aligned}$$

$Z$ はインピーダンス、$I_n$ は定格電流、$E$ は相電圧、$V_n$ は定格の線間電圧です。$\%Z_n$ は自己容量 $S_n$ を基準にした値で、基準容量 $S_{base}$ に換算したものが $\%Z_{base}$ です。$I_s$ は三相短絡電流、$S_s$ は短絡容量、$V$ は線間電圧です。%インピーダンスと短絡電流の計算で、合成の方法と遮断器の選び方を確かめられます。

直流送電

直流送電は、交流を直流に変える順変換と、直流を交流に戻す逆変換を組み合わせます。往復2線で送る場合の電力と、線路の損失は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} P &= VI \\ p_l &= 2RI^2 \end{aligned}$$

$P$ は送る電力、$V$ は直流の電圧、$I$ は電流、$R$ は1線の抵抗、$p_l$ は線路の電力損失です。たとえば $I = 1000\,\mathrm{[A]}$、$R = 0.5\,\Omega$ なら、損失は $2 \times 0.5 \times 1000^2 = 10^6\,\mathrm{[W]}$ で、$1000\,\mathrm{[kW]}$ です。

配電線路の公式

配電線路は、需要家に近い、電圧の低い線路です。式は、送電線路と同じ形のものが多く、単相と三相の違いと、負荷の特性を表す率が加わります。図5は、電柱の上の変圧器です。

1柱上変圧器2腕金の上の碍子3変圧器の下から出る電線

1. 柱上変圧器　高圧を低圧に下げる
2. 腕金の上の碍子　電線を支える
3. 変圧器の下から出る電線　需要家側へ

配電方式

単相3線式は、電圧線2本と中性線1本で、2種類の電圧を取り出せます。中性線の電流と、負荷の端子電圧は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} I_N &= |I_1 - I_2| \\ V_1 &= E - rI_1 - r_n(I_1 - I_2) \\ V_2 &= E - rI_2 + r_n(I_1 - I_2) \end{aligned}$$

$I_N$ は中性線の電流、$I_1$、$I_2$ は電圧線の電流、$E$ は電源の1つの電圧線と中性線の間の電圧、$r$ は電圧線の抵抗、$r_n$ は中性線の抵抗、$V_1$、$V_2$ は負荷の端子電圧です。負荷が平衡していると、中性線に電流が流れません。単相3線式とはで、バランサまで確認できます。

電圧降下と電力損失

単相2線式と三相3線式の電圧降下の近似式と、電力損失です。

$$\begin{aligned} v &\fallingdotseq 2I(R\cos\theta + X\sin\theta) \\ p &= 2I^2R \end{aligned}$$

上が単相2線式で、$v$ は電圧降下、$I$ は電流、$R$、$X$ は1線の抵抗とリアクタンス、$p$ は電力損失です。三相3線式は、次のとおりです。

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{3}\,I(R\cos\theta + X\sin\theta) \\ p &= 3I^2R \end{aligned}$$

三相の式は、送電線路と同じです。三相3線式の電圧降下の求め方で確認できます。

配電設備

変圧器の容量は、需要家の設備容量ではなく、最大電力の合計から決めます。そのための率が、需要率、負荷率、不等率です。

$$\begin{aligned} d &= \frac{P_{\max}}{S} \\ L &= \frac{P_{\mathrm{avg}}}{P_{\max}} \\ F &= \frac{P_{\max 1} + P_{\max 2} + \cdots}{P_c} \\ P_c &= \frac{S_1d_1 + S_2d_2 + \cdots}{F} \end{aligned}$$

$d$ は需要率、$S$ は設備容量、$P_{\max}$ は最大電力です。$L$ は負荷率、$P_{\mathrm{avg}}$ は平均電力です。$F$ は不等率、$P_{\max 1}$、$P_{\max 2}$ は各需要家の最大電力、$P_c$ は合成最大電力です。最後の式は、$S_1d_1 + S_2d_2 + \cdots$ を不等率 $F$ で割って、変圧器の容量 $P_c$ を求める形です。詳しくは需要率・負荷率・不等率の求め方にあります。

力率改善

力率の悪い負荷に、進相コンデンサをつなぐと、無効電力が減ります。有効電力 $P$ は変わりません。図6は、電力の三角形で見た変化です。

$$\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{P}{S} \\ Q_c &= P(\tan\theta_1 - \tan\theta_2) \end{aligned}$$

$S$ は皮相電力、$Q_c$ は進相コンデンサの容量 $\mathrm{[kvar]}$、$\theta_1$ は改善前、$\theta_2$ は改善後の力率角です。$P$ は有効電力 $\mathrm{[kW]}$ で、$Q_c$ と単位をそろえて入れます。力率改善と進相コンデンサの容量計算で、電力の三角形から例題まで確かめられます。

屋内配線

屋内配線の電圧降下は、リアクタンスを無視して力率を 1 とみなす簡略式で計算することがあります。電線の抵抗 $R$ から、次のように求めます。

$$\begin{aligned} R &= \rho\frac{l}{S} \\ e &= 2IR \\ e &= \sqrt{3}IR \end{aligned}$$

$\rho$ は抵抗率、$l$ は電線の長さ、$S$ は断面積です。$e$ は電圧降下で、2行目は単相2線式、3行目は三相3線式です。$\rho = 1/58\,\mathrm{[\Omega \cdot mm^2/m]}$、$l = 50\,\mathrm{[m]}$、$S = 2\,\mathrm{[mm^2]}$、$I = 15\,\mathrm{[A]}$ なら、$R$ は約 $0.431\,\Omega$ で、単相2線式は約 $12.9\,\mathrm{[V]}$、三相3線式は約 $11.2\,\mathrm{[V]}$ です。電線の太さと許容電流の決め方は、法規の範囲でもあり、許容電流と幹線の太さで確認できます。

電気材料の公式

電気材料は、導電材料、絶縁材料、磁性材料の3つで、式の数は少なめです。

導電材料

導体の抵抗と、温度による変化の式です。

$$\begin{aligned} R &= \rho\frac{l}{S} \\ \sigma &= \frac{1}{\rho} \\ R_t &= R_0(1 + \alpha t) \end{aligned}$$

$R$ は抵抗、$\rho$ は抵抗率、$\sigma$ は導電率、$l$ は長さ、$S$ は断面積です。$R_0$ は基準の温度での抵抗、$R_t$ は基準から $t\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ 上がったときの抵抗、$\alpha$ は温度係数です。たとえば $\alpha = 0.004$ で $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ 上がると、抵抗は $1 + 0.004 \times 60 = 1.24$ 倍になります。

絶縁材料

$$E_b = \frac{V_b}{d}$$

$E_b$ は絶縁破壊の強さ $\mathrm{[V/m]}$、$V_b$ は絶縁破壊を起こす電圧、$d$ は絶縁物の厚さです。電界が一様なときの式です。たとえば $30\,\mathrm{[kV]}$ で、厚さ $3\,\mathrm{[mm]}$ の絶縁物が破壊するなら、$E_b = 10\,\mathrm{[MV/m]}$ です。

磁性材料

変圧器や電動機の鉄心では、ヒステリシス損と渦電流損が発生します。周波数 $f$ と最大磁束密度 $B_m$ に対して、次の関係です。

$$\begin{aligned} \text{ヒステリシス損} &\propto fB_m^{\,2} \\ \text{渦電流損} &\propto f^2B_m^{\,2} \end{aligned}$$

損失	周波数	磁束密度
ヒステリシス損	1乗	2乗
渦電流損	2乗	2乗

鉄心には、ヒステリシス曲線の面積が小さい軟磁性材料を使い、薄い鋼板を重ねて渦電流を減らします。損失の分け方は、変圧器の効率とはで確認できます。

公式の選び方と例題

電力の式は、単元ごとに記号が違い、同じ文字が別の量を表します。使う式は、求めるものと単位から探すと絞れます。図7は、求めるものから式を探す表です。水力の出力の $\eta$ は、水車効率と発電機効率の積です。

次の2問で、式を選ぶ手順を確かめます。

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手順1 求めるのは電圧降下なので、送電線路の電圧降下の式を使います。

手順2 $\sqrt{3}\,I$ を、電力から先に求めます。

$$\begin{aligned} \sqrt{3}\,I &= \frac{P}{V_r\cos\theta} \\ &= \frac{1320 \times 10^3}{6600 \times 0.8} \\ &= 250 \end{aligned}$$

手順3 $\sin\theta = 0.6$ なので、$R\cos\theta = 0.4$、$X\sin\theta = 0.24$ です。

$$\begin{aligned} v &= 250(R\cos\theta + X\sin\theta) \\ &= 250(0.4 + 0.24) \\ &= 160\,\mathrm{[V]} \end{aligned}$$

手順4 電圧降下率は、受電端の電圧で割ります。

$$\begin{aligned} \varepsilon &= \frac{v}{V_r} \times 100 \\ &= \frac{160}{6600} \times 100 \\ &\fallingdotseq 2.4\,\mathrm{[\%]} \end{aligned}$$

検算します。無効電力は $Q = P\tan\theta = 990\,\mathrm{[kvar]}$ です。$v = (PR + QX)/V_r$ に入れると、$(660 \times 10^3 + 396 \times 10^3)/6600 = 160\,\mathrm{[V]}$ で一致します。

答え $v = 160\,\mathrm{[V]}$、$\varepsilon \fallingdotseq 2.4\,\mathrm{[\%]}$

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手順1 求めるのはコンデンサの容量なので、力率改善の式を使います。

手順2 改善前と改善後の $\tan\theta$ を求めます。

$$\begin{aligned} \tan\theta_1 &= \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} \\ \tan\theta_2 &= \frac{0.28}{0.96} = \frac{7}{24} \end{aligned}$$

手順3 式に入れます。

$$\begin{aligned} Q_c &= P(\tan\theta_1 - \tan\theta_2) \\ &= 1320\left(\frac{3}{4} - \frac{7}{24}\right) \\ &= 1320 \times \frac{11}{24} \\ &= 605\,\mathrm{[kvar]} \end{aligned}$$

検算します。改善前の無効電力は $990\,\mathrm{[kvar]}$、改善後は $1320 \times 7/24 = 385\,\mathrm{[kvar]}$ で、差は $605\,\mathrm{[kvar]}$ です。改善後の皮相電力は $1320/0.96 = 1375\,\mathrm{[kV \cdot A]}$ で、$\sqrt{1320^2 + 385^2} = 1375$ と一致します。

答え $605\,\mathrm{[kvar]}$

公式を覚えるより先に

電力の式は、数が多く見えますが、水力、火力、送電、配電のそれぞれで、使う形はいくつかに絞れます。式を丸暗記するより、図で意味をつかみ、単位で確かめるほうが、思い出しやすくなります。水力の出力なら、図2の「落差を引く、効率を掛ける」の流れを描けるようにします。

式を使う前に、求めるものの単位を書きます。$\mathrm{[kW]}$ なら出力や電力、$\mathrm{[kvar]}$ なら無効電力やコンデンサの容量、$\mathrm{[kV \cdot A]}$ なら皮相電力や容量です。単位がそろっているかを確かめる習慣が、計算の間違いを減らします。

よくある質問

電力の公式は、すべて暗記しないといけませんか。

すべてを丸暗記する必要はありません。水力の出力、電圧降下、短絡電流、力率改善の式は、すぐに書けるようにします。そのほかは、図や単位から思い出せるかどうかで分けておくと、覚える量を絞れます。

理論や機械の公式は、電力でも使いますか。

使います。三相の電力 $P = \sqrt{3}VI\cos\theta$ のような理論の式は、送電線路の計算の土台です。変圧器の式は機械の科目と重なります。理論は電験三種 理論の公式一覧、機械は電験三種 機械の公式一覧で見られます。

$P$ や $\eta$、$H$ のように、同じ記号が別の量に使われるのはなぜですか。

単元ごとに、慣習として使われる記号が決まっているためです。$H$ は水力では落差 $\mathrm{[m]}$、火力では発熱量 $\mathrm{[kJ/kg]}$ です。$L$ は所内率、負荷率、インダクタンス、電線の実長に使われます。問題文の定義と単位を見て、読み替えます。

公式は、どの順に確認すればよいですか。

求めるものと、その単位を先に書きます。次に、発電、変電、送電、配電のどの単元かを絞り、式を選びます。数を入れる前に、文字のまま整理すると、計算の途中で間違いに気づきやすくなります。

思い出してみよう

答えを見る前に、まず自分で思い出してからタップしてください。

水力発電の出力 $P\,\mathrm{[kW]}$ を、流量 $Q$、有効落差 $H$、効率で書くと？

$P = 9.8QH\eta_w\eta_g$ です。

三相3線式の線間の電圧降下 $v$ の近似式は？

$v = \sqrt{3}\,I(R\cos\theta + X\sin\theta)$ です。

三相短絡電流 $I_s$ を、%インピーダンスと定格電流で書くと？

$I_s = \dfrac{100}{\%Z}I_n$ です。

力率を $\cos\theta_1$ から $\cos\theta_2$ に改善するコンデンサの容量は？

$Q_c = P(\tan\theta_1 - \tan\theta_2)$ です。

非接地方式の1線地絡電流は？

$I_g = 3\omega CE$ です。

ヒステリシス損と渦電流損は、周波数の何乗に比例しますか？

ヒステリシス損は1乗、渦電流損は2乗に比例します。

まとめ

• 電験三種の電力の式は、発電所、蓄電所、変電所、送電線路、配電線路、電気材料の6分野に分けて整理できる
• 発電所は、水力の $P = 9.8QH\eta_w\eta_g$、火力の $\eta = 3600W/(BH)$ のように、出力と効率を求める
• 送電と配電は、電圧降下 $v = \sqrt{3}\,I(R\cos\theta + X\sin\theta)$、短絡電流 $I_s = (100/\%Z)I_n$、力率改善 $Q_c = P(\tan\theta_1 - \tan\theta_2)$ を押さえる
• 式を選ぶときは、求めるものの単位から単元を絞り、問題文の記号の定義に合わせて読み替える

式の導き方は、各単元の記事で確かめられます。水力発電の出力の求め方から順に読むと、発電所から進められます。理論の科目は電験三種 理論の公式一覧、機械の科目は電験三種 機械の公式一覧、法規の科目は電験三種 法規の公式一覧で、同じ形で式を見られます。式の変形に不安があるときは電験三種に必要な数学、勉強の順番は電験三種の勉強の始め方を見てください。